Pythagore
Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle
BC2 = 32 + 72
ABC est un triangle rectangle donc je
peux utiliser le théorème de Pythagore
BC = 58
BC2 = 9 + 49
BC2 = 58
BC ≈ 7,6 cm
1
2
3
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
3 cm
7 cm
A
C
B
?
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au dixième)
Exercice 1
DE2 = 82 – 62
DFE est un triangle rectangle donc je
peux utiliser le théorème de Pythagore
DE = 28
DE2 = 64 – 36
DE2 = 28
DE ≈ 5,3 cm
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
1
2
3
Exercice 2
8 cm
6 cm
E
D
F
?
(Valeur approchée au dixième)
BC2 = 3,22 – 3,052
ABC est un triangle rectangle donc je
peux utiliser le théorème de Pythagore
BC = 0,9375
BC2 = 10,24 – 9,3025
BC2 = 0,9375
BC ≈ 0,97 m
( = 97 cm)
1
2
3
Arrondir au cm près
A
B
C
1. Montrer que l’aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm².
2. a. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.
b. Calculer l’aire du triangle rectangle ABE.
3. a. Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
b. Calculer la longueur AH.
Théorème de Pythagore dans ABE
Aire rectangle = longueur × largeur = 4,2cm × 7cm = 29,4cm2
Triangle rectangle = moitié d’un rectangle donc aire ABE = (4,2 × 5,6) ÷ 2 = 11,76 cm2
Car (ED) et (HA) sont toutes les deux perpendiculaires à (CF)
5,6 cm
7 cm
7 cm
4,2 cm
4,2 cm
Exercice 3
Faire un dessin à l'échelle en prenant un carreau pour 10 cm
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
AC2 = 1102 + 402
AC2 = 12100 + 1600
AC2 = 13700
AC = 13700
AC ≈ 117 cm
La longueur totale du tuyau est environ:
30 + 117 + 30 = 177 cm = 1,77 m
30 cm
30 cm
70 cm
140 cm
110 cm
40 cm
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
A
B
C
(140 - 30)
(70 - 30)
=
7
10
6
10
1
+
10
3
5
+
1
10
=
A =
× 2
× 2
=
1
7
5
7
-
40
70
=
B =
5
7
4
-
7
÷ 10
÷ 10
25
18
5
3
×
5
6
=
C =
2
7
÷
4
5
=
D =
2
7
×
5
4
=
10
28
=
5
14
=
14
21
12
14
21
+
21
4
7
+
2
3
=
E =
× 3
× 3
=
17
5
4
-
3
5
=
F =
20
5
3
-
5
× 5
× 5
16
9
8
3
×
2
3
=
G =
3
÷
1
5
=
H =
3
×
5
1
=
15
1
1
=
15
1
=
2
3
× 7
× 7
=
7
12
- 8
15
12
+
12
-2
3
+
5
4
=
I =
× 4
× 4
=
- 38
7
- 5
-
3
7
=
J =
- 35
3
7
-
7
× 7
× 7
- 6
- 7
2
- 7
×
- 3
=
K =
÷
2
5
=
L =
=
10
10
=
1
1
2
5
2
5
×
5
2
× 3
× 3
1
=
6
7
A = -2 + 3 =
B = -7 - 5 =
(+7) + (+3) =
1
G = (+4) - (-9) - 3 + (-5) =
H = - 4 + (-1) - 10 + 1 - (-7) =
4 + 9 - 3 -5 =
-6 - 1 - 5 =
13 - 8 =
5
3
- 4 -1 - 10 + 1 + 7 =
- 15 + 8 =
- 7
- 12
10
7 + 3 =
F = (-6) + (-1) - (+5) =
-16
- 11 + 14 =
E = - 1 + 7 - 2 - 8 + 7 =
C = -3 + 7 =
- 12
D = -1 - 3 - 3 =
- 7
(+7) - (+3) =
4
7 - 3 =
(-7) + (-3) =
- 10
-7 - 3 =
(-7) - (-3) =
- 4
-7 + 3 =
Perte
Gain
A = (-5) × (-2) =
B = 7 × (-3) =
C = (-4) × 3 =
D= (-1) × (-1) × (-1) × (-1) × (-1) =
E = (-5) × (-2) × (-2) × 7 × (-5) =
10
- 21
- 1
700
1
1
- 12
F = (-15) ÷ (-3) =
G = 7 ÷ (-2) =
H = (-20) ÷ 5 =
5
- 3,5
- 4
I = -5 + 7 × (-2) =
- 19
-5 - 14 =
J = (-5 + 1) × (-3) =
12
(-4) × (-3) =
K = - 5 - 3 × (-5 + 2)2 – (-3 - 11) =
- 5 - 3 × (-3)2 – (-14) =
= - 5 - 3 × 9 + 14
= - 5 - 27 + 14
= - 18
Multiplication prioritaire
K = - 5 - 3 × (-5 + 2)2 – (-3 - 11) =
- 5 - 3 × (-3)2 – (-14) =
On a donc TO2 = TR2 + RO2
On repère le côté le plus long
On compare
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle est rectangle
1
2
3
Le triangle ORT est-il rectangle ?
