Biomatematica · Fisiologia cellulare

Omeostasi cellulare, membrane e trasporto

Come fa una cellula a mantenere il proprio ambiente interno, e come si scrive in equazioni

Prima di iniziare: dentro una cellula

VIDEO

Harvard BioVisions

Animazione costruita a partire da strutture proteiche reali e da modelli del comportamento di molecole e cellule.

youtube.com/watch?v=XOaiWl-nW1k

Mentre guardate, cercate:

1

La membrana non è rigida

le proteine si spostano nel doppio strato lipidico

2

Canali e trasportatori

dove e come le molecole attraversano la membrana

3

Affollamento e movimento

quanto è densa e dinamica la cellula

Dopo il video: quali di questi processi sapreste descrivere con un'equazione?

2

Omeostasi cellulare

Capacità delle cellule viventi di mantenere un equilibrio stabile al variare delle condizioni esterne e interne.

Che cosa viene mantenuto

Concentrazioni

ioni e metaboliti diversi dentro e fuori

Volume

bilancio di acqua e soluti (osmosi)

Potenziale di membrana

differenza di potenziale stabile a riposo

È garantita dalla membrana cellulare: una barriera selettiva, con macchinari proteici che consumano energia.

3

La membrana cellulare

Doppio strato di fosfolipidi: teste idrofile verso l'acqua, code idrofobiche all'interno

Spessore ≈ 7.5 nm (5–10 nm): circa mille volte meno del diametro di una cellula

Modello a mosaico fluido (Singer e Nicolson, 1972): le proteine si muovono liberamente nel bilayer lipidico

4

Quanto è piccola la membrana?

Limite del microscopio ottico

Un'analogia

Un campo elettrico enorme

Membrana e cellula stanno come un foglio di carta e il pallone da calcio che avvolge: circa 1 a 2000.

circa 3 volte il campo di scarica in aria

5

Proteine di membrana

Immerse nel doppio strato, ne determinano le funzioni.

Recettori

ricevono segnali chimici dall'esterno

Proteine di trasporto

trasportatori e pompe per molecole e ioni

Enzimi di membrana

catalizzano reazioni sulla superficie

Molecole di adesione

legano le cellule tra loro e alla matrice

Pori e canali ionici

• Pori riempiti d'acqua
• Canali ionici: pori con pareti di proteine che permettono il passaggio selettivo di alcuni ioni
• Possono aprirsi e chiudersi: è il meccanismo alla base dell'eccitabilità

I canali ionici saranno il centro del corso: da Hodgkin–Huxley ai modelli cardiaci.

6

Un ambiente ionico asimmetrico

I domini intra ed extracellulare sono soluzioni acquose con sali disciolti, in particolare NaCl e KCl, che si dissociano negli ioni Na⁺ (sodio), K⁺ (potassio) e Cl⁻ (cloro).

La membrana funziona come barriera selettiva al flusso di questi ioni.

Concentrazioni nell'assone gigante del calamaro, i dati di Hodgkin e Huxley.

Il K⁺ è concentrato dentro, Na⁺, Cl⁻ e Ca²⁺ fuori. Per il Ca²⁺ il rapporto supera diecimila.

7

Trasporto attraverso la membrana

Passivo

Non consuma energia.

Le molecole si muovono secondo il proprio gradiente: di concentrazione o, per gli ioni, elettrochimico.

Attivo

Consuma energia.

Sposta le molecole contro il gradiente, direttamente con l'ATP o sfruttando il gradiente di un altro ione.

Il trasporto passivo tende a dissipare i gradienti; il trasporto attivo li ricostruisce. L'omeostasi è il loro bilancio.

8

Trasporto passivo

1

Osmosi

l'acqua attraversa la membrana dal lato con meno soluto a quello con più soluto

2

Diffusione attraverso pori acquosi

piccole molecole

3

Diffusione di ioni attraverso i canali ionici

Na⁺ e K⁺: il caso principale di interesse per il corso

4

Diffusione mediata da trasportatori

facilitated e carrier-mediated: una proteina lega la molecola e la trasporta

5

Diffusione con buffer

buffered diffusion: la molecola diffonde legandosi e slegandosi da altre molecole

9

Trasporto attivo: pompe e scambiatori

Primario: consuma ATP

Secondario: gradiente di Na⁺

Le pompe ricostruiscono i gradienti che i canali dissipano: lo stato di riposo ha un costo energetico continuo.

