Визначений інтеграл, його геометричний

та фізичний зміст

1) f(х) = 5

2) f(х) = х

3) f(х) = х³

4) f(х) = 9х⁸

5) f(х) = х^-7

6) f(х) = √х

7) f(х) = sin х

8) f(х) = cos x

9) f(х) =1/sin²x

10) f(х) = cos3x

F (х) =

Повторимо:

1) ∫5 dx =

2) ∫х dx =

3) ∫х³ dx =

4) ∫9х⁸ dx =

5) ∫х^-7 dx =

6) ∫√х dx =

7) ∫sin х dx =

8) ∫cos x dx =

9) ∫1/sin²x dx =

10) ∫cos3x dx =

5х+С

х⁹ + С

-cos x + С

sin х + С

-ctg x + С

Повторимо:

Інтеграл у давнину.

Першим відомим методом для

розрахунку інтегралів був метод

вичерпування Евдокса

( приблизно 370 до н.е.), який

намагався знайти площі та об'єми

і для цього розривав їх на величезну

кількість частин, для яких площа і об'єм вже відомі.

Цей метод розвинув Архімед

і використав його для розрахунку

площ парабол і наближених обчислень

площ частин круга.

​

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед.

Одного разу Архімед повернувся з риболовлі і вирішив визначити найбільш точно площу поверхні риби.

​

Архімед розбив поверхню риби на прямокутники і знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.

Ми добре вміємо обчислювати площі

прямокутника, трикутника, трапеції,

паралелограма, довільного многокутника, а

також площі круга та його частин.

Виникає питання: як обчислити площу

плоскої фігури, обмеженої будь-якою

кривою?

Виявляється, що розв'язування такої

задачі можливе за певних умов, якщо плоска

фігура, яку ми розглядаємо –

КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Означення: �Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції y=f(x), яка не змінює знак на відрізку[a; b], прямими x=a, x=b і відрізком [a; b].

Криволінійна трапеція

Яка із наведених фігур є криволінійною трапецією?

Визначений інтеграл

Суму Sn називають визначеним інтегралом функції

​

у= f(x) від a до b і позначають

(читають так: ”інтеграл від a до b еф від ікс де ікс”)

• а - нижня межа інтегрування;
• b - верхня межа інтегрування;
• - знак визначеного інтеграла
• f(x) - підінтегральна функція;
• f(x)dx - підінтегральний вираз;
• х - змінна інтегрування.

Формула �Ньютона - Лейбніца

​

​

Це і є формула Ньютона – Лейбніца, яка показує, що значення визначеного інтеграла на відрізку [a; b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції, коли x=b i х=a.

Різницю F(b) - F(a) позначають . Тому попередню рівність можна записати так:

​

Обчислення площ �плоских фігур

Отже, , якщо f(x) ≠0 для всіх

x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями:

у = f(x), x = а, х = b, y = 0.

Це – геометричний зміст інтегралу.

Метод трапецій

Суть методу трапецій. Для того щоб знайти площу криволінійної трапеції, потрібно розбити відрізок[a; b] на n рівних частин точками а=x₀<x₁<x₂…<x_k-1<x_k<…x_n-1<x_n=b. Довжини будь-якого з відрізків [x_k-1;x_k], на які розбито відрізок [a; b] однакові.

Побудуємо на кожному з відрізків [x_k-1;x_k] трапецію. Висотою побудованої трапеції буде довжина відрізка [x_k-1;x_k], верхньою основою - значення функції f(x_k-1), нижньою основою - значення функції f(x_k) . Сума усіх площ таких трапецій дорівнює

Робота змінної сили F , величина якої є неперервна функція , що діє на відрізку , дорівнює визначеному інтегралу від величини сили, узятому по відрізку .

​

В цьому полягає фізичний зміст визначеного інтеграла.

​

Метод трапецій

Суть методу трапецій. Для того щоб знайти площу криволінійної трапеції, потрібно розбити відрізок[a; b] на n рівних частин точками а=x₀<x₁<x₂…<x_k-1<x_k<…x_n-1<x_n=b. Довжини будь-якого з відрізків [x_k-1;x_k], на які розбито відрізок [a; b] однакові.

Побудуємо на кожному з відрізків [x_k-1;x_k] трапецію. Висотою побудованої трапеції буде довжина відрізка [x_k-1;x_k], верхньою основою - значення функції f(x_k-1), нижньою основою - значення функції f(x_k) . Сума усіх площ таких трапецій дорівнює

Аналогічно можна показати, що шлях S, пройдений точкою за проміжок часу від t=a до t=b, дорівнює визначеному інтегралу від швидкості :

​

маса m неоднорідного стержня на відрізку дорівнює визначеному інтегралу від густини :

​

Метод трапецій

Суть методу трапецій. Для того щоб знайти площу криволінійної трапеції, потрібно розбити відрізок[a; b] на n рівних частин точками а=x₀<x₁<x₂…<x_k-1<x_k<…x_n-1<x_n=b. Довжини будь-якого з відрізків [x_k-1;x_k], на які розбито відрізок [a; b] однакові.

Побудуємо на кожному з відрізків [x_k-1;x_k] трапецію. Висотою побудованої трапеції буде довжина відрізка [x_k-1;x_k], верхньою основою - значення функції f(x_k-1), нижньою основою - значення функції f(x_k) . Сума усіх площ таких трапецій дорівнює

Кросворд

Обчислити інтеграли:

​

Кросворд

Межі інтегрування вказав Л.Ейлер.�

Символ інтеграла ввів Г.Лейбніц 1675р.

Слово

інтеграл

придумав

І.Бернулі.

(від латинського

слова Integro –

відновлювати або

від слова

Integеr – цілий).

Розвиток інтегрального числення

продовжили Л.Ейлер та П.Л.Чебишов

(1821-1894рр.),

який розробив способи інтегрування деяких

класів ірраціональних функцій.

Значний внесок у вивчення поняття інтеграла

зробили українські математики

М.В.Остроградський (1801-1862рр.),

В.Я.Буняковський (1804-1889рр.),

Д.О.Граве (1863-1939рр.),

М.П.Кравчук (1892-1942рр.).

​

Параграф 11;

№11.2 (а,б,в), 11.4 (2,4,6), 11.9 (1,3)

​

Домашнє завдання: