1 of 25

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

10 класс

Информатика

МК

2 of 25

Ключевые слова

  • система счисления
  • триада
  • тетрада
  • «компьютерные» системы счисления
  • «быстрый» перевод

​

МК

3 of 25

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q

​

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

  1. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю;
  2. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
  3. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

МК

4 of 25

Вопросы и задания

№ 1. 1310 = Х2

​

2

13

12

1

6

2

6

3

0

2

2

1

1

2

0

0

1

= 11012

44

22

11

5

0

0

1

1

№ 2. 4410 = Х2

​

= 1011002

2

0

1

1

№ 3. 17210 = Х8

​

8

12

172

16

21

8

4

8

16

2

5

8

0

0

2

= 2548

№ 4. 17210 = Х16

​

16

172

160

10

12 (С)

16

0

0

10 (А)

= АС16

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

?

Реши сам

?

МК

5 of 25

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 5. Переведите десятичные числа в указанные системы счисления.

​

​

а) 10010 = X2

б) 18710 = X8

в) 257210 = X16

г) 145810 = X5

д) 5310 = X3

= 11001002

= 2738

= A0C16

= 213135

= 12223

е) 23310 = X2

ж) 30210 = X8

з) 380210 = X16

и) 95010 = X5

к) 4110 = X3

= 111010012

= 4568

= EDA16

= 123005

= 11123

?

МК

6 of 25

Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления

Для перевода числа Х (X≤10000) в двоичную систему счисле-ния можно воспользоваться таблицей степеней двойки.

№ 6. 52910 = Х2

​

= 10000100012

Решение:

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

210

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

52910 = 512

​

512 + 16 + 1 =

​

= 29 + 24 + 20

​

= 10000100012

?

Реши сам

  • возьмем максимально возможное значение, не превы-шающее исходное число (512 < 529);
  • найдем разность между исходным числом и этим значением (17);
  • выпишем степень двойки, не превышающее эту разность �и т. д.

+ 17 =

​

МК

7 of 25

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 7. Переведите десятичные числа в двоичную систему счисления, используя таблицу степеней двойки:

​

​

а) 9710 = X2

б) 32810 = X2

в) 109010 = X2

= 1100 0012

= 1010010002

= 100010000102

г) 8410 = X2

д) 29210 = X2

е) 54710 = X2

= 10101002

= 1001001002

= 10001000112

210

29

28

27

26

25

24

23

22

21

20

1024

512

256

128

64

32

16

8

4

2

1

?

МК

8 of 25

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:

  1. последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа;
  2. полученные целые части (цифры числа) привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
  3. составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

№ 8. 0,37510 = Х2

​

= 0,0112

0,375

2

0,750

х

0,75

2

1,50

х

0,5

2

1,0

х

Операция

Результат

0,375 · 2

0,750

0,75 · 2

1,500

0,5

1,000

?

Реши сам

МК

9 of 25

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 9. Переведите десятичные дроби в систему счисления с указанным основанием (с точностью до трех знаков после запятой):

​

​

​

а) 0,62510 = X2

б) 0,24510 = X8

в) 0,46010 = X16

= 0,1012

= 0,1758

= 0,75С16

г) 0,75010 = X2

д) 0,12510 = X8

е) 0,36510 = X16

= 0,1102

= 0,1008

= 0,5D716

?

МК

10 of 25

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 10. Переведите смешанные десятичные числа в систему счисления с указанным основанием (с точностью до трех знаков после запятой):

​

​

​

а) 98,7510 = X2

б) 100,37510 = X8

в) 121,12110 = X16

= 1100010,1102

= 144,3008

≈ 79,1EF16

г) 43,12510 = X2

д) 16,7810 = X8

е) 750,75010 = X16

= 101011,0012

≈ 20,6178

= 2EE,C0016

При переводе смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую отдельно (по разным правилам) переводится целая и дробная части.

​

​

?

МК

11 of 25

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в систему счисления

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям с десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.

А10

Аp

Аq

Развёрнутая запись �(по степеням p)

Деление на q

с основанием q

МК

12 of 25

Перевод целых чисел из системы �счисления с основанием р в систему �

счисления с основанием q

​

  1. Все действия производятся в исходной системе счисления p.
  2. Делим число и полученные неполные частные на основание другой системы счисления до тех пор, пока неполное частное не станет равным нулю. Полученную в ходе деления последовательность остатков записываем в обратном порядке.

p>q

Пример. 135 = Х3

​

= 223

Все действия производим в 5-ной системе счисления.

