Media Pembelajaran

TEOREMA PYTHAGORAS

Sumber: shutterstock.com

Seorang tentara sedang dalam misi penyelamatan wisatawan yang terjebak di atas sebuah menara pengawas yang berada di lepas pantai.

6.1 MENEMUKAN DAN MEMBUKTIKAN TEOREMA PYTHAGORAS

A. Menemukan Teorema Pythagoras pada Segitiga Siku-siku

Kita akan mempelajari masalah-masalah khusus tentang hubungan antara ketiga sisi segitiga siku-siku. Perhatikan gambar berikut.

Kini amati secara saksama bahwa:

1. Luas persegi BCGH

= Luas persegi ADEF – Luas (∆ABC + ∆CFG + ∆GEH + ∆BDH)

= 29 satuan

• Luas persegi QRVW

= Luas persegi PSTU – Luas (∆PQR + ∆UVR + ∆TVW + ∆SWQ)

= 29 satuan

Jika kumpulan potongan (c) dan (d) serta (e) dan (f) masing-masing dimasukkan ke bangun-bangun persegi yang ada di bagian atasnya, maka hasilnya akan seperti Gambar 6.3 berikut.

Selanjutnya, pindahkan potongan-potongan yang berada pada persegi-persegi yang ada di bagian kiri dan persegi yang ada di bagian bawah Gambar 6.3 (a) dan (b) ke persegi kosong yang terdapat pada bagian kanan atas, hingga diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada Gambar 6.5 berikut. Amati khususnya untuk daerah-daerah persegi pada bagian-bagian sisi tegak dan sisi miringnya.

Jika kedua bentuk peragaan pada Gambar 6.5 kita nyatakan secara umum, maka hasilnya adalah seperti gambar berikut (Gambar 6.6).

​

Jumlah luas persegi sisi tegak, “a² + b²” sama dengan luas persegi sisi miring c² ?” Secara aljabar berarti:

“a² + b² = c²”

Untuk memastikan kebenaran atau ketidakbenaran dugaan “jumlah luas persegi sisi siku-sikunya sama dengan luas persegi sisi miring”, secara formal matematika pengujiannya harus dilakukan secara deduktif. Kesimpulan tersebut dikenal sebagai teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku.

B. Membuktikan Teorema Pythagoras secara Deduktif

1. Pembuktian bahwa Segi Empat yang Ada di Sisi Miringnya (EFGH) Berbentuk Persegi

Perhatikan penalaran berikut. Segi empat ABCD berbentuk persegi. Keempat segitiga siku-siku yang berada di bagian-bagian pojoknya kongruen (bentuk dan ukurannya sama).

2. Pembuktian Kebenaran Teorema Pythagoras secara Deduktif

Perhatikan Gambar 6.8. Segitiga ABC siku-siku. Panjang sisi ∆ABC di depan sudut A, B, dan C berturut-turut adalah a, b, dan c sehingga panjang sisi persegi ACGF, BCKL, dan ABDE berturut-turut adalah b, a, dan c.

1. Jumlah luas persegi yang dibentuk oleh sisi-sisi tegaknya

→ Luas BCKL + luas ACGF = a² + b²… (1)

• Jumlah luas persegi yang dibentuk oleh sisi-sisi miringnya

→ Luas ABDE = c² … (2)

→ Luas ABDE = a² + b²… (3)

​

Perhatikan bahwa: (1) = (2) = (3) atau

​

3. Teknik Penarikan Akar Kuadrat menurut Rudolff

Dengan teknik perhitungan Rudolff, bilangan yang ditarik akarnya dipisahkan dua angka-dua angka dari belakang. Pengerjaan penarikan akar dimulai dari angka terdepan.

Selain cara penarikan akar dengan teknik Rudolff tersebut, masih ada satu teknik lagi. Teknik yang dimaksud adalah teknik menguadratkan dengan cara cepat. Teknik tersebut diperoleh dari identitas/kesamaan aljabar berbentuk:

Dengan menggunakan identitas aljabar tersebut, pengkuadratan suatu bilangan dapat dilakukan secara lebih cepat dan lebih mudah. Misalkan kita akan menghitung kuadrat dari bilangan 16 dan 65. Gambaran teknik perhitungannya adalah sebagai berikut.

