Mécanique des fluides�1ère partie
Olivier LOUISNARD
Centre Poudres et Procédés
Bureau 1C6 – tel 30 62
Email : louisnar@enstimac.fr
Plan du cours
C1 Généralités. Définitions. Forces sur un fluide 1 - 4
C2 Hydrostatique 4
C3 Equations de conservation 2 et 3
C4 Mouvement d’un fluide 5
Cas du fluide parfait incompressible 6
C5 Forces exercées par un fluide sur une structure 3 et 5
C6 Pertes et gains de charge. Pompes et turbines 6
Séance de
cours
Chapitre
poly
Cours connexes
Prérequis
Analyse vectorielle
Mécanique
Thermodynamique
En parallèle
Phénomènes de transferts
Thermodynamique et procédés
Mécanique des milieux continus
Suite
Mécanique des fluides 2ème partie
Transferts convectifs
(Option énergétique)
Prérequis
Mécanique
Thermodynamique
Mathématiques
Loi de la dynamique
Premier principe
(= conservation de l’énergie)
Qu’est-ce qu’un fluide ?
Limite solide / fluide parfois floue :
(sable mouillé, polymères, pâtes)
(liquides vitreux, cristaux liquides, colloides)
Les molécules interagissent (peu pour les gaz)
Gardent une certaine mobilité les unes par rapport aux autres.
Pas d’ordre comme dans un solide (ou peu)
Quelques fluides
Monophasiques
eau, air, huile, métaux fondus
Multiphasiques
« Complexes »
Ferrofluides
Lait
Liquide à bulles
Cristaux liquides
Description d’un fluide
Macroscopique : celle qui nous intéresse
Microscopique
On cherche à représenter ce que l’on voit :
description macroscopique
Analogie
Echelle macro
(la notre)
Méso
Echelle micro
Hypothèse de milieu continu
Echelle mésoscopique
(x,y,z)
Echelle macroscopique
Echelle microscopique
Masse volumique (kg/m3)
Champ de vitesses
Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides poussés)
(x,y,z)
Masse volumique ρ(x,y,z) = ? (kg/m3)
mi
Vitesse v(x,y,z) = ?
Comment définir une densité ρ et une vitesse v variant continument / x,y,z ?
Grandeurs volumiques
Remarque : V peut être fixe ou mobile (par rapport à nous)
grandeurs globales
grandeurs locales
G(t) grandeur extensive contenue dans V
On définit :
soit
g grandeur volumique (G/m3)
Masse de fluide dans V
Quantité de mouvement de V
Energie cinétique de V
Energie interne de V
Masse volumique
ρ(x,y,z) en kg/m3
En général différente d’un point à un autre
Varie avec la température (même pour un liquide)
Varie avec la pression (peu pour un liquide)
Eau 1000 kg/m3
Mercure 13000 kg/m3
Air 1.3 kg /m3
Une approximation bien utile : le fluide incompressible
ρ = ρ0 constant par rapport à t et x,y,z
Conditions de validité : plus tard
Masse de fluide dans V
Forces exercées sur un fluide
Forces volumiques
exercées sur chaque élément de volume dV
(poids, forces d’inertie, magnétiques, ...)
Forces surfaciques ou « de contact »
exercées sur chaque élément de surface dS
(pression, frottement visqueux)
Forces de pression: approche intuitive
S
Fp1
Fp2
S2
S1
h
Liquide en équilibre
mécanique
P=mg
Equilibre: Fp + mg = 0
Fp
donc Fp proportionnelle à S
n1
n2
Fp1= -p1 n1S1
Fp2= -p2 n2S2
Origine microscopique
Gaz
Liquide
Forces de répulsion
de Van der Waals
Système subissant
la pression
Echange de quantité de mouvement
avec les molécules
Fp
n
dS
n
dS
Fp= - p n dS
Force de pression
V
S
Expression générale : on considère un volume V fermé par une surface S
dFp= -p n dS
Sfermée
n dS = 0,
Remarque importante : en vertu du théorème de la normale
on peut ajouter ou soustraire une constante arbitraire à p :
S
Fp = -(p-p0).n dS
S
dFp
Fp =
n
dS
n
dS
découpée en petits éléments de surface dS, de normale sortante n
Fp =
S
-p.n dS
A retenir
Forces volumiques
Poids :
V
P = ρg dV
V
V
Fie+Fic = -ρ(ae+ac) dV
Forces électromagnétiques :
(pour info : plasmas, magma, ferrofluides)
Obtenues de la même façon.
