Distribuciones de probabilidad multivariantes
El valor esperado de una función de variables aleatorias
Covarianza y correlación de dos variables aleatorias
Valores esperados condicionales
Valor esperado y varianza de funciones lineales de variables aleatorias
El valor esperado de una función de variables aleatorias
Sea g(Y1, Y2, . . . , Yk) una funcion de las variables aleatorias, Y1, Y2, . . . , Yk, que tienen funcion de probabilidad f(y1, y2, . . . , yk). Entonces el valor esperado de g(Y1, Y2, . . . , Yk) es
Caso v.a.d.
Caso v.a.c.
Con las propiedades siguientes:
Sea c una constante, entonces:
Sea c una constante y g(Y1Y2) una función de 2 variables aleatorias, entonces:
Sean g1(Y1Y2), g2(Y1Y2),… gk(Y1Y2)
k-funciones de 2 variables aleatorias, entonces:
Sean g(Y1Y2), h (Y1Y2), dos funciones de 1 variable aleatoria cada una de ellas, entonces
Ejemplos
La distribución conjunta de Y1, el numero de contratos concedidos a la Empresa A, y Y2, el numero de contratos concedidos a la empresa B, esta dada por las entradas de la tabla siguiente.
Ejemplos
La densidad conjunta de Y1 y Y2 esta dada por
Covarianza y correlación de dos variables aleatorias
Coeficiente de correlación
Covarianza
Finalmente.
SI Y1 y Y2 son 2 variables aleatorias y (a,b) son 2 constantes dadas, entonces:
Var[aY1 + bY2] = a2Var[Y1] + b2var[Y2] + 2abCov[Y1Y2]
Con 3 variables y 3 constantes:
Var[aY1 + bY2 + cY3] = a2Var[Y1] + b2var[Y2] + c2var[Y3] + 2abCov[Y1Y2] + 2acCov[Y1Y3] + 2bcCov[Y2Y3]
Valores esperados condicionales
Si Y1 y Y2 son dos variables aleatorias cualesquiera, el valor esperado condicional de g(Y1), dado que Y2 = y2, se define como:
Caso v.a.c.
Caso v.a.d
Varianza Condicional
La varianza condicional de Y1 dada Y2 = y2 esta definida por analogía con una varianza ordinaria.
Para su cálculo utilizamos la densidad condicional o función de probabilidad de Y1 dada Y2 = y2 en lugar de la densidad ordinaria o función de probabilidad de Y1.
Ejemplos
La distribución conjunta de Y1, el numero de contratos concedidos a la Empresa A, y Y2, el numero de contratos concedidos a la empresa B, esta dada por las entradas de la tabla siguiente.
Encuentre E(Y1| Y2 = 0.5).
V(Y1| Y2 = 0.5).
La densidad conjunta de Y1 y Y2 esta dada por
La densidad conjunta de Y1 y Y2 esta dada por
Encuentre E(Y1| Y2 = 0.5).
V(Y1| Y2 = 0.5).
Encuentre E(Y1| Y2 = 1).
V(Y1| Y2 = 1).
Valor esperado y varianza de funciones lineales de variables aleatorias
Sean Y1, Y2 y Y3 variables aleatorias, donde E(Y1) = 1, V(Y1) = 1
E(Y2) = 2, V(Y2) = 3,
E(Y3) =−1, V(Y3) = 5
Cov(Y1, Y2) = −0.4, Cov(Y1, Y3) = 1/ 2, Cov(Y2, Y3) = 2.
Halla el valor esperado y la varianza de U = Y1 - 2Y2 + Y3.
Si W = 3Y1 +Y2, Halla Cov(U, W).
Suponga que Y1, Y2 y Y3 son variables aleatorias, con E(Y1) = 2 , V(Y1) = 4
E(Y2) =−1 , V(Y2) = 6
E(Y3) = 4 , V(Y3) = 8,
Cov(Y1, Y2) = 1, Cov(Y1, Y3) =−1, Cov(Y2, Y3) = 0.
Encuentre E(3Y1 + 4Y2 - 6Y3)
V(3Y1 + 4Y2 - 6Y3).
Distribuciones muestrales, el teorema del límite central y estimación