​

Teknik Menguadratkan

1. Letakkan di bagian tengah bilangan yang akan dikuadratkan, misalkan 16.
2. Naikkan atau turunkan bilangan 16 tersebut ke bilangan yang perkaliannya mudah dicongak. Misalnya, bilangan yang perkaliannya mudah dicongak adalah 10 atau 20.
3. Jika 16 kita turunkan ke bilangan 10, berarti turun 6. Karena diturunkan 6, maka bilangan di sebelah kanannya harus dinaikkan 6 sehingga menjadi 22. Sebaliknya, jika kita memilih 16 dinaikkan ke bilangan 20, yakni naik 4, maka bilangan di sebelah kirinya harus diturunkan 4 menjadi 12.
4. Perhatikan kedua cara menguadratkan bilangan 16 tersebut. Diperoleh keduanya memberikan hasil akhir sama, yakni 256.
5. Dengan cara yang sama akan kita dapatkan bahwa 16² = 256.

Hitunglah panjang sisi tegak segitiga di samping yang belum diketahui jika panjang sisi miring dan salah satu sisi tegaknya pada suatu segitiga siku-siku masing-masing adalah 16 dan 65 satuan.

Jawab:

Misalkan panjang sisi tegak lainnya b. Dengan menggunakan teorema Pythagoras a² + b² = c², didapat:

b² = c² – a²

​

​

​

b = 63 → Jadi, panjang sisi tegak lainnya adalah b = 63 satuan.

​

6.2 KEBALIKAN (KONVERS) DARI TEOREMA PYTHAGORAS

A. Pembuktian secara Kontekstual

Secara umum (generalisasi), untuk setiap ∆ABC berlaku:

​

​

​

​

Mengacu pada generalisasi tersebut, untuk selanjutnya yang dimaksud sebagai teorema kebalikan (konvers) dari teorema Pythagoras adalah sebagai berikut.

​

B. Pembuktian secara Formal (Deduktif)

Masalah

Perhatikan Gambar 6.13. Diketahui ∆ABC dengan sisi-sisi di hadapan masingmasing sudutnya adalah a, b, dan c. Jika sisi terpanjang adalah c dan berlaku: c² = a² + b², dapatkah kamu buktikan bahwa ∆ABC adalah segitiga siku-siku?

Bukti

Bukti teorema ini hanya dapat dilakukan menggunakan pembuktian tak langsung, yakni pembuktian dengan pengandaian bahwa ∆ABC yang diketahui bukan segitiga siku-siku. Jika dalam penyelidikannya dijumpai adanya kontradiksi, konsekuensinya pernyataan yang diandaikan tersebut dinyatakan salah. Agar menjadi pernyataan yang benar, pengandaian itu harus diingkar.

Pada pembuktian secara kontekstual, sudah terbukti jika pada ∆ABC dengan sisi terpanjang c dipenuhi syarat c² = a² + b², maka ∆ABC adalah segitiga siku-siku dan sebaliknya juga terbukti c sisi terpanjang ∆ABC dipenuhi c² = a² + b². Diperoleh ∆ABC adalah segitiga siku-siku sehingga pembuktian teorema Pythagoras terbukti.

Selidiki apakah tripel bilangan 12, 5, dan 13 merupakan ukuran panjang sisi-sisi dari sebuah segitiga siku-siku?

Jawab:

Bilangan terbesar pada tripel (12, 5, 13) adalah 13. Pada segitiga tersebut, 13 adalah ukuran sisi yang terpanjang dan panjang sisi siku-sikunya adalah 12 satuan dan 5 satuan.