Responsables du champ magnétique terrestre (magnéto-hydrodynamique)
somme des poids élémentaires dm.g = ρdV.g
de toutes les particules fluides dV
dV
ρgdV
Forces d’inertie :
(en référentiel non�galiléen)
somme des forces d’inertie élémentaires
-dm.(ae+ac) = -ρdV.(ae+ac)
de toutes les particules fluides dV
-ρdV.(ae+ac)
Attention !
a priori ρ(x,y,z)
Hydrostatique : �équation globale
Décrit un fluide immobile (dans un référentiel galiléen ou non)
Equilibre entre :
V
S
dS
n
Forces volumiques
V
P = ρg dV
P
Forces de pression
Fp =
S
-p.n dS
Fp
S
-p.n dS +
V
ρg dV = 0
A retenir
Fp+ P = 0
Hydrostatique : �équation globale
c’est la poussée d’Archimède !
Il faut la réécrire sous forme « locale » = exprimée en tout point
grâce à des opérateurs d’analyse vectorielle.
Hydrostatique :�équation locale
S
-p.n dS +
V
ρg dV = 0
ρg dV = 0, vrai quel que soit V
-grad p dV +
V
Donc :
V
grad p = ρg
A retenir
L’intégrande doit être nul, soit
S
-p.n dS =
-grad p dV
V
Or (formule de Green):
Hydrostatique :�équation locale
grad p = ρg
(c’est le problème du plongeur)
(mal de l’altitude, pressurisation des cabines d’avion)
Hydrostatique en �référentiel non galiléen
Le fluide est immobile par rapport à un référentiel R’ qui accélère / R
Fp+ P + Fie= 0
Il faut ajouter la force d’inertie d’entraînement
La force de Coriolis est nulle car le fluide est immobile
S
-p.n dS +
ρ(g - ae)dV = 0
V
Tout revient à remplacer g par la « pesanteur apparente » g − ae
V
Fie = −ρae dV
Fic = 0
Hydrostatique en �référentiel non galiléen
Sous forme locale :
grad p = ρ (g −ae)
Les surfaces isobares p(x,y,z) = Cte sont maintenant perpendiculaires à g−ae
S
-p.n dS +
ρ(g −ae) dV = 0
V
Sous forme globale :
Fluide
immobile
V
S
Corps
étranger
Force d’Archimède
Fp= ?
Le champ de pression est le même dans les deux cas, donc Fp aussi.
L’équilibre dans le deuxième cas montre que Fp= − ρfluideVg
Fluide
immobile
V
S
Fluide
en
équilibre
On remplace
par du fluide
Fp
ρfluideVg
V
S
Corps
étranger
Force d’Archimède
Fp= − ρfluideVg
Pcorps= ρcorpsVg
Pcorps+ Fp = (ρcorps−ρfluide)Vg ≠ 0
Le corps n’est pas en équilibre :
V
Le corps est pourtant plus dense
ρcorps > ρfluide
Bateau en alu
V
Le corps est moins dense
ρfluide> ρcorps
Iceberg
Force d’Archimède
On peut généraliser le raisonnement au cas où un objet partiellement immergé.
On retiendra :
Fp= − ρfluideVimmergé g
Dans ce cas l’équilibre est possible :
Vimmergé
Vimmergé < Vcorps
Vimmergé
mais Vcorps < Vimmergé
Pcorps+ Fp = (ρcorpsVcorps−ρfluideVimmergé ) g = 0
On définit la densité d’un corps
d = ρcorps/ ρeau si solide ou liquide
d = ρcorps / ρair(20°C,1 atm) si gaz
Densité
Moment des forces de pression
V
S
A
dS
n
M
n
dS
M
Utile pour les problèmes de stabilité / à la rotation.
dFp= − pn dS
S
MA(Fp) = AM ∧ dFp
AM
Moment total en A de Fp = somme des moments élémentaires en A des dFp
S
MA(Fp) = AM ∧ − pn dS
soit
En particulier, on peut définir le centre de poussée C sur le volume V
C’est le point C tel que MC(Fp) = 0
Le second théorème de la normale
permet de retrancher une constante à p :
S
MA(Fp) = AM ∧ − (p-p0) n dS
Rappel sur les unités
Masse volumique ρ, unité SI : kg / m3
Pression p :
Pression atmosphérique :
1 atm = 1,01325 bar = 101325 Pa = 760 torr = 14,70 psi
Exercices d’application�de l’hydrostatique
Principes de conservation
La nature conserve plusieurs grandeurs :
« Rien ne se perd, rien ne se crée »
Principe de conservation
Bilan d’une grandeur G dans un volume V
V
G =
Habitants d’un pays
De l’argent
Masse
Quantité de mouvement
Energie
Charge électrique
Flux entrant
de G
φe(t)
Production
de G
+ R+(t)
Flux sortant
de G
- φs(t)
Destruction
de G
- R-(t)
Bilans pour un fluide
Système = Volume de fluide V FIXE
On veut calculer
V
S
Se
Ss
= Se + Ss
quantité de G
qui entre dans V
par sa frontière Se
= FLUX
quantité de G
qui sort de V
par sa frontière Ss
Comment G(t) varie ?
