Disciplina: Física II – Eletromagnetismo
Capítulo 28 - A Lei de Gauss
Professor: Prof. Carlos Eduardo Souza - Cadu
Sala: A2-15 (IF, andar 1P)
Email: carloseduardosouza@id.uff.br
Física 2
A Lei de Gauss
A Lei de Gauss é uma outra abordagem para cálculo de campo elétrico...
2
Física 2
A Lei de Gauss
Objetivos destas próximas duas aulas:
1- Usar simetrias do sistema para determinar o campo elétrico E
2- Calcular o fluxo de E através de uma superfície
3- Calcular (com facilidade) o E em distribuições de carga simétricas
4- Usar a Lei de Gauss para explicar propriedades de metais em equilíbrio.
3
4
Estudando a simetria...
Física 2
A Lei de Gauss
Digamos que APENAS soubéssemos que:
+
-
Considere um cilindro infinitamente longo e carregado com carga positiva.
Física 2
A Lei de Gauss
O que podemos deduzir acerca do campo elétrico?
Física 2
A Lei de Gauss
O que podemos deduzir acerca do campo elétrico?
Lembrando que tudo que sabemos é:
Considere um cilindro infinitamente longo e carregado com carga positiva.
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Uma distribuição de cargas é simétrica se existir um grupo de transformações geométricas que não cause nenhuma alteração física...
Física 2
A Lei de Gauss
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Uma distribuição de cargas é simétrica se existir um grupo de transformações geométricas que não cause nenhuma alteração física...
No caso geral, se a alteração (translação, p. ex.) não permitir concluir que nada mudou, então dizemos que a distribuição de cargas é simétrica frente àquela transformação particular.
Física 2
A Lei de Gauss
transformações que caracterizam a simetria cilíndrica
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Os argumentos de simetria nos permitem concluir que o campo elétrico de um fio infinito tem simetria axial (cilíndrica)...
Física 2
A Lei de Gauss
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Física 2
A Lei de Gauss
Simetria na Simetria no
Os argumentos de simetria nos permitem concluir que o campo E de um fio infinito tem simetria axial (cilíndrica)...
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Física 2
A Lei de Gauss
O fio carregado poderia produzir o campo abaixo?
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Simetria na Simetria no
Física 2
A Lei de Gauss
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Simetria na Simetria no
Física 2
A Lei de Gauss
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Simetria na Simetria no
Física 2
A Lei de Gauss
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As três simetrias fundamentais
Simetria na Simetria no
Física 2
A Lei de Gauss
Teste pré-aula
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Objetos carregados são movidos (transformados, em linguagem de geometria) enquanto se observa no ponto E o campo elétrico por cada um deles produzido. Os pontos E e P são apenas pontos de referência.
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Uma "partícula positivamente carregada posicionada na origem" satisfaz às cinco transformações?
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Uma "bola metálica de raio R carregada positivamente posicionada na origem." satisfaz às cinco transformações?
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Um "fio metálico carregado e infinito paralelo ao eixo z." satisfaz às cinco transformações?
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Um "fio metálico carregado e infinito paralelo ao eixo x." satisfaz às cinco transformações?
Teste pré-aula 3
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Transformações:
A) o objeto é deslocado na direção do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
B) o objeto é girado em torno do eixo x e o campo elétrico em E não se altera.
C) o objeto é refletido em torno de x=0, invertendo todas as cargas de x positivo para x negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
D) o objeto é refletido em torno do plano xy, invertendo todas as cargas de y positivo para y negativo e vice versa. O campo elétrico em E não se altera.
E) objeto é girado de 90o em torno do eixo z de forma que P fique sobre o eixo y. O campo elétrico em E se altera.
Um "disco plano infinito carregado e paralelo ao plano zx." satisfaz às cinco transformações?
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Física 2
A Lei de Gauss
Os argumentos de simetria nos ajudam a resolver problemas de cálculo de campo elétrico…
Lembrando que tudo que sabemos é:
O simples fato das simetrias permitirem eliminar possíveis formas do campo algumas vezes é tão importante quanto determinar a forma do campo. Pelo processo de eliminação podemos até concluir, com exatidão, a forma do E.
Física 2
A Lei de Gauss
Entretanto, a forma do campo não é tudo.