Na⁺/K⁺ ATPasi

3 Na⁺ fuori e 2 K⁺ dentro per ogni ATP: è elettrogenica, genera una corrente netta

Ca²⁺ ATPasi

pompa Ca²⁺ fuori dalla cellula, o nei depositi interni come il reticolo sarcoplasmatico

Scambiatori

Na⁺–Ca²⁺ (3 Na⁺ dentro, 1 Ca²⁺ fuori) e Na⁺–H⁺: usano l'energia del gradiente di Na⁺

10

Dai gradienti al potenziale di membrana

Pompe e scambiatori

→

Gradienti di concentrazione

→

Differenza di potenziale

→

Correnti ioniche

Anticipazione: il potenziale di Nernst

RT/F ≈ 25 mV a 20 °C

11

Leggi di diffusione: il principio di conservazione

Variazione nel tempo di U in Ω = produzione di U in Ω + flusso netto entrante di U attraverso ∂Ω

u = concentrazione di U, [U] in mol/cm³

f = densità di produzione di U per unità di volume e di tempo, mol/(cm³·s)

J = densità di flusso di U attraverso ∂Ω, mol/(cm²·s)

n = normale esterna a ∂Ω

12

Forma integrale

Segno

con n esterna, J·n > 0 indica un flusso uscente: per questo compare il segno meno

Ipotesi

il dominio Ω è fisso nel tempo; u, f e J sono abbastanza regolari da poter integrare

Vantaggio

vale anche quando u non è derivabile, ad esempio in presenza di discontinuità

13

Dalla forma integrale a quella differenziale

1

Se J è sufficientemente regolare, ad esempio C¹, vale il teorema della divergenza:

2

Sostituendo nella forma integrale:

3

Se l'integrando è continuo e l'integrale è nullo per ogni Ω, l'integrando è nullo:

forma differenziale · mol/(cm³·s)

14

Parte 2

Diffusione, buffer ed elettrodiffusione

Dalla legge di conservazione alle equazioni di reazione-diffusione e di Nernst–Planck

Un problema ben posto: reazione-diffusione

Incognita: la concentrazione u(x, t), con x ∈ Ω e t ∈ [0, T].

Dato iniziale

Dato di Dirichlet

concentrazione imposta

Dato di Neumann

flusso imposto; dato nullo: bordo impermeabile

Per essere ben posto il problema richiede dati iniziali e dati al bordo. Manca ancora una legge costitutiva per J.

16

Legge di Fick

Legge costitutiva osservata sperimentalmente in molti fenomeni biofisici: il flusso va dalle concentrazioni alte verso quelle basse.

In una dimensione

D = coefficiente di diffusione, in cm²/s

Analogia: l'acqua in un canale scorre seguendo la pendenza, e più la pendenza è ripida, più il flusso è intenso.

In più dimensioni

17

L'equazione di diffusione

1

Sostituendo la legge di Fick nella legge di conservazione:

2

Se D è costante:

Se D = D(x) varia nello spazio, ad esempio in un tessuto eterogeneo, va mantenuta la forma in divergenza. Con f = 0 si ottiene l'equazione del calore.

18

Quanto vale D? La relazione di Stokes–Einstein

Einstein (1905, moto browniano): per molecole di soluto sferiche e grandi rispetto a quelle del solvente

k costante di Boltzmann ≈ 1.38·10⁻²³ J/K

T temperatura assoluta (K)

a raggio della molecola di soluto

μ viscosità del solvente

Con la massa M di una molecola sferica di densità ρ:

D dipende debolmente dalla massa: una molecola 8 volte più pesante diffonde solo 2 volte più lentamente.

In acqua, valori indicativi: O₂ ≈ 2·10⁻⁵, glucosio ≈ 7·10⁻⁶, emoglobina ≈ 7·10⁻⁷ cm²/s.

19

Quanto è veloce la diffusione?

Spostamento quadratico medio per l'equazione di diffusione su ℝ, con massa unitaria concentrata nell'origine:

integrando due volte per parti; il momento secondo è nullo per t = 0.

L = distanza tipica percorsa per diffusione, cioè la radice dello spostamento quadratico medio. Stima di ordine di grandezza; in d dimensioni il fattore 2 diventa 2d.

Con D ≈ 10⁻⁵ cm²/s, piccola molecola in acqua

Efficiente dentro la cellula, inadeguata su scala d'organo: per questo esiste la circolazione.

20

Diffusione attraverso una membrana idealizzata

Membrana di spessore L, D costante, nessuna reazione (f = 0), concentrazioni imposte ai due lati:

Allo stato stazionario:

Il profilo stazionario è lineare.

