Sistemas de Numeración
MATEMÁTICAS
5
Número y Numeral
Idea que se tiene de cantidad.
Representación de un número por medio de símbolos.
Número:
Numeral:
V
Un Sistema de Numeración, es un conjunto de reglas y principios, que se emplean para representar correctamente los números.
Entre estos principios tenemos:
1. Principio de Orden
2. Principio de la Base
¿ Qué es un Sistema de Numeración ?
3. Principio posicional
Toda cifra en un numeral, tiene un orden, por convención, el orden se cuenta de derecha a izquierda.
Ejemplo:
568
1. Principio de Orden
1er. Orden
2do. Orden
3er. Orden
No confundir el lugar de una cifra, con el orden de una cifra, el lugar se cuenta de izquierda a derecha.
Observación:
Todo sistema de numeración, tiene una base, que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la forma como debemos agrupar.
Ejemplo:
2. Principio de la Base
En el Sistema Senario (Base 6), debemos agrupar las unidades de 6 en 6, veamos:
2
3
(6)
Grupos
Unidades que sobran
=
15
¿ Cómo se representa Veinte en el Sistema Quinario ( Base 5 ) ?
4
0
(5)
Grupos
Unidades que sobran
=
20
En el sistema “Quinario”, debemos agrupar de 5 en 5.
Para representar un número en un sistema diferente al decimal, se emplea el método de:
“Divisiones Sucesivas”
¿ Cómo representar un número en otra base ?
Ejemplo:
Representar 243 en el sistema heptal ( Base 7 )
243
7
34
5
7
4
6
Entonces:
243 =
465
(7)
La Base de un sistema de numeración también nos indica cuantas cifras pueden usarse en el sistema, veamos:
Base | Sistema | Cifras que emplea |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
2
Binario
0; 1
3
Ternario
0; 1; 2
4
Cuaternario
0; 1; 2; 3
5
Quinario
0; 1; 2; 3; 4
6
Senario
0; 1; 2; 3; 4; 5
7
Heptal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8
Octal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9
Nonario
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10
Decimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11
Undecimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A
12
Duodecimal
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B
A = 10
B = 11
En un numeral toda cifra tiene un ”valor posicional”, veamos un ejemplo:
457
3. Principio posicional:
Unidades
Decenas
Centenas
La suma de los valores posiciónales, nos da el número.
Observación:
= 7.1 = 7
= 5.10 = 50
= 4.100 = 400
400 + 50 + 7 = 457
Descomposición polinómica de numerales representados en otros sistemas de numeración
Ejemplo:
4357
=
(9)
1
9
9
2
9
3
4.9 +
3
3.9 +
2
5.9 +
7.1
Mas ejemplos:
2143
= 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3
(5)
3
2
124
= 1.6 + 2.6 + 4
(6)
2
54
= 5.8 + 4
(8)
346
= 3.8 + 4.8 + 6
(8)
2
23A5
= 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5
(11)
3
2
Ejemplos:
Podemos emplear la Descomposición Polinómica para hallar el equivalente de un numeral en el Sistema Decimal
4521
= 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1
(7)
3
2
= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 =
1632
124
= 1.5 + 2.5 + 4
(5)
2
= 1.25 + 10 + 4 =
39
64
= 6.8 + 4 =
(8)
52
Ejemplos:
En algunos casos tendremos que descomponer numerales con valores incognitos
2x3y
= 2.5 + x.5 + 3.5 + y
(5)
3
2
= 2.125 + x.25 + 15 + y
= 265 + 25x + y
352
= 3.n + 5.n + 2
(n)
2
xyz
= x.a + y.a + z
(a)
2
2abc
= 2.x + a.x + b.x + c
(x)
3
2
Se llama así a aquel numeral que leído de derecha a izquierda, se lee igual que de izquierda a derecha.
Ejemplos:
Algunos Conceptos Finales
44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321
Numeral Capicúa
Literalmente los representamos:
aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….
Cifra Significativa
Se llama así a toda cifra que es diferente de cero, en el sistema decimal las cifras significativas son:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
Practiquemos
Hallar el valor de “a”, en:
13a0
= 120
(4)
Convertimos 120 al sistema cuaternario
… Rpta.
120
4
30
0
4
7
2
4
1
3
120 =
1320
(4)
Reemplazando tenemos:
13a0 =
(4)
1320
(4)
a = 2
Ejercicio 3:
Expresar en el sistema octal, el mayor número de tres cifras de base 6, dar la cifra de menor orden.
555
(6)
El mayor numero de tres cifras de base 6 es:
215
8
26
7
8
3
2
= 215
= 327
(8)
La cifra de menor orden es 7 …. Rpta.
Ejercicio 5:
Pasándolo a base 10:
555
= 5.6 + 5.6 + 5
(6)
2
= 180 + 30 + 5 =
215
Ahora al sistema octal (base 8):
555
(6)