Considerando essa abordagem de simetria, falta agora desenvolvermos uma maneira de calcular a intensidade do campo elétrico...
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Cálculo do fluxo de campo elétrico
O fluxo elétrico é uma quantidade de campo elétrico que atravessa uma área A.
Matematicamente, podemos escrever:
Física 2
A Lei de Gauss
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O fluxo elétrico sobre uma superfície pode ser calculado como a soma dos fluxos através de pequenos pedaços da superfície.
Física 2
A Lei de Gauss
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O fluxo elétrico sobre uma superfície pode ser calculado como a soma dos fluxos através de pequenos pedaços da superfície.
Fazendo
Física 2
A Lei de Gauss
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Física 2
A Lei de Gauss
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Fluxo através de uma superfície curva:
dois casos especiais
Física 2
A Lei de Gauss
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O fato de do módulo do campo elétrico ser cte em toda a superfície nos permitiu sacar para fora da integral o valor cte de E...
Fluxo através de uma superfície curva:
Física 2
A Lei de Gauss
caso:
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Em resumo:
Φe = 0
Φe = EA
Física 2
A Lei de Gauss
Fluxo através de uma superfície curva:
dois casos especiais
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Teste conceitual 1
Um retângulo de área A situa-se no plano xz. Quanto valerá Φe se
A) 0
B) E0xA
C) E0yA
D) (E0x+E0y)A
Física 2
A Lei de Gauss
z
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Teste conceitual 1
Um retângulo de área A situa-se no plano xz. Quanto valerá Φe se
A) 0
B) E0xA
C) E0yA
D) (E0x+E0y)A
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A Lei de Gauss
z
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Problema
Quanto vale o fluxo do campo elétrico (24 N/C)î + (30 N/C)ĵ + (16 N/C)k através de uma porção de 2,0 m^2 do plano yz?
Física 2
A Lei de Gauss
35
➝
Física 2
A Lei de Gauss
Fluxo através de uma superfície fechada:
1
1
2
2
3
3
4
5
m
m
?
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➝
Física 2
A Lei de Gauss
Fluxo através de uma superfície fechada:
Nota: O vetor dA sempre aponta para fora da superfície. Isso remove uma ambiguidade que estava presente quando tratamos de sup aberta.
1
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3
3
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5
m
m
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A Lei de Gauss
Fluxo através de uma superfície fechada:
Nota: O vetor dA sempre aponta para fora da superfície. Isso remove uma ambiguidade que estava presente quando tratamos de sup aberta.
1
1
2
2
3
3
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5
m
m
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Teste conceitual 3
Quanto vale o fluxo elétrico resultante através do cilindro abaixo?
A) 0
B) EπR2
C) E2πR
D) E2πR2
Física 2
A Lei de Gauss
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Teste conceitual
Quanto vale o fluxo elétrico resultante através do cilindro abaixo?
A) 0
B) EπR2
C) E2πR
D) E2πR2
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A Lei de Gauss
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Motivos para estudar a Lei de Gauss
*Em casos em que v<<c, podemos utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo elétrico.
Física 2
A Lei de Gauss
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Física 2
A Lei de Gauss
O fluxo através de uma superfície fechada: está relacionado com a carga dentro da Superfície.
A Lei de Gauss
S
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Teste conceitual 4
A fig. mostra, em seção reta, duas esferas e dois cubos gaussianos. Podemos dizer que
A) Φa > Φb > Φc > Φd
B) Φa < Φb < Φc < Φd
C) Φa = Φb = Φc = Φd
D) Φa = Φc > Φb = Φd
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A Lei de Gauss
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Teste conceitual 4
A fig. mostra, em seção reta, duas esferas e dois cubos gaussianos. Podemos dizer que
A) Φa > Φb > Φc > Φd
B) Φa < Φb < Φc < Φd
C) Φa = Φb = Φc = Φd
D) Φa = Φc > Φb = Φd
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A Lei de Gauss
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Teste conceitual 5
Uma partícula positiva se encontra a d/2 de um plano quadrado de lado d. Podemos afirmar que
A) Φ = q/6ε0
B) Φ = q/4ε0
C) Φ = q/ε0
D) Φ = 0
Física 2
A Lei de Gauss
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Teste conceitual 5
Uma partícula positiva se encontra a d/2 de um plano quadrado de lado d. Podemos afirmar que
A) Φ = q/6ε0
B) Φ = q/4ε0
C) Φ = q/ε0
D) Φ = 0
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A Lei de Gauss
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Uma carga pontual:
Determinando o campo via Lei de Gauss
Física 2
A Lei de Gauss
+
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Física 2
A Lei de Gauss
Uma carga pontual:
Determinando o campo via Lei de Gauss
1a coisa: escolher a sup. gaussiana adequada a simetria do problema
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Física 2
A Lei de Gauss
Uma carga pontual:
Determinando o campo via Lei de Gauss
49
O resultado anterior não depende de r...