3

13

11

2

2

3

0

0

2

Проверка:

135 = 1 · 5 + 3 = 810

223 = 2 · 3 + 2 = 810

МК

13 of 25

Перевод чисел из системы �счисления с основанием р в систему �

счисления с основанием q

​

1. Записать исходное число в развернутой форме:

an · pn + an-1  · pn-1 + ... + a1  · p1 + a0 · p0 ,�где p - старое основание.

2. Произвести вычисления в новой системе счисления q.

p<q

Пример. 213 = Х5

​

= 125

Все действия производим в 5-ной системе счисления.

Проверка:

213 = 2 · 3 + 1 = 710

125 = 1 · 5 + 2 = 710

2 · 3 + 1 · 30

= 11 + 1 = 125

МК

14 of 25

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2n) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетра-дами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:

  1. данное двоичное число надо разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;
  2. если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
  3. рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = 2n.

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2n) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетра-дами) позволяет осуществлять быстрый перевод.

МК

15 of 25

Перевод целых чисел между двоичной и восьмеричной системами счисления

8=23

Цифра

→

Двоичный код

0

→

​

​

0

1

→

​

​

1

2

→

​

1

0

3

→

​

1

1

4

→

1

0

0

5

→

1

0

1

6

→

1

1

0

7

→

1

1

1

А2

А8

А8

Восьмеричные цифры заменяем триадами

Триады меняем на восьмеричные цифры

Цифра

→

Триада

0

→

0

0

0

1

→

0

0

1

2

→

0

1

0

3

→

0

1

1

4

→

1

0

0

5

→

1

0

1

6

→

1

1

0

7

→

1

1

1

№ 11. 11001012 = Х8

​

= 1458

1

4

5

№ 12. 3028 = Х2

​

= 110000102

3

0

2

0 1 1

0 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 0 1 0 1

МК

16 of 25

Перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

0 1 0 1

1 0 1 0

0 0 1 1

Цифра

→

Двоичные коды

0

→

​

​

​

0

1

→

​

​

​

1

2

→

​

​

1

0

3

→

​

​

1

1

4

→

​

1

0

0

5

→

​

1

0

1

6

→

​

1

1

0

7

→

​

1

1

1

8

→

1

0

0

0

9

→

1

0

0

1

A (10)

→

1

0

1

0

B (11)

→

1

0

1

1

C (12)

→

1

1

0

0

D (13)

→

1

1

0

1

E (14)

→

1

1

1

0

F (15)

→

1

1

1

1

Цифра

→

Тетрада

0

→

0

0

0

0

1

→

0

0

0

1

2

→

0

0

1

0

3

→

0

0

1

1

4

→

0

1

0

0

5

→

0

1

0

1

6

→

0

1

1

0

7

→

0

1

1

1

8

→

1

0

0

0

9

→

1

0

0

1

A (10)

→

1

0

1

0

B (11)

→

1

0

1

1

C (12)

→

1

1

0

0

D (13)

→

1

1

0

1

E (14)

→

1

1

1

0

F (15)

→

1

1

1

1

16=24

А2

А16

А16

16-ные цифры заменяем �тетрадами

Тетрады меняем на �16-ные цифры

№ 13. 11011012 = Х16

​

= 6D16

6

D

№ 14. 5A316 = Х2

​

= 101101000112

5

A

3

0 1 1 0 1 1 0 1

МК

17 of 25

Перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

№ 15. 0,111012 = Х8

​

= 0,728

7

2

№ 16. 0,1328 = Х2

​

= 0,001011012

1

3

2

0,

0 0 1

0 1 1

0 1 0

0, 1 1 1 0 1 0

Цифра

→

Триада

0

→

0

0

0

1

→

0

0

1

2

→

0

1

0

3

→

0

1

1

4

→

1

0

0

5

→

1

0

1

6

→

1

1

0

7

→

1

1

1

Чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q = 2n, достаточно:

1) двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

2) рассмотреть каждую группу как n-разряд-ное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.

0,

0,

Реши сам

​

​

?