On a donc MN2 ≠ MP2 + PN2
On compare
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
donc le triangle est rectangle
L’étagère est-elle bien horizontale ?
1
2
3
2,6 m
1,6 m
2 m
AC2 = 22 - 1,62
ABC est un triangle rectangle donc je
peux utiliser le théorème de Pythagore
AC = 1,44
1
2
3
AC2 = 4 - 2,56
AC2 = 1,44
AC = 1,2 m
A
B
C
La hauteur du camion est donc : 2,5 + 1,2 = 3,7 m
Quelle est la longueur du côté d’un carré dont la diagonale est de 100 m
?
?
100 m
DE2 = 82 – 62
DE2 = 64 - 36
DE2 = 28
DFE est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
DE = 28
DE ≈ 5,3 cm
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
BC = 45
BC ≈ 6,7 cm
BC2 = 32 + 62
BC2 = 9 + 36
BC2 = 45
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au dixième)
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au dixième)
1
2
3
1
2
3
?
?
Quelle est la longueur de la diagonale de ce téléviseur?
(en cm puis en pouce)
?
RT2 = 86,72 + 144,72
RT2 = 7516,89 + 20938,09
RT2 = 28454,98
RST est un triangle rectangle
donc je peux utiliser le théorème de Pythagore
RT = 28454,98
RT ≈ 168,7 cm
La diagonale de la télé mesure environ 168,7 cm
donc 168,7 ÷ 2,54 ≈ 66,4’’ (pouces) ( 65’’ si on ne compte pas les bords de la télé)
R
S
T
≈ 86,7 cm
≈ 144,7 cm
?
1
2
3
Exercice 3
Faire un dessin à l'échelle en prenant un carreau pour 10 cm
Calculer la longueur totale du tuyau.
Faire un dessin à l’échelle (10 cm = 1 carreaux)
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
AC2 = 1102 + 402
AC2 = 12100 + 1600
AC2 = 13700
AC = 13700
AC ≈ 117 cm
La longueur totale du tuyau est environ:
30 + 117 + 30 = 177 cm = 1,77 m
30 cm
30 cm
70 cm
140 cm
110 cm
40 cm
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
A
B
C
(140 - 30)
(70 - 30)
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
AC2 = 1102 + 402
AC2 = 12100 + 1600
AC2 = 13700
AC = 13700
AC ≈ 117 cm
La longueur totale du tuyau est environ:
30 + 117 + 30 = 177 cm = 1,77 m
30 cm
30 cm
70 cm
140 cm
110 cm
40 cm
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
A
B
C
(140 - 30)
(70 - 30)
? ? ? ?
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à
la somme des carrés des 2 autres côtés
Hypoténuse
AC2 = ? ? ? ? ?
Remarque
importante
On en déduit 2 autres égalités équivalentes:
AB2 = ? ? ? ?
BC2 = ? ? ? ?
OU
AC2 - BC2
AC2 - AB2
AB2 + BC2
Grâce au théorème de Pythagore on peut calculer une longueur dans un
triangle rectangle quand on connaît la longueur des deux autres côtés
Démonstration dans les bonus
Le plus grand côté du triangle rectangle (donc le côté en face de l’angle droit)
IJ2 = 112 + 62
IJ2 = 121 + 36
IJ2 = 157
IJK est un triangle rectangle donc je peux utiliser le théorème de Pythagore
IJ = 157
IJ ≈ 12,53 cm
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au centième)
?
1
2
3
UM = 144
UM = 12
UMS est un triangle rectangle donc je peux utiliser le théorème de Pythagore
UM2 = 132 - 52
UM2 = 169 - 25
UM2 = 144
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
(Valeur exacte)
?
1
2
3
IJ2 = 112 + 62
IJ2 = 121 + 36
IJ2 = 157
UM = 144
UM = 12
IJK est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
IJ = 157
IJ ≈ 12,53 cm
UMS est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
UM2 = 132 - 52
UM2 = 169 - 25
UM2 = 144
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
(Valeur exacte)
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au centième)
?
1
2
3
1
2
3
? ? ? ?
? ? ? ?
?
Entrainement
?
7
9
RT2 = 72 + 92
11
8
DE2 = 112 - 82
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
? ? ? ?
? ? ? ?
?
6
10
PM2 = 102 - 62
8
5
HG2 = 82 - 52
?
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connuS
Comme on cherche un côté de l’angle droit on soustrait les carrés des 2 côtés connus
? ? ? ?
? ? ? ?
A
M
P
H
E
G
MÉTHODE GÉNÉRALE
Triangle rectangle obligatoire
Si on cherche l’hypoténuse
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
Si on cherche un des côtés de l’angle droit
Rédaction en 3 étapes
On additionne les carrés
des 2 côtés connus
“Le triangle est rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore”
“Le triangle est rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore”
On soustrait les carrés
des 2 côtés connus
Racine carrée du résultat
Racine carrée du résultat
1
2
3
?
