Guia para um aluno recém chegado à Geometria Descritiva A

(Sebenta de apoio ao aluno)

Trabalho realizado por: Clara Rebelo, Judite Câmara e Sofia Filipe

A geometria descritiva surgiu no século XVII e foi definida como a parte da Matemática que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espaço, de modo a poder resolver os problemas relativos a esta figura.

O estudo da Geometria Descritiva tem como objetivo principal o desenvolvimento do raciocínio tridimensional e consequentemente o aprimoramento da percepção espacial, indispensáveis à criatividade e à inteligência, necessárias para a concepção de um projeto.

Como surgiu a Geometria Descritiva?

A Geometria Descritiva é um ramo da Geometria responsável pelo estudo do espaço.

​

Procura resolver problemas e representar objetos tridimensionais sobre planos de projeção, contribuindo para o desenvolvimento das capacidades de visualização e análise.

Mas afinal, de que é que se trata?

Foi Gaspard Monge quem fundamentou as regras da Geometria Descritiva, constituindo-a como uma ciência autónoma.

- Foi um matemático francês;

- Nasceu a 9 de maio de 1746 na França e faleceu a 28 de julho de 1818, também na França.

Gaspard Monge: O criador

Material necessário à disciplina

Folhas A4

Folhas A3

Aristo

Lapiseira

Compasso

Lápis

Borracha

Manual

Instrumentos de estudo

• Manual e Caderno de Atividades do 10º ano:

• Manual e Caderno de Atividades do 11º ano:

• Site com exercícios de exames: https://www.mariajoaomuller.com/

• Manuais com exercícios de preparação para o exame:

Como ser um aluno bem sucedido na disciplina

• Para além de comparecer nas aulas, é aconselhado ir aos apoios opcionais proporcionados pelo professor, cujo o horário é dado no início do ano e que servem para tirar dúvidas sobre a disciplina;

​

• O essencial para um aluno bem sucedido, é saber as bases da geometria; a marcação de pontos, o alfabeto da reta, o alfabeto do plano e as interseções de retas com planos, ou seja, a matéria dada no início do 10º ano;

​

• A realização de trabalhos orais e/ou escritos no final de cada período, são uma forma de aumentar a média da disciplina e também de ganhar novas aprendizagens sobre a mesma;

​

• A entrega de questões de aula, que são frequentes na disciplina, têm um valor final na avaliação que pode ajudar ou prejudicar na média, por isso que é opcional, se sentires que correu bem a questão aula, o melhor é investir na entrega da mesma;

​

• Se fizeres exercícios e leres o manual referente à matéria com alguma regularidade, vais verificar uma mudança positiva;

​

• Para os alunos que notam algumas dificuldades logo no início, se tiverem a possibilidade, é aconselhável ir para um centro de explicações ou ter um explicador particular;

​

• O principal segredo é nunca sair das aulas com dúvidas. Sempre que possível, verifica os teus exercícios com o professor e tira as tuas dúvidas, por mais pequenas que pareçam.

Conceitos essenciais para a disciplina

• Plano Frontal de Projeção (P.F.P) e Plano Horizontal de Projeção (P.H.P): Utilizam-se simultaneamente dois sistemas de projeção paralelos ortogonais. Cada plano de projeção divide-se em 2 semiplanos:

​

• PHP:

→semiplano horizontal anterior (SPHA)

→semiplano horizontal posterior (SPHP)

​

• PFP

→ semiplano frontal superior (SPFS)

→ semiplano frontal inferior (SPFI)

​

​

• Semiplano Horizontal Anterior (SPHA):

​

• Planos Bissetores: para além dos planos de projeção, consideram-se dois planos que dividem os diedros de projeção, o B13 e o B24;

​

• B13: plano bissetor dos diedros ímpares

​

• B24: plano bissetor dos diedros pares

​

• Octante: espaço dividido por um semiplano de projeção e um semiplano bissetor

Diedros, planos e octantes

Conceitos essenciais

• Ponto- Elemento Geométrico Adimensional. Define-se como uma localização. Identifica-se com uma letra maiúscula.

P1- Projeção Horizontal do ponto P

P2- Projeção Frontal do ponto P

​

• Diedro- Espaço dividido por um semiplano frontal e por um semiplano horizontal.

​

• Eixo x- Reta fronto-horizontal, eixo das abcissas

​

• Eixo y- Reta de topo, eixo dos afastamentos

​

• Eixo z- Reta vertical, eixo das cotas

• Abcissa- Distância do ponto ao plano lateral de projeção 𝛑0.

​

• Afastamento- Distância de um ponto ao P.F.P. Distância da projeção horizontal ao eixo x (distância à parede).

​

• Cota- Distância de um ponto ao P.H.P. Distância da projeção frontal ao eixo x.

