MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
1
23.08.2024
FARKLI MALZEMELERDEN İMAL EDİLMİŞ (KOMPOZİT) KİRİŞLERİN BASİT EĞİLMESİ
5.4
(Video 5.d)
*Videolara erişim sayfası: mehmetzor.com/Dersler/Mukavemet/Ders Eğitim Videoları
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
2
23.08.2024
C
ρ-y
θ
y
x
Yüklemeden SONRA
Uzamayan lif (Tarafsız Düzlem)
ρ
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
K’
y
E1
E2
Yüklemeden ÖNCE
JK gibi herhangi bir lifi için;
son boy:
Toplam uzama :
Birim elastik uzama :
5.4.1 Bu bölümde Amacımız: Birden fazla malzemenin üst üste yapıştırılmasıyla oluşturulan (kompozit) kirişlerde eğilme sonucu ortaya çıkan normal gerilmeleri hesaplamaktır. Hesaplamalar yine en az bir eksene göre simetrik kesitler için yapılacaktır.
Uzamayan lif:
E1
E2
(bknz: bölüm 5a) kompozit kirişler içinde geçerlidir.
T.E
y
z
2
1
5.4.2 Kompozit Kirişlerde Normal Gerilme Hesabı:
Malzeme 1
Malzeme 2
Şekil 5.4.1
(b)
(c)
(a)
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
3
23.08.2024
Malzeme 1 için:
y
z
1
2
x
Malzeme 2 için:
Sadece M dış momenti olduğundan kesitte toplam iç normal kuvvet sıfırdır.
Bu son denklem, genişletilmiş kesitin ağırlık merkezinin y koordinatının sıfır olduğunu, yani aslında uzayamayan fiberin ve tarafsız eksenin genişletilmiş kesitin ağırlık merkezinden geçtiğini kanıtlamaktadır.
Toplam İç kuvvet:
Genişletilmiş kesitin
ağırlık merkezinin denklemi:
,
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
,
dA şerit elemanlarındaki diferansiyel kuvvetler:
olduğunu düşünelim:
n.b
b
,
Şekil 5.4.2
Şekil 5.4.3
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
4
23.08.2024
Kesitteki İç Moment:
Genişletilmiş kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momenti:
ve
idi.
kesiti değiştirilmemiş olan malzeme bölgesinde gerilme hesabı:
kesiti değiştirilmiş olan malzeme bölgesinde gerilme hesabı:
( 5.4.1)
( 5.4.2)
n.b
b
T.E
y
z
2
1
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
y
z
1
2
x
Şekil 5.4.4
Şekil 5.4.5
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
5
23.08.2024
Örnek 5.4.1 (video 5.d, örn 1):
çelik
bakır
80mm
60mm
20mm
Şekildeki kiriş bakır ve çelik elemanların üst üste yapıştırılması sonucu oluşturulmuştur. Gösterilen yükleme durumuna göre kirişte oluşan maksimum ve minimum normal gerilmelerin yerlerini ve şiddetlerini ve
bakır
çelik
20mm
80mm
60mm
1m
1m
2m
P=1kN
P=1kN
A
B
80mm
60mm
nx20= 40mm
20mm
1
2
G1
G2
G
y
z
a
b
Çeliğin yatay kenarı n katı kadar genişletilir.
Eğilme momenti diyagramı
x
P=1kN
P=1kN
RA=1kN
RB=1kN
1m
1m
2m
x
y
Çözüm:
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
çelik çubuğun ağırlık merkezindeki normal gerilmeyi hesaplayınız.
Statik dengeden ve simetriden dolayı A ve B deki reaksiyon kuvvetleri eşit çıkar. RA= RB= 1kN
Genişletilmiş kesitin Ağırlık merkezi:
Şekil 5.4.6
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
6
23.08.2024
Genişletilmiş kesitin z eksenine göre atalet momenti :
"a" noktası, genişletilmemiş kesit bölgesinde (bakır kısmında) olduğundan 5.4.1 denkleminden gerilmesi bulunur.
"b" noktası, genişletilmiş kesit bölgesinde (çelik kısmında) olduğundan 5.4.2 denkleminden gerilmesi bulunur.
(Çelik çubuk hacminin ağırlık merkezi tam orta kesitteki G2 noktasıdır ve genişletilmiş kesittedir. Diyagramdan bu kesitteki moment maksimum moment olduğu görülmektedir.)
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
80mm
60mm
nx20= 40mm
20mm
1
2
G1
G2
G
y
z
a
b
G1
G2
G
y
z
a
b
çelik
bakır
Normal gerilme dağılımını çizersek:
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
7
23.08.2024
Endüstriyel bir uygulama :
Sandviç Kompozit Panel Çatı Sistemleri
Binaların çatıları için kullanılan bu sistemler, iki ince metal plaka arasına ısı yalıtımı yüksek olan köpük tarzında bir malzemenin yerleştirilmesiyle imal edilirler. Bu panellerin üzerinde biriken kar, yayılı yüke sebep olur ve bu sistemler eğilmeye maruz kalır. İnce uzun panellerde oluşan gerilmeleri, bu bölümde anlatılan kompozit kirişler için yaptığımız hesaplama şekliyle elde edebiliriz. (Genişliği ve boyu birbirine yakın panelleri ise plak olarak tanımlanır ve bunları hesaplamaları plaklara özgü teorilerle yapılabilir. Bu ise daha ileri seviye bir konudur.)
Orijinal kesit
Hesaplamalar için
Genişletilmiş kesit
2
2
1
b
h2
h2
h1
nb
h2
h2
h1
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
Şekil 5.4.7
(a)
(b)
(c)
Şekil 5.4.8
(a)
(b)
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
8
23.08.2024
Örnek 5.4.2*
Çelik ve alüminyum çubukların birleştirilmesi ile meydana gelen kompozit kirişin kesiti şekilde verilmektedir. Kirişin tamamını göze alarak Alüminyum ve çelikte meydana gelen maksimum ve minimum normal gerilmeleri bulunuz.
(Eç= 210 GPa, EAl=70 GPa).
Çözüm:
Statik hesaplamalar:
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
A-C bölgesinde I-I kesiminin sol parçasının dengesi:
Ani bir moment değişimi olmadığı için CB bölgesini incelemeye gerek kalmaz.
En kritik kesit
Şekil 5.4.9
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
9
23.08.2024
(Çelik alanı 3 katı genişletilecek, alüminyum alanı sabit kalacaktır.
Böylece genişletilmiş çözüm kesiti elde edilir.)
orjinal kesit
C kritik kesitinde eğilme momenti pozitif çıktığı için üstteki noktalarda bası gerilmeleri, alttaki noktalarda çeki gerilmeleri oluşur.
Çelikteki gerilmeler:
Alüminyumdaki gerilmeler:
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
K
M
8mm
8mm
a
b
d
1
2
e
e
MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor
10
23.08.2024
Örnek (Soru) 5.4.3 Şekilde kesiti gösterilen kiriş T şeklinde çelik ve dikdörtgen şeklinde ahşap parçaların birleştirilmesiyle oluşturulmuştur. Bu kesit 50kNm lik bir eğilme momentine maruz kalırsa, (a) ahşaptaki maksimum gerilmeyi, (b) üst kenar boyunca çelikteki gerilmeyi belirleyiniz. ( Eahşap = 12,5 GPa ve Eçelik = 200 GPa).
Cevap: a-) 4.57 MPa, b-) 43.8MPa
çelik
ahşap
5.4 Farklı Malzemelerden İmal Edilmiş (Kompozit) Kirişlerin Basit Eğilmesi
Şekil 5.4.10