Rappel :
Deux sortes de flux
Flux = mouvement d’une grandeur à travers une surface
Diffusif
(du chaud vers le froid)
Convectif
(forcé par le mouvement du fluide)
Exemple pour un flux d’énergie :
Flux convectif
vdt
Pendant dt, le fluide balaye
un petit volume d2V
d2V
V
S
dS
n
Se
Ss
= Se + Ss
v
dS
n
d2V = dS vdt cosθ = v.n dS dt
θ
v
Quantité d2G passant par dS
pendant dt ?
d2G = quantité de G dans ce volume
= gd2V = g v.n dS dt
Par Ss tout entier il sort donc pendant dt
Ss
g v.n dS
dGs = dt
Par Se tout entier il rentre donc pendant dt
Se
g v.n dS
dGe = - dt
v
n
Flux convectif (suite)
Pendant dt, la variation de G dans V est donc :
dG = dGe - dGs
-
-
V
S
dS
n
Se
Ss
= Se + Ss
v
v
n
S
g v.n dS
= - dt
La contribution du mouvement
du fluide à la variation de G est
donc :
S
g v.n dS
= -
Se
g v.n dS
= - dt
Ce qui rentre
v.n < 0
v.n > 0
Ce qui sort
Ss
g v.n dS
dt
Bilan pour un fluide
Le bilan de G dans un volume V est donc:
V
S
dS
n
v
v
n
G
g dV
V
S
g v.n dS
= -
φe(t)
- φs(t)
+ flux diffusifs
+ création - disparition
+ R+(t)
- R-(t)
Bilans sur un tube de courant
V
Tube de
courant :
Objectif : avoir des équations plus simples sans ni
S
V
Le prix à payer : faire des hypothèses simplificatrices
S
= Se + Ss + Slat
Ss
n
v.n > 0
v
Se
n
v.n < 0
v
v
v
v
v
v
S
g v.n dS
=
Se
g v.n dS +
Ss
g v.n dS +
Slat
g v.n dS
Slat
Slat
v.n = 0
n
Hypothèses
supplémentaires ?
Bilan sur un tube de courant
Hypothèse : g uniforme sur Se et Ss (justifié pour des écoulements en conduite)
= ge
Se
g v.n dS
Se
v.n dS = - geveSe
= gs
Ss
g v.n dS
Ss
v.n dS = + gsvsSs
V
Slat
Slat
Le bilan sur la grandeur g devient :
G
=
geveSe - gsvsSs +
Ss
vsSs =
Ss
v.n dS
n
v.n > 0
v
v
v
Se
veSe = -
Se
v.n dS
n
v.n < 0
v
v
v
On définit les vitesses moyennes > 0 ve et vs en entrée et en sortie :
Justification tube de courant
Approximation écoulement piston
Ecoulement laminaire
Ecoulement turbulent
vS =
S
v.n dS
On définit une vitesse
moyenne v sur la section, par :
Récapitulatif : bilan de G
Dans un volume V :
V
S
dS
n
v
v
n
Sur un tube de courant :
G
=
geveSe - gsvsSs +
G
g dV
V
S
g v.n dS +
= -
V
n
v
v
n
v
Ss
Se
v
v
v
Bilan de matière
ni flux diffusifs (pour un fluide homogène)
M
S
ρ v.n dS
= -
ρ dV
V
Général :
M
= ρeveSe - ρsvsSs
Me
Ms
Tube de
courant :
M = ρvS débit massique
(noté aussi q)
Conservation de la quantité de mouvement
Choc
P1=m1v1
P2=m2v2
P’1=m1v’1
P’2=m2v’2
P1+ P2 = P’1+ P’2
P’2 −P2 = P’1− P1 = F 1/2 Δt
Variation de QDM de 2 :
Echange de QDM <=> force :
ΔP2 = F 1/2 Δt
Une force « produit » de la quantité de mouvement.