​

​

​

​

Continuação no próximo slide

• Planos bissetores (β)- Planos que dividem cada diedro em duas partes iguais.

​

• Traços da reta- São os pontos onde a reta interseta os planos de projeção e os planos bissetores.

​

• Traço Horizontal (H)- Ponto onde a reta ⋂ (interseta) o P.F.P.

(Ponto da reta com cota nula)

• Traço Frontal (F)- Ponto onde a reta ⋂ (interseta) o P.H.P.

(Ponto da reta com afastamento nulo)

​

• Traço do Bissetor β24 (I)- Ponto onde a reta ⋂ (interseta) o β24.

(Ponto da reta com as projeções coincidentes)

• Traço do Bissetor β13 (Q)- Ponto onde a reta ⋂ (interseta) o β13.

(Ponto da reta com as projeções simétricas em relação a x)

​

​

• Reta: trata-se de uma sucessão de pontos infinitamente próximos uns dos outros e que se prolongam infinitamente. Identificam-se em letra minúscula;

​

• Plano: É formado pela reunião de infinitas retas dispostas lado a lado. Identificam-se em letra minúscula;

Marcação de Pontos

Exemplo da marcação de pontos

Positivo

Negativo

Ferramentas auxiliares que te ajudam na marcação dos pontos:

y z

x

Abcissa +

Abcissa -

Afastamento + e Cota -

Afastamento - e Cota +

Ter conhecimento do que é o afastamento, a cota e a abcissa (slide 10).

Os pontos são sempre apresentados na letra maiúscula!

Alfabeto da Reta e Alfabeto do Plano

□

x

2

1

fᵦ

hᵦ

x

2

1

g1

g2

x

2

1

fᵦ hᵦ

□

Alfabeto da Reta

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

Reta Horizontal

Reta Frontal

Reta Fronto-horizontal

Reta de Perfil

Reta de Topo

Reta Vertical

Reta Passante

Reta Oblíqua

f2

f1

g1

g2

p1 p2

r2

r1

a2

a1

v2

t1

(t2)

(v1)

□

□

□

A2

A1

Alfabeto do Plano

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

Plano Horizontal

Plano Frontal

Plano de Rampa

Plano de Perfil

Plano de Topo

Plano Vertical

Plano Passante

Plano Oblíqua

fᵦ hᵦ

□

□

x

2

1

x

2

1

x

2

1

x

2

1

fᵦ hᵦ

□

(hᵦ)

(fᵦ)

fᵦ

fᵦ

hᵦ

hᵦ

hᵦ

fᵦ

fᵦ

hᵦ

A2

A1

Planos Projetantes:

• Plano de Perfil
• Plano Frontal
• Plano Vertical
• Plano Horizontal
• Plano de Topo

Planos Não Projetantes:

• Plano Oblíquo
• Plano de Rampa
• Plano passante

Um plano projetante é um plano que faz 90º com, pelo menos, um dos planos de projeção.

O Plano Oblíquo pode conter as seguintes retas:

‐Reta horizontal (n)

‐Reta frontal (f)

‐Reta oblíqua (r)

‐Reta de perfil (p)

O Plano de Rampa pode conter as seguintes retas:

‐Reta fronto‐horizontal (h)

‐Reta oblíqua (r)

‐Reta de perfil (p)

O Plano Frontal pode conter as seguintes retas:

‐Reta frontal (f)

‐Reta vertical (v)

‐Reta fronto‐horizontal (h)

O Plano Horizontal pode conter as seguintes retas:

‐Reta horizontal (n)

‐Reta de topo (t)

‐Reta fronto‐horizontal (h)

O Plano de Perfil pode conter as seguintes retas:

‐Reta de topo (t)

‐Reta vertical (v)

‐Reta de perfil (p)

Planos Projetantes e não projetantes e

Retas Pertencentes aos Planos

O Plano Vertical pode conter as seguintes retas:

‐Reta vertical (v)

‐Reta horizontal (n)

‐Reta oblíqua (r)

O Plano de Topo pode conter as seguintes retas:

‐Reta de topo (t)

‐Reta frontal (f)

‐Reta oblíqua (r)

O Plano Passante pode conter as seguintes retas:

‐Reta fronto-horizontal (h)

‐Reta oblíqua (r)

‐Reta de perfil (p)

Construção de figuras planas (através de uma circunferência)

A

O

Hexágono, quadrado, triângulo e pentágono

Construção de um hexágono (através de uma circunferência)

Construção de um quadrado (através de uma circunferência)

Construção de um triângulo (através de uma circunferência)

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

Construção de um pentágono

​

(através de uma circunferência)

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

Construção de figuras planas (através de um lado)

Hexágono, quadrado, triângulo e pentágono

Construção de um quadrado (através de um lado)

Sólidos

Prismas, pirâmides, cone, cilindro e esfera

O que são os sólidos?

