MATEMATIKA
SMP/MTs Kelas IX
Oleh : Suparno
DISKLAIMER
DAFTAR ISI
BAB I Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB II Persamaan Kuadrat
BAB III Fungsi Kuadrat
BAB IV Transformasi Geometri
BAB V Kekongruenan dan Kesebangungan
BAB VI Bangun Ruang Sisi Lengkung
I
A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
BAGIAN BAB
Ke Daftar Isi
Bilangan Berpangkat dan
Bentuk Akar
BAB
1. Pengertian Perpangkatan Bilangan
2. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
A. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
3. Operasi Hitung yang Melibatkan Bilangan Berpangkat
4. Perkalian pada Perpangkatan
5. Pembagian pada Perpangkatan
6. Bentuk Baku Bilangan
7. Persamaan Pangkat Sederhana
1. Pengertian Perpangkatan Bilangan
Perpangkatan bilangan merupakan perkalian berulang dari bilangan tersebut.
Contoh Soal
Nyatakan perpangkatan berikut ke dalam bentuk perkalian berulang.
a. 32
b. 43
c. (–2)5
d. –64
2. Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat
a. Bilangan Berpangkat 0
b. Bilangan Berpangkat Negatif
Contoh Soal
Tentukan hasilnya.
a. 30
b. (–2)0
Nyatakan ke dalam bentuk pangkat positif.
a. 3–2
b. (–2)–3
3. Operasi Hitung yang Melibatkan Bilangan Berpangkat
Urutan pengerjaan operasi hitung yang melibatkan bilangan berpangkat sebagai berikut.
a. Kerjakan operasi dalam kurung terlebih dahulu.
b. Lanjutkan dengan operasi perpangkatan.
c. Kerjakan operasi perkalian atau pembagian.
d. Kerjakan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh Soal
4. Perkalian pada Perpangkatan
Pada operasi perkalian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama berlaku sifat berikut.
a. am × an = am + n
b. (am)n = (an)m = am × n
c. (a × b)m = am × bm
Contoh Soal
Tentukan hasilnya.
a. 43 × 42
b. (23)2
c. (2 × 3)2
5. Pembagian pada Perpangkatan
Pada operasi pembagian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama berlaku sifat berikut.
a. am : an = am – n
b. (a : b)m = am : bm
Contoh Soal
Tentukan hasilnya.
a. 43 : 42
b. (6 : 2)2
6. Bentuk Baku Bilangan
Bilangan yang sangat besar atau kecil lebih mudah dituliskan ke dalam bentuk baku. Bentuk baku bilangan yaitu a × 10n dengan 1 ≤ a < 10 dan n bilangan bulat.
Contoh Soal
7. Persamaan Pangkat Sederhana
Jika af(x) = ag(x), berlaku f(x) = g(x) dengan a bilangan real dan f(x), g(x) fungsi dalam variabel x
Contoh Soal
1. Penarikan Akar Pangkat
2. Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional
B. Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan
3. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional
4. Bentuk Akar
5. Sifat-Sifat Bentuk Akar
6. Operasi Aljabar Bentuk Akar
7. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
1. Penarikan Akar Pangkat
2. Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional
Contoh Soal
3. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional
Contoh Soal
4. Bentuk Akar
5. Sifat-Sifat Bentuk Akar
a. Sifat Perkalian Bentuk Akar
b. Sifat Pembagian Bentuk Akar
Contoh Soal
6. Operasi Aljabar Bentuk Akar
a. Penjumlahan Bentuk Akar
b. Pengurangan Bentuk Akar
c. Perkalian Bentuk Akar
d. Pembagian Bentuk Akar
Contoh Soal
7. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Contoh Soal
Persamaan�Kuadrat
II
A. Pengertian Persamaan Kuadrat dan Akar Persamaan Kuadrat
B. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
BAGIAN BAB
Ke Daftar Isi
BAB
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
2. Akar Persamaan Kuadrat
A. Pengertian Persamaan Kuadrat dan Akar Persamaan Kuadrat
3. Banyak Akar Persamaan Kuadrat
1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
x disebut variabel.
a disebut koefisien dari x2.
b disebut koefisien dari x.
c disebut konstanta.
Contoh Soal
Perhatikan beberapa persamaan kuadrat berikut.
a. x2 + 2x – 1 = 0
b. 2t2 + t = 0
c. m2 – 3 = 0
d. n2 = 0
2. Akar Persamaan Kuadrat
Akar atau penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang menyebabkan ruas kiri persamaan bernilai nol. Dengan kata lain, penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah nilai x yang memenuhi persamaan.