​

​

​

Karena benar bahwa 13² = 12² + 5², maka terbukti bahwa segitiga dengan panjang sisi-sisinya 12, 5, dan 13 adalah segitiga siku-siku. Sudut siku-sikunya adalah sudut yang menghadap sisi terpanjang

6.3 SIFAT PERBANDINGAN SISI SEGITIGA SIKU-SIKU BERSUDUT ISTIMEWA

Perhitungan-perhitungan yang melibatkan sudut-sudut istimewa akan sering kamu jumpai pada ilmu-ilmu lainnya seperti fisika, ekonomi, dan teknik konstruksi. Sebab, untuk mendapatkan apa sebenarnya yang diketahui dan apa saja yang harus dihitung tidak harus melihat tabel dan tidak harus menggunakan kalkulator.

Sudut-sudut yang memiliki besar 30°, 45°, dan 60° dikenal sebagai sudut istimewa. Mengapa? Sebab sudut-sudut yang besarnya 30°, 45°, dan 60° dapat dilukis menggunakan jangka dan penggaris. Sudut-sudut istimewa selengkapnya adalah seperti berikut.

0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°

Diketahui sisi terpanjang dari sebuah segitiga sikusiku yang salah satu sudutnya 60° adalah 20 cm seperti gambar di samping. Tentukan besar sudut dan panjang sisi-sisi lainnya.

Jawab:

Misalkan panjang sisi terpendeknya q. Dari segitiga siku-siku yang diketahui, salah satu sudutnya 60° yang merupakan sudut istimewa, maka ada kekhususan yang harus kita cermati, yaitu sudut lainnya pasti 30° dan perbandingan sisi-sisinya mengacu pada sifat 2 segitiga siku-siku seperti pada Gambar (a).

Dengan membandingkan unsur-unsur antara kedua gambar yang bersesuaian itu, maka akan kita peroleh

2q = 20 ⇔ q = 10

Jadi, besar sudut lainnya 30° dan panjang sisi yang ketiga adalah

sehingga panjang sisi dan besar sudut selengkapnya ditunjukkan pada Gambar (b).

6.4 TEKNIK PENARIKAN AKAR DAN PENYEDERHANAAN

BENTUK AKAR

Teknik menarik akar kuadrat baru ditemukan di abad ke-16 Masehi oleh Rudolff seorang matematikawan Swiss di tahun 1530 M. Teknik yang dimaksud adalah seperti berikut.

Perhatikan bahwa:

• Bilangan adalah bilangan rasional karena

hasilnya tepat sama dengan 3,125.

• Bilangan adalah bilangan bentuk akar yang bukan bilangan rasional karena hasilnya 1,41421... , yakni berupa bilangan pecahan desimal dengan angka-angka di belakang koma tak pernah berakhir. Artinya, adalah bilangan bentuk akar yang bukan bilangan rasional.

Tentukan panjang sebenarnya dari sebuah tali sepanjang meter.

Jawab:

Panjang tali = m

= (10 × 1,41421) m

= 14,1421 m

= 14,14 m

= 1414 cm

Teknik menarik akar (khusus penarikan akar kuadrat/pangkat dua) cukup dengan istilah ”menarik akar” saja yang maknanya adalah menarik akar kuadrat. Saat ini, teknik menarik akar dengan cara ini sudah jarang dilakukan dalam kehidupan sehari-hari karena lebih rumit daripada perkalian dasar atau pembagian dasar susun ke bawah. Akan tetapi, sebagai peserta didik, kamu perlu mengetahuinya.

6.5 PENGGUNAAN RUMUS PYTHAGORAS DALAM PEMECAHAN MASALAH

Tentukan keliling bangun datar yang diarsir berikut.

Jawab:

Menentukan keliling suatu bangun datar berarti menghitung jumlah panjang sisi-sisi bagian luar yang membatasi bangun datar tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Lanjut

Gunakan teorema Pythagoras untuk menghitung panjang sisi miringnya. Perhatikan teknik perhitungannya.

Dengan demikian, gambaran tentang ukuran masing-masing sisi dari bangun tersebut selengkapnya adalah seperti gambar di samping. Keliling bangun = 5 + 13 + 12 + 1 + 3 = 34 satuan.

Jadi, keliling bangun tersebut adalah 34 satuan.