Física 2
A Lei de Gauss
50
O resultado não depende da forma da superfície S.
Física 2
A Lei de Gauss
51
O Fluxo é independente de S
Física 2
A Lei de Gauss
S
+
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O Fluxo é independente de S
Física 2
A Lei de Gauss
S
Aproximando a curva arbitrária a infinitos setores esféricos
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O Fluxo é independente de S
Física 2
A Lei de Gauss
S
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Física 2
A Lei de Gauss
O Fluxo é independente de S
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Carga fora da superfície S
Física 2
A Lei de Gauss
???
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Carga fora da superfície S
Física 2
A Lei de Gauss
=0
Carga fora da superfície S
Física 2
A Lei de Gauss
= 0.
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Cargas Múltiplas
Física 2
A Lei de Gauss
???
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Cargas Múltiplas
Φe = 0
Φe ≠ 0
Física 2
A Lei de Gauss
Esfera carregada = carga pontual...
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Física 2
A Lei de Gauss
Física 2
A Lei de Gauss
61
'
'
'
Física 2
A Lei de Gauss
Distribuição esférica e homogênea de cargas…
Considere a esfera de raio R e carga Q
Q': carga dentro da gaussiana
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'
'
'
Física 2
A Lei de Gauss
Distribuição esférica e homogênea de cargas…
Considere a esfera de raio R e carga Q
Q': carga dentro da gaussiana
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Física 2
A Lei de Gauss
Distribuição esférica e homogênea de cargas…
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Condutores em equilíbrio eletrostático...
Onde se localizam as cargas em excesso? No centro, na superfície, igualmente distribuída no corpo do objeto...
Cap. 28 - A Lei de Gauss - Revisão
objeto metálico com carga Q
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Condutores em equilíbrio eletrostático...
Onde se localizam as cargas em excesso? No centro, na superfície, igualmente distribuída no corpo do objeto...
Cap. 28 - A Lei de Gauss - Revisão
objeto metálico com carga Q
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Condutores em equilíbrio eletrostático...
Por quê?
superfície gaussiana
Cap. 28 - A Lei de Gauss - Revisão
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Condutores em equilíbrio eletrostático...
Caso contrário, haveria corrente elétrica indicando que o condutor não está em equilíbrio.
Física 2
A Lei de Gauss
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Condutores em equilíbrio eletrostático...
Por quê?
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A Lei de Gauss
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Campo elétrico na superfície do metal
Física 2
A Lei de Gauss
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Campo elétrico na superfície (interna) do metal
Quanto vale o fluxo nesta
superfície gaussiana?
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A Lei de Gauss
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Campo elétrico na superfície (interna) do metal
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A Lei de Gauss
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Campo elétrico na superfície (interna) do metal
Quanto vale o fluxo nesta
superfície gaussiana?
+
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A Lei de Gauss
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Cap. 28 - A Lei de Gauss - Revisão
+
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Blindagem
Física 2
A Lei de Gauss
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P1 2018 2
Física 2
A Lei de Gauss
Qual opção melhor representa as linhas de campo do sistema?
A)
B)
C)
D)
E)
Condutor neutro
.
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Um pequeno furo circular de raio R é feito no plano infinito, com η cte. O eixo z, cuja origem está no centro do furo, é perpendicular à placa. Determine, usando a notação dos versores i, j e k, o campo elétrico no ponto P, situado em z=d. (Dica: use a eq. 27.22 e o princípio da superposição)
Física 2
A Lei de Gauss
Tarefa para o lar
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Problema:
Física 2
A Lei de Gauss
Tarefa para o lar
A Figura ao lado