Contoh Soal
3. Banyak Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 bisa mempunyai dua akar, satu akar, atau bahkan tidak mempunyai akar. Banyak akar yang dimiliki suatu persamaan kuadrat dapat dilihat dari nilai diskriminannya yaitu D = b2 – 4ac.
a. Persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berbeda (berlainan) jika nilai D > 0.
b. Persamaan kuadrat mempunyai satu akar real jika nilai D = 0. Satu akar real juga sering disebut dua akar real kembar.
c. Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real jika nilai D < 0.
Contoh Soal
1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Kuadrat Sempurna
B. Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran
Contoh Soal
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Kuadrat Sempurna
Bentuk kuadrat sempurna yaitu (x + p)2 dan (x – p)2.
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diubah menjadi kuadrat sempurna.
Contoh Soal
3. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc
Contoh Soal
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Contoh Soal
Fungsi Kuadrat�
III
A. Fungsi Kuadrat
B. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
BAGIAN BAB
C. Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
Ke Daftar Isi
BAB
1. Bentuk Persamaan Fungsi Kuadrat
2. Grafik Fungsi Kuadrat
A. Fungsi Kuadrat
3. Menentukan Titik Balik Grafik Fungsi Kuadrat
4. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Persamaan Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang memiliki satu variabel dan pangkat tertinggi variabel tersebut dua.
Bentuk persamaan fungsi kuadrat dalam x adalah f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.
x disebut variabel, a disebut koefisien x2, b disebut koefisien x, dan c disebut konstanta.
Contoh Soal
Perhatikan persamaan fungsi kuadrat berikut.
a. f(x) = x2 + 2x – 3, memiliki nilai a = 1, b = 2, dan c = –3.
b. f(x) = –3x2 – 4x, memiliki nilai a = –3, b = –4, dan c = 0.
c. f(x) = 4x2 – 8, memiliki nilai a = 4, b = 0, dan c = –8.
d. f(x) = 2x2, memiliki nilai a = 2, b = 0, dan c = 0.
2. Grafik Fungsi Kuadrat
Sketsa grafik fungsi kuadrat dapat digambarkan secara sederhana yaitu dengan menentukan beberapa titik yang terletak pada grafik fungsi f(x). Kemudian, menggambarkan titik tersebut pada bidang koordinat kartesius secara tepat dan menghubungkannya dengan hati-hati sehingga terbentuk kurva mulus.
Beberapa informasi pada grafik fungsi kuadrat:
a. Titik potong grafik dengan sumbu X
b. Titik potong grafik dengan sumbu Y
c. Sumbu simetri fungsi
d. Titik puncak/titik ekstrem/titik balik fungsi
Contoh Soal
3. Menentukan Titik Balik Grafik Fungsi Kuadrat
Secara umum, fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c mempunyai koordinat titik balik yaitu (x, y) dengan:
x = –b/2a
y = –D/4a
untuk D = b2 – 4ac
Contoh Soal
4. Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c sebagai berikut.
a. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat.
1) Grafik memotong sumbu X jika y = 0.
2) Grafik memotong sumbu Y jika x = 0.
b. Menentukan koordinat titik balik.
c. Menentukan beberapa titik bantu yang dilalui grafik.
d. Menghubungkan titik-titik yang diperoleh dari langkah a sampai c dengan hati-hati sehingga terbentuk kurva mulus.
Contoh Soal
1. Berdasarkan Koefisien x2
2. Berdasarkan Koefisien x2 dan Koefisien x
B. Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
3. Berdasarkan Konstanta
4. Berdasarkan Diskriminan
5. Berdasarkan Koefisien x2 dan Diskriminan
1. Berdasarkan Koefisien x2
Koefisien x2 dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 adalah a. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a sebagai berikut.
a. Jika a > 0, grafik terbuka ke atas sehingga grafik mempunyai titik balik minimum.
b. Jika a < 0, grafik terbuka ke bawah sehingga grafik mempunyai titik balik maksimum.
Bentuk Grafik
2. Berdasarkan Koefisien x2 dan Koefisien x
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai a dan b sebagai berikut.
a. Jika a > 0 dan b > 0, grafik terbuka ke atas dan titik puncak di kiri sumbu Y.
b. Jika a > 0 dan b < 0, grafik terbuka ke atas dan titik puncak di kanan sumbu Y.
c. Jika a > 0 dan b = 0, grafik berada pada sumbu Y.
d. Jika a < 0 dan b > 0, grafik terbuka ke bawah dan titik puncak di kanan sumbu Y.
e. Jika a < 0 dan b < 0, grafik terbuka ke bawah dan titik puncak di kiri sumbu Y.
f. Jika a < 0 dan b = 0, grafik berada pada sumbu Y.