Bilan de quantité de mouvement
S
ρv (v.n) dS
= -
P
ρv dV
V
Tube de
courant :
= ρeve(veSe) - ρsvs (vsSs)
Meve
Msvs
P
Equations
vectorielles
Conservation de l ’énergie
Pour un système fermé (qui n’échange pas de matière) :
U1, K1
U2, K2
Q
W
Δ(U+K) = (U2+K2) − (U1+K1) = W + Q
Joule
Pendant un temps dt :
puissances (en Watt)
Bilan d’énergie
S
ρ (u + v2/2) (v.n) dS
= -
(U+K)
ρ (u + v2/2) dV
V
Le calcul de relève du cours de transfert thermique
Tube de
courant :
= ρe (ue + ve2/2) (veSe) - ρe (us + vs2/2) (vsSs)
Me (ue + ve2/2)
Ms (us + vs2/2)
(U+K)
Poids :
V
ρg dV
S
-pn dS
Pression :
Frottement visqueux : frottement fluide / fluide
adhérence fluide aux solides
dissipation d’énergie
Forces extérieures
Viscosité : expérience de Couette
h
y
x
U0
v
t1 ≈ 0
v
t2 > t1
v
t → ∞
Constatations expérimentales :
Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide
= viscosité dynamique η
Ffluide / plaque
Frottement visqueux
v
v
v
h
V0
t1 ≈ 0
t2 > t1
t ≈ τv
y
Ffluide / plaque
Conclusions :
==> frottement entre les couches fluides
ν = η / ρ viscosité cinématique en m2/s.
F
Viscosité
on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo)
Eau : 10-3 Pa.s = 1 cPo
Air : 1.85 10-5 Pa.s
indépendant de p pour un gaz
diminue avec T pour un liquide (cf. huile dans poële)
augmente avec p pour un liquide
Contrainte visqueuse
Contrainte σ = force / u. de surface
V
S
dS
n
n
dS
Question : peut-on exprimer σv en fonction de n ?
On a donc σp = -pn
Exprimé facilement en fonction de n
x
y
z
ex
σv
dFv= σv dS
σv = force visqueuse / u. de surface
dFp= -pn dS
σp = force de pression / u. de surface
σv = = . n
Oui sous forme tensorielle
σxx
σyx
σzx
On montrera (MDF II):
Pour les fluides
dits « newtonien »
S
ρv (v.n) dS +
= -
QDM transportée
par le fluide
rentrant - sortant
ρv dV
V
Variation de QDM
du fluide
dans le volume V
V
ρg dV +
Poids
S
-pn dS +
Pression
S
.n dS
Frottement
visqueux
Bilan de quantité de mouvement
Equations locales
Objectif : remplacer le bilan sur un volume V
par des relations différentielles valables en chaque point du fluide
Moyens :
S
V
Intérêt :
Les équations locales
Energie
Système complet ?
1 équation vectorielle
2 équations scalaires
1 inconnue vectorielle
3 inconnues scalaires
masse volumique
Il manque une équation d’état :
Masse
pression
énergie interne
vitesse
QDM
+ 2 équations scalaires
+ 1 inconnue scalaire
Quelques équations d’état
Gaz parfait :
(compresseurs, turbines à gaz)
GP isotherme :
(rare)
GP isentropique :
(acoustique, ondes de chocs,
écoulements gazeux en général)
Liquide
compressible :
(explosions sous-marines,
écoulements liquides
supersoniques, rare)
Fluide
incompressible :
(hydraulique, presque tous
les écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach)
BAROTROPES
Equation de l’énergie
découplée de M et QDM
Autres écritures
= a accélération du fluide
s’écrit aussi
ou encore
Bilan matière pour un�fluide incompressible
ρ( x, y, z, t) = ρ0
Général
S
v.n dS = 0
Tube de courant
veSe = vsSs
Ve
Vs
Equation locale
V = vS débit volumique
(noté aussi Q)
V
S
dS
n
Se
Ss
= Se + Ss
v
v
n
Ce qui rentre = Ce qui sort
Accumulation de masse impossible
Validité fluide incompressible
Correct si :
c vitesse du son dans le fluide
déduite de l’équation d’état
Exemple pour un gaz parfait:
= 340 m/S à 298 K
Ma = nombre de Mach
Modèle de fluide parfait
Permet de négliger les frottements visqueux
Limitations évidentes. Ne rend pas compte :
Validité ?
Nombre de Reynolds
=
Forces d’inertie du fluide
Forces visqueuses
Temps de transport de QDM par diffusion
Temps de transport de QDM par convection
=
=
Energie cinétique du fluide
Energie dissipée par frottement
A retenir !