Os sólidos geométricos são corpos limitados por uma superfície ou por porções de superfícies que se intersetam.

• Prismas: são corpos com duas bases poligonais iguais e paralelas entre si;
• Pirâmides: são sólidos geométricos que possuem uma base formada por um polígono e faces laterais triangulares que se encontram em um único ponto (V);
• Cones: são corpos com apenas uma base circular, limitados por geratrizes e que também se encontram em um único ponto (V);
• Cilindros: são sólidos geométricos compostos por duas bases circulares contidas em planos paralelos e por todos os segmentos de reta com extremidades nas bases.
• Esfera: é um sólido limitado por uma superfície esférica.

​

* Estes sólidos, à exceção da esfera, podem ser retos ou oblíquos, consoante os seus eixos ou vértices.

Sólidos (Prismas)

Prisma de bases hexagonais

Prisma de bases quadradas

Prisma de bases triangulares

Prisma de bases pentagonais

Sólidos (Pirâmides)

Pirâmide de base hexagonal

Pirâmide de base quadrada

Pirâmide de base triangular

Pirâmide de base pentagonal

Outros Sólidos

Cone

Esfera

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Interseções

​

​

Para resolver exercícios de interseções, existem quatro abordagens possíveis:

​

1.º Abordagem: se os planos estiverem definidos pelos seus traços, basta fazer a interseção;

​

2.º Abordagem: se algum plano possuir traços absorventes, ou seja, for um plano frontal ou horizontal, a projeção da reta i fica coincidente com o respectivo traço absorvente;

​

3.º Abordagem: se a projeção da reta i é conhecida, é possível determinar se essa reta é

paralela ou concorrente a todas as retas dos planos. Pode ser utilizado quando um dos planos possui um traço absorvente;

​

4.º Abordagem: caso nenhuma das outras abordagens se aplique, utilizamos um plano auxiliar (projetante).

​

Interseções

Represente os traços dos planos α e θ nos planos de projeção.

Dados:

• a reta i, de perfil, pertencente ao bissetor dos diedros pares, β_2,4, é comum aos dois planos;
• o ponto P, com zero de abcissa e 5 de cota, pertence à reta i;
• o ponto A (–6; 5; 2) pertence ao plano α;
• o traço frontal do plano θ define um ângulo de 70º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

Exemplo de um exercício de exame de interseções

(2020- 1.º Fase)

Secções

​

As secções podem ser:

- de um sólido truncado: a parte do sólido dado, compreendido entre o plano secante e a base ou o vértice

- de uma figura de secção: é a figura plana resultante da secção produzida pelo plano secante, com o sólido que permanece indiviso

​

O que são as secções?

A secção plana de um sólido é a figura (figura de secção) que resulta do corte produzido no sólido por um plano, designado “plano secante”.

Secções em cones:

- Triângulo: plano secante contém o vértice

- Círculo: plano secante é paralelo à base

- Elipse: plano secante é oblíquo à base e a todas as geratrizes

- Parábola: plano secante é paralelo a apenas uma geratriz

- Hipérbole: plano secante é paralelo a duas geratrizes

​

Resolução no próximo slide

Exemplo de um exercício de exame de Secção

(2016- 1.º Fase)

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

​

Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

​

Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.

Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.

Dados:

• a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;
• o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;
• a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;
• o vértice B tem abcissa nula;
• a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;
• o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

Sombras de Figuras Planas

Fonte luminosa e Raio Luminoso

Conceitos gerais: sombras

• Fonte luminosa: elemento pontual que emite raios luminosos.

Se estiver a uma distância finita, trata-se de um foco luminoso, se estiver a uma distância infinita, trata-se de uma direção luminosa.

​

• Raio luminoso: é a reta que, passando pela fonte luminosa, propaga a luz.

Resolução no próximo slide

Exemplo de um exercício de exame de Sombra de Figura Plana

(2022- 2.º Fase)

Determine as projeções de um quadrado [ABCD] pertencente a um plano de rampa ω e da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do quadrado e o contorno da sombra projetada nos planos de projeção.

​

Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do contorno da sombra projetada.

​

Preencha, com tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme, as áreas visíveis da sombra projetada.

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa.

Dados:

• A reta de perfil p do plano ω que contém o vértice A (0; 3; 6) define um ângulo de 50º com o P.H.P;
• o traço horizontal da reta p tem afastamento positivo;
• Os vértices A e C definem uma diagonal do quadrado;
• O vértice C tem 9 de abcissa e 6 de afastamento;
• A direção luminosa é a convencional.

4.º Passo

5.º Passo

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

Sombras de Sólidos

Sombra de um prisma e uma pirâmide e suas respetivas perspetivas

Sombra de um prisma triangular regular Perspetiva do mesmo prisma

Sombra de uma pirâmide quadrangular regular Perspetiva da mesma pirâmide

Resolução nos próximos slides

Exemplo de um exercício de exame de Sombras de um sólido

(2019- 2.º Fase)

Determine as projeções de um cone oblíquo, de base circular contida num plano frontal, e das suas sombras próprias e projetada nos planos de projeção.