МК

18 of 25

Решите самостоятельно

Цифра

→

Двоичный код

0

→

0

0

0

0

1

→

0

0

0

1

2

→

0

0

1

0

3

→

0

0

1

1

4

→

0

1

0

0

5

→

0

1

0

1

6

→

0

1

1

0

7

→

0

1

1

1

8

→

1

0

0

0

9

→

1

0

0

1

А(10)

→

1

0

1

0

B(11)

→

1

0

1

1

C(12)

→

1

1

0

0

D(13)

→

1

1

0

1

E(14)

→

1

1

1

0

F(15)

→

1

1

1

1

№ 17. Заполните таблицу: переве-дите число из одной системы счисления (q) в другую методом «быстрого» перевода:

​

ОТВЕТ

q=2

q=16

q=8

705

111000110010

C0DE

11011,11

2E,8

470,1

111000101

1C5

E32

7062

1100000011011110

140336

1B,С

33,6

101110,1

56,4

100111000,001

138,2

?

МК

19 of 25

Самое главное

Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует:

  1. последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю;
  2. полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
  3. составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

МК

20 of 25

Самое главное

В компьютерных науках широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, поэтому их называют «компьютерными». Между основания-ми этих систем существует очевидная связь: 16 = 24, 8 = 23.

Если основание системы счисления q кратно степени двойки (q = 2n), то любое число в этой системе счисления можно «быстро» перевести в двоичную систему счисления, выписав последовательно двоичные коды каждой из цифр, образующих исходное число. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод между этими системами счисления, не прибегая к арифметическим операциям.

МК

21 of 25

Вопросы и задания

Задание 1. Укажите через запятую в порядке убывания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 33 оканчивается на 5.

Решение:

Поскольку запись числа в системе счисления с основанием q заканчивается на 5, то остаток от деления числа 33 на q равен пяти: 33 mod q = 5.

Следовательно, (33-5) mod q = 0, т.е. 28 mod q =0.

Это верно для q ∈ {28, 14, 7, 4, 2, 1}.

Так как в новой системе счисления запись числа оканчивается на пять, то q > 5.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют основания: 28, 14 и 7.

Ответ: 28, 14 и 7.

​

?

МК

22 of 25

Вопросы и задания

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 24118?

Цифра

→

Триада

0

→

0

0

0

1

→

0

0

1

2

→

0

1

0

3

→

0

1

1

4

→

1

0

0

5

→

1

0

1

6

→

1

1

0

7

→

1

1

1

Решение:

Для ответа на этот вопрос достаточно знать двоичные триады, соответству-ющие восьмеричным цифрам от 0 до 7 и выполнить «быстрый» перевод числа 24118 в двоичную систему счисления:

24118 = 010 100 001 0012 = 101000010012.

В двоичной записи 7 значащих нулей, а первый нуль является незначащим и не учитывается.

Ответ: 7

?

МК

23 of 25

Вопросы и задания

Задание 3. Все 5-буквенные слова, составленные из букв �А, Б и В, записаны в алфавитном порядке и пронумеро-ваны. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА

5. АААББ

…

Какие слова находятся в этом списке на 51-м и 200-м местах?

Решение:

Слово в трехбуквенном алфавите можно рассматривать, как запись слова в троичной системе в 5-разрядном представлении. Тогда А – 0, Б – 1, В – 2.

?

МК

24 of 25

Вопросы и задания

Задание 3 (решение).

​

​

А – 0, Б – 1, В – 2.

При такой записи незнача-щие нули в начале (слева) тоже записываются:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА�…

51. ?

200. ?

= 000003 = 010

= 000013 = 110

= 000023 = 210

= 000103 = 310 �…

Чтобы понять, какое слово соответствует этому числу, надо перевести его в троич-ную систему счисления и при необходимости дополнить слева «0» до пяти разрядов.

3

50

48

2

16

3

15

5

1

3

3

1

2

3

0

0

1

На 51-м месте в списке стоит число 51-1 = 50, а на 200-м – число 200-1=199.

→ АБВБВ

5010 = 012123

= *****3 = 5010

= *****3 = 19910

Аналогично надо перевести в троичную систему счисле-ния число 199.

3

199

198

1

66

3

66

22

0

3

21

7

1

3

6

2

1

→ ВББАБ

19910 = 211013

3

0

0

2

Ответ: АБВБВ и ВББАБ

?

МК

25 of 25

Вопросы и задания

Задание 4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв �А, Б и В, записаны в алфавитном порядке и пронумеро-ваны. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА

5. АААББ

…

На каких местах будут стоять слова АБВБА и ВВВВВ?

Ответ: 49 и 243

ОТВЕТ

?

МК