S
ρv (v.n) dS
S
.n dS
=
Conservation QDM
Classification des écoulements
Permet de classer les régimes d’écoulement
Ecoulement
rampant
ou « de Stokes »
Effets visqueux
sensibles dans tout
l’écoulement
≠ fluide parfait !
Ecoulement
turbulent
Mouvement
désordonné
1
100 - 1000
Re
Ecoulement
laminaire
Filets fluides
parallèles
Ecoulement rampant (ou de Stokes)
Ecoulement rampant
Re = 1,5
Ecoulement laminaire
Re = 26
Ecoulement laminaire
Transition laminaire-turbulent
Expérience de Reynolds
C’est Reynolds
Transition laminaire-turbulent
Re = 200
Ecoulement turbulent
Re = 8000
Turbulence
Déstabilisation de l’écoulement
Ecoulement moyen + fluctuations de vitesse
Fluctuations isotropes au coeur de l’écoulement
Tourbillons d’échelles variées
Transfert d’énergie des grandes échelles vers les petites
La plus petite échelle (dite de « Kolmogorov ») dissipe l’énergie
Presque tous les écoulements industriels
Les transferts massiques / thermiques sont plus efficaces
Il existe des modèles numériques (k-ε) utiles pour l’ingénieur
MAIS reste encore un problème physique ouvert ...
ALORS QUE
Turbulence
« Je suis maintenant un vieil homme. Quand je mourrai, et irai au
paradis, j’espère qu’on pourra m’éclairer sur 2 disciplines :
l’électrodynamique quantique, et la turbulence des fluides.
Pour la première, je suis plutôt optimiste ... »
Horace LAMB, physicien, 1932
Ecoulement externe : couche limite
Fluide parfait utilisable
U0
Plaque solide
Couche limite
Ecoulement
fluide parfait
x
U0
Même conclusion si
couche limite turbulente
Couches limites et sillages
Ecoulements interne
Approximation écoulement piston
Ecoulement laminaire
Ecoulement turbulent
Fluide parfait utilisable
Validité fluide parfait
Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite)
Mais ne rend pas compte de certains phénomènes (trainée)
Si Re << 1, à traiter par théorie écoulements rampants
Fluide parfait applicable (Bernoulli) pour tout Re
Avec correction pour pertes de charges
Conservation QDM en fluide parfait
S
ρv (v.n) dS +
= -
QDM transportée
par le fluide
rentrant - sortant
ρv dV
V
Variation de QDM
du fluide
dans le volume V
V
ρg dV +
Poids
S
-pn dS
Pression
Sous forme locale :
Sous forme globale :
Fluide parfait incompressible
Masse
ρ( x, y, z, t) = ρ0
σv= 0
Equations locales :
QDM
Une grande simplification est possible :
Loi de Bernoulli
Conditions aux limites
Quelles relations doit-on écrire aux frontières du domaines :
Conditions aux limites
ATTENTION : en fluide parfait, glissement autorisé
on impose seulement : v.n = 0
v
n
V0
∞
Loi de Bernoulli
v
On suppose régime permanent =>
On projette la conservation QDM sur la ligne de courant
ρ0 ( grad v2/2 + rot v ∧ v) . dM = (ρ0g − grad p) . dM
De plus, on peut écrire g = grad (−gz)
grad (ρ0 v2/2 + p + ρ0gz) . dM = 0
1
2
ρ0 v12/2 + p1 + ρ0gz1 = ρ0 v22/2 + p2 + ρ0gz2
Ligne de courant : v // dM
v
v
v
M
dM
=> (rot v ∧ v) . dM = (v ∧ dM) . rot v = 0
Loi de Bernoulli
Sous les hypothèses :
La quantité p + ρv2/2 + ρgz est constante le long d’une ligne de courant
Energie potentielle de pression
Energie cinétique
Energie potentielle
de pesanteur
Conservation de l’énergie mécanique
Il existe une version en compressible
Peut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD)
Deuxième loi de Bernoulli
ρ0 ( + grad v2/2 + rot v ∧ v) = (ρ0g − grad p)
De plus, on peut écrire g = grad (−gz)
Applicable aux écoulements irrotationnels rot v = 0 => v = grad φ
On suppose régime permanent =>
grad ( + ρ0 v2/2 + p + ρ0gz) = 0 dans tout l’écoulement !
v
v
v
M
dM
Masse
« Par unité de temps, il sort autant de matière qu’il en rentre »