​

Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e as linhas visíveis do contorno da sombra própria e da sombra projetada.

Identifique, a traço interrompido forte, as linhas invisíveis do contorno da sombra própria e da sombra projetada.

Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

​

Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

Dados:

• o ponto O (0; 10; 4) é o centro da circunferência da base tangente ao Plano Horizontal de Projeção;
• o vértice V do cone pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β₁₃, e tem 4 de abcissa e 4 de afastamento;
• a direção luminosa é a convencional.

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

Axonometrias

Representação Axonométrica Ortogonal e Representação Axonométrica Clinogonal

Aspetos comuns tanto para as ortogonais, tanto para as clinogonais:

​

• O eixo z fica sempre na vertical

​

• A representação pode ser de mais do que um sólido ou figura plana que se tocam, quer através do vértice, quer através de uma ou mais faces ou arestas

1. Ortogonais:

2) Clinogonais:

• Isometria (ângulos todos iguais, ou seja, x e y fazem ambos ângulos de 120º com z);
• Dimetria (dois ângulos iguais);
• Trimetria (ângulos todos diferentes).

Existem dois tipos:

• Cavaleira (o eixo y faz sempre um ângulo de 90º com o eixo x );

​

• Militar (o eixo x faz sempre um ângulo de 90º com o eixo y).

Sistemas Axonométricos

​

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas retos de bases regulares triangulares.

Destaque, a traço mais forte, apenas as arestas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

• Isometria (ângulos todos iguais)�Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

• As bases dos prismas são iguais e paralelas ao plano coordenado xz.

Prisma 1:

• Os vértices A (7; 9; 0) e B (0; 9; 0) pertencem à base de maior afastamento deste prisma;
• A outra base pertence ao plano coordenado xz.

Prisma 2:

• O vértice G (7; 7; 0) pertence à base de maior afastamento deste prisma, e a aresta oposta a este vértice é paralela ao eixo coordenado x;
• O prisma tem 2 cm de altura.

Resolução nos próximos slides

Exemplo de um exercício de exame de Axonometria Ortogonal

(2022- 2.º Fase)

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

4.º Passo

​

Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases triangulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados:

Sistema axonométrico:

• a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z e a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.�Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

Prismas:

• os três prismas têm bases paralelas ao plano coordenado xz e todos os prismas têm 3 cm de altura.

Prisma 1:

• o vértice A (11; 10; 7) e o vértice B (16; 10; 7) definem uma aresta da base de maior afastamento [ABC];
• o vértice C desta base é o de menor cota.

Prisma 2:

• as arestas das bases medem 3 cm;
• o vértice B é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de maior afastamento;
• o outro vértice desta base é o de maior cota.

Prisma 3:

• as arestas das bases medem 8 cm;
• o vértice C é o de maior abcissa da aresta paralela ao eixo x da base de

maior afastamento;

• o outro vértice desta base é o de maior cota.

​

Resolução nos próximos slides

Exemplo de um exercício de exame de Axonometria Clinogonal

(2018- 1.º Fase)

1.º Passo

2.º Passo

3.º Passo

Nota das alunas

(Clara Rebelo, Judite Câmara e Sofia Filipe)

Foi com a iniciativa do nosso professor que resolvemos proceder a um trabalho de investigação para termos um conhecimento mais amplo da disciplina.

​

Neste projeto, criamos uma espécie de "sebenta", na qual demos o nome de "Guia para um aluno recém-chegado à Geometria Descritiva A", onde o objetivo é, tal como o nome indica, ajudar os alunos que se encontram com dificuldades em relação a esta nova etapa na chegada ao décimo ano. Além disso, este trabalho pode ser usado como apoio aos estudos para o exame;

​

Apesar de ser uma sebenta acessível a todos, usámos como modelo a ESAQ, o que é evidente em alguns slides onde mostram as nossas ferramentas de trabalho (materiais, manuais, etc.).

​

Investimos muitas horas nesta ideia e admitimos que não foi uma tarefa fácil. Ainda assim, no final, ficámos satisfeitas com o resultado.

​

Esperamos profundamente que este guia sirva de ajuda e que os alunos que se encontram com mais dificuldades consigam compreender a Geometria Descritiva. Força!

https://www.passeidireto.com/arquivo/43959612/aula-02-figuras-geometricas

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https://slideplayer.com.br/slide/14104/

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https://mariajoaomuller.com/

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http://geometriadescritivacoimbra.blogspot.com/

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http://gddona.blogspot.com/2010/10/para-ajudar-na-compreensao-da-materia.html

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Bibliografia