Bentuk Grafik
3. Berdasarkan Konstanta
Konstanta dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 adalah c. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai c sebagai berikut.
a. Jika c > 0, grafik memotong sumbu Y positif.
b. Jika c = 0, grafik memotong melalui titik pangkal koordinat.
c. Jika c < 0, grafik memotong sumbu Y negatif.
Bentuk Grafik
4. Berdasarkan Diskriminan
Diskriminan dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dengan a ≠ 0 adalah D = b2 – 4ac. Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya sebagai berikut.
a. Jika D > 0, grafik memotong sumbu X di dua titik berlainan.
b. Jika D = 0, grafik memotong sumbu X di satu titik atau grafik menyinggung sumbu X.
c. Jika D < 0, grafik tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X. Grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X disebut definit.
Bentuk Grafik
5. Berdasarkan Koefisien x2 dan Diskriminan
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 berdasarkan nilai nilai a dan D sebagai berikut.
a. Jika a > 0 dan D < 0, grafik terbuka ke atas dan tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X. Grafik semcam ini disebut grafik definit positif.
b. Jika a < 0 dan D < 0, grafik terbuka ke bawah dan tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X. Grafik semacam ini disebut grafik definit negatif.
Bentuk Grafik
1. Melalui Tiga Titik
2. Memotong Sumbu X di Dua Titik
C. Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
3. Menyinggung Sumbu X
4. Melalui Titik Puncak
1. Melalui Tiga Titik
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui tiga titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3,y3) dapat dicari dengan cara mensubstitusikan ketiga titik ke dalam persamaan umum y = f(x) = ax2 + bx + c.
Contoh Soal
2. Memotong Sumbu X di Dua Titik
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (x1, 0) dan (x2, 0) serta serta melalui titik C(x3, y3) adalah f(x) = a(x – x1)(x – x2). Nilai a ditentukan dengan cara mensubstitusikan titik C(x3, y3) ke dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = a(x – x1)(x – x2) sehingga diperoleh persamaan y3 = a(x3 – x1)(x3 – x2).
Contoh Soal
3. Menyinggung Sumbu X
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik A(x1, 0) dan melalui titik B(x2, y2) adalah y = f(x) = a(x – x1)2.
Nilai a ditentukan dengan cara mensubstitusikan titik B(x2, y2) ke dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = a(x – x1)2 sehingga diperoleh persamaan y2 = a(x2 – x1)2.
Contoh Soal
4. Melalui Titik Puncak
Persamaan grafik fungsi kuadrat memiliki koordinat titik puncak (p, q) dan melalui titik A(x1, y1) adalah f(x) = a(x – p)2 + q.
Nilai a ditentukan dengan cara mensubstitusikan titik A(x1, y1) ke dalam persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = a(x – p)2 + q sehingga diperoleh persamaan y1 = a(x1 – p)2 + q.
Contoh Soal
Transformasi Geometri
IV
A. Refleksi dan Translasi
B. Rotasi dan Dilatasi
BAGIAN BAB
Ke Daftar Isi
BAB
1. Refleksi (Pencerminan)
2. Translasi (Pergeseran)
A. Refleksi dan Translasi
1. Refleksi (Pencerminan)
Secara umum, hasil refleksi pada bidang koordinat dapat dirumuskan sebagai berikut.
Contoh Soal
2. Translasi (Pergeseran)
Translasi merupakan transformasi yang memindahkan titik atau bangun dengan cara menggeser titik atau bangun tersebut dengan jarak dan arah tertentu.
Translasi suatu titik P(x, y) oleh translasi T = (a, b) yaitu penggeseran titik P(x, y) sejauh a searah sumbu X (ke kanan atau ke kiri) dan sejauh b searah sumbu Y (ke atas atau ke bawah) sehingga menghasilkan titik P′(x + a, y + b).
Contoh Soal
1. Rotasi (Perputaran)
2. Dilatasi
B. Rotasi dan Dilatasi
1. Rotasi (Perputaran)
Rotasi merupakan transformasi yang memutar setiap titik dengan sudut dan arah putaran tertentu terhadap titik yang tetap. Titik yang tetap tersebut dinamakan titik pusat rotasi. Secara umum, hasil rotasi pada bidang koordinat dengan pusat O(0, 0) dapat dirumuskan sebagai berikut.