?
NR = EI
Vrai ou faux?
EXERCICE APPLIQUÉ 2
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
AC2 = 2362 + 582
AC2 = 55696 + 3364
AC2 = 59060
AC = 59060
AC ≈ 243,02 cm
Si la hauteur du plafond est inférieure à 243,02 on ne pourra pas relever l’armoire
?
236 cm
58 cm
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
A
B
C
Extrait de la notice de montage du meuble PAX
EXERCICE APPLIQUÉ 3
Exercice 3
Faire un dessin à l'échelle en prenant un carreau pour 10 cm
ABC est un triangle rectangle donc je peux
utiliser le théorème de Pythagore
AC2 = 1102 + 402
AC2 = 12100 + 1600
AC2 = 13700
AC = 13700
AC ≈ 117 cm
La longueur totale du tuyau est environ:
30 + 117 + 30 = 177 cm = 1,77 m
30 cm
30 cm
70 cm
140 cm
110 cm
40 cm
?
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
A
B
C
(140 - 30)
(70 - 30)
1. Montrer que l’aire du rectangle BCDE est égale à 29,4 cm².
2. a. Montrer que la longueur AE est égale à 5,6 cm.
b. Calculer l’aire du triangle rectangle ABE.
3. a. Montrer que les droites (ED) et (HA) sont parallèles.
b. Calculer la longueur AH.
Théorème de Pythagore dans ABE
Théorème de Thalès dans AHF
Aire rectangle = longueur × largeur = 4,2cm × 7cm = 29,4cm2
Triangle rectangle = moitié d’un rectangle donc aire ABE = (4,2 × 5,6) ÷ 2 = 11,76 cm2
Car (ED) et (HA) sont toutes les deux perpendiculaires à (CF)
5,6 cm
7 cm
7 cm
4,2 cm
4,2 cm
BONUS
?
?
Format 16/9
Quelle est la longueur de la diagonale d’un terrain carré de 100 m de côté ?
Quelle est la longueur du côté d’un carré dont la diagonale est de 100 m
100 m
100 m
?
?
?
100 m
300 m
28 m
?
300 m
28 m
?
2,6 m
1,3 m
2 m
AC2 = 22 - 1,32
ABC est un triangle rectangle donc je
peux utiliser le théorème de Pythagore
AC = 2,31
1
2
3
AC2 = 4 - 1,69
AC2 = 2,31
AC ≈ 1,52 m
A
B
C
La hauteur du camion est donc : 2,5 + 1,52 = 4,02 m
Exemple 3
Un maçon cherche à construire un mur perpendiculaire au sol. Une fois le mur construit, il effectue les mesures suivantes.
Le mur est-il bien perpendiculaire au sol ? Justifier.
On a donc MN2 = MP2 + PN2
On repère le côté le plus long
On compare
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc
le triangle est rectangle
1
2
3
IJ2 = 112 + 62
IJ2 = 121 + 36
IJ2 = 157
IJK est un triangle rectangle donc je peux utiliser le théorème de Pythagore
IJ = 157
IJ ≈ 12,53 cm
Comme on cherche l’hypoténuse, on additionne les carrés des 2 côtés connus
(Valeur exacte)
(Valeur approchée au centième)
?
1
2
3
On a donc FH2 ≠ FG2 + GH2
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
donc le triangle n’est pas rectangle
On compare
On repère
le côté le
plus long
Le triangle FGH est-il rectangle ?
F
H
G
42 cm
18 cm
37 cm
Le mur est-il bien perpendiculaire au sol?
L’étagère est-elle bien horizontale ?
Donc BC2 ≠ AB2 + AC2
On compare
On repère
le côté le
plus long
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
donc le triangle n’est pas rectangle
1
2
3
L’étagère est-elle bien horizontale ?
Le triangle ORT est-il rectangle ?
L’étagère est-elle bien horizontale ?
On a donc TO2 = TR2 + RO2
On repère le côté le plus long
On compare
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle est rectangle
1
2
3
Le triangle ORT est-il rectangle ?
On a donc MN2 ≠ MP2 + PN2
On compare
L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée
donc le triangle est rectangle
L’étagère est-elle bien horizontale ?
1
2
3
Antoine est privé de Kahoot car il n’a pas rangé sa chambre. Il décide donc d’installer chez lui un panier de basket.
Il doit le fixer à 3,05 m du sol. L'échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.
1) À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier?
Donner une valeur approchée au cm près.
2) Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol.
Donner une valeur approchée au degré près.
Antoine est privé de Kahoot car il n’a pas rangé sa chambre. Il décide donc d’installer chez lui un panier de basket.
Il doit le fixer à 3,05 m du sol. L'échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long.
1) À quelle distance du pied du mur doit-il placer l'échelle pour que son sommet soit juste au niveau du panier?
Donner une valeur approchée au cm près.
2) Calculer l'angle formé par l'échelle et le sol.
Donner une valeur approchée au degré près.
?