21

Flusso stazionario: l'analogo della legge di Ohm

P = D/L è la permeabilità della membrana (cm/s): una conduttanza per unità di area.

Segno: il flusso è positivo, cioè verso x crescenti, quando la concentrazione a sinistra è maggiore di quella a destra.

22

Diffusione con buffer: il modello

Molecole piccole (H⁺, Ca²⁺) diffondono e si legano a molecole più grandi, i buffer (tamponi), che diffondono più lentamente.

u = [H⁺], v = [B], w = [HB]

legge di azione di massa + conservazione, coefficienti costanti, dominio 1D

f₂: altri termini di reazione in u, escluso il buffering

B e HB diffondono con lo stesso coefficiente

Bordo impermeabile e dati iniziali:

23

Due ipotesi di riduzione

1

Buffer totale costante

Sommando le equazioni per v e w i termini di reazione si cancellano; con bordo no-flux e dato uniforme:

2

Reazione di buffering veloce (quasi-equilibrio)

Il buffering è molto più veloce delle altre reazioni f₂, quindi è sempre approssimativamente all'equilibrio:

È la stessa idea di separazione delle scale temporali usata per Michaelis–Menten.

24

Derivazione dell'equazione ridotta

1

Prima equazione meno la seconda: i termini di reazione si cancellano

2

Dal quasi-equilibrio, derivando v rispetto a t e a x:

3

Sostituendo e usando

4

25

Interpretazione: diffusione effettiva

Poiché θ(u) > 0, il fattore 1 + θ non si annulla mai: si ottiene un'equazione di reazione-diffusione non lineare, con un coefficiente di diffusione effettivo che dipende da u.

Buffer lontano dalla saturazione

Combinazione convessa dei due coefficienti di diffusione; il termine non lineare nel gradiente è trascurabile.

Buffer immobile

La diffusione rallenta di un fattore pari al denominatore; anche le reazioni f₂ risultano riscalate.

Nelle cellule cardiache gran parte del Ca²⁺ citosolico è legata a buffer: la sua diffusione effettiva è molto più lenta di quella del Ca²⁺ libero.

26

Altri esempi di trasporto mediato

Diffusione facilitata

l'ossigeno trasportato dalla mioglobina nelle fibre muscolari

Trasporto del glucosio

una proteina carrier lega e trasporta la molecola, con una cinetica simile a Michaelis–Menten

Scambiatore Na⁺–Ca²⁺

trasporto attivo secondario, guidato dal gradiente di Na⁺

Pompe ATPasi

Ca²⁺ ATPasi: sistema di 6 ODE. Na⁺/K⁺ ATPasi: modello di Post–Albers, 8 ODE

27

Elettrodiffusione: la cella di concentrazione

Membrana idealizzata, senza spessore e permeabile a un solo ione, ad esempio K⁺, con [K⁺]ᵢ > [K⁺]ₑ. Si formano due flussi opposti.

Fick, flusso diffusivo

Planck, flusso elettrico

c concentrazione (mol/cm³); D diffusione (cm²/s); z valenza;

μ mobilità (cm²/(V·s)); φ potenziale elettrico (V)

Se ∇c = 0 il flusso diffusivo è nullo; se ∇φ = 0 è nullo quello elettrico.

28

Einstein ed equazione di Nernst–Planck

Einstein (1906): diffusione e mobilità non sono indipendenti

R ≈ 8.314 J/(K·mol)

F ≈ 9.648·10⁴ C/mol

T temperatura assoluta (K)

Sommando i due flussi:

equazione di Nernst–Planck

29

All'equilibrio: il potenziale di Nernst

All'equilibrio elettrochimico il flusso netto è nullo. Con flusso e campo perpendicolari alla membrana il problema diventa 1D su [0, L], con 0 = intra e L = extra:

Integrando su [0, L]:

Con il potenziale transmembrana

V = φᵢ − φₑ:

potenziale per cui i due flussi si bilanciano

Con i dati del calamaro: circa −75 mV per K⁺ e +55 mV per Na⁺ (slide 11).

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In sintesi

1

L'omeostasi è un equilibrio dinamico garantito dalla membrana

2

Conservazione + legge costitutiva = equazione di reazione-diffusione

3

In una membrana stazionaria il flusso è proporzionale al salto di concentrazione: l'analogo della legge di Ohm

4

I buffer rallentano la diffusione: un coefficiente di diffusione effettivo

5

Nernst–Planck all'equilibrio dà il potenziale di Nernst

Prossima lezione: equazioni di Poisson–Nernst–Planck e relazioni corrente-voltaggio.