Contoh Soal
2. Dilatasi
Dilatasi adalah proses pengalian ukuran bangun atau benda. Pengalian ukuran yang dimaksud dapat berupa pembesaran atau pengecilan tergantung dengan skala dilatasi. Unsur yang harus ada pada dilatasi yaitu titik pusat dilatasi dan skala pengalinya.
Secara umum, bayangan titik A(x, y) oleh dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k adalah A′(kx, ky).
Contoh Soal
Kekongruenan dan�Kesebangunan
V
A. Konsep Kekongruenan dan Kesebangunan
B. Kekongruenan pada Segitiga
BAGIAN BAB
C. Kesebangunan pada Segitiga
Ke Daftar Isi
BAB
1. Kekongruenan Bangun Datar
2. Kesebangunan Bangun Datar
A. Konsep Kekongruenan dan Kesebangunan
1. Kekongruenan Bangun Datar
Secara umum, syarat dua bangun saling kongruen sebagai berikut.
a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
Contoh Soal
2. Kesebangunan Bangun Datar
Secara umum, syarat dua bangun saling sebangun sebagai berikut.
a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama.
Contoh Soal
1. Kekongruenan Segitiga
2. Syarat Cukup Kekongruenan Segitiga
B. Kekongruenan pada Segitiga
1. Kekongruenan Segitiga
Dua segitiga yang kongruen mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
Contoh Soal
2. Syarat Cukup Kekongruenan Segitiga
Untuk menunjukkan bahwa dua segitiga kongruen tidak perlu ditunjukkan semua sisinya sama panjang dan ketiga sudutnya sama besar. Berikut ini syarat cukup dari dua segitiga kongruen.
a. Ttiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (s – s – s).
b. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sepasang sudut sama besar.
c. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi sama panjang.
Contoh Soal
1. Kesebangunan Segitiga
2. Rumus Khusus sebagai Akibat Kesebangunan Segitiga
C. Kesebangunan pada Segitiga
1. Kesebangunan Segitiga
Dua segitiga yang sebangun mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.
Contoh Soal
2. Rumus Khusus sebagai Akibat Kesebangunan Segitiga
a. Rumus 1
b. Rumus 2
c. Rumus 3
Contoh Soal
Bangun Ruang�Sisi Lengkung
VI
A. Unsur-Unsur Tabung, Kerucut, dan Bola
B. Luas dan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
BAGIAN BAB
C. Gabungan dan Irisan Bangun Ruang Sisi Lengkung
Ke Daftar Isi
BAB
1. Tabung
2. Kerucut
A. Unsur-Unsur Tabung, Kerucut, dan Bola
3. Bola
1. Tabung
Tabung adalah prisma yang bidang alas dan tutupnya berupa lingkaran.
Unsur-unsur tabung sebagai berikut.
a. Sisi alas dan atas tabung berupa lingkaran.
b. Jari-jari tabung.
c. Tinggi tabung.
d. Selimut tabung berupa sisi lengkung yang menyelimuti tabung.
e. Banyak rusuk 2 dan tidak memiliki titik sudut.
Contoh Soal
2. Kerucut
Kerucut adalah limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran.
Unsur-unsur kerucut sebagai berikut.
a. Jari-jari kerucut.
b. Tinggi kerucut.
c. Garis pelukis adalah garis yang menghubungkan titik puncak ke titik pada keliling bidang alas kerucut.
d. Banyak rusuk 1 dan tidak memiliki titik sudut.
Contoh Soal
3. Bola
Bola merupakan satu-satunya bangun ruang yang hanya tersusun atas satu bidang sisi. Bidang sisi tersebut berupa bidang sisi lengkung. Bola tidak memiliki rusuk dan titik sudut.
Contoh Soal
1. Tabung
2. Kerucut
B. Luas dan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung
3. Bola
1. Tabung
Contoh Soal
2. Kerucut
Contoh Soal
3. Bola
Contoh Soal
1. Gabungan Tabung dan Setengah Bola
2. Gabungan Tabung dan Kerucut
C. Gabungan dan Irisan Bangun Ruang Sisi Lengkung
1. Gabungan Tabung dan Setengah Bola
Contoh Soal
2. Gabungan Tabung dan Kerucut
Contoh Soal
Terima Kasih