1 of 27

Sessió 4

Probabilitat

Santa Coloma, 28 d’abril de 2020

Títol: Improbable

Autor: Francesc Creixell Robert

Categoria: Professorat

Any: 2012 (2n Premi)

Centre: Institut Pla Marcell (Cardedeu)

Concurs Fotografia matemàtica (ABEAM)

Ester Bosch

Rosa M. Sala, Anna Rodríguez, Xavier Fernández, Marta Aragüés

�

Ara Matemàtiques

Saber-ne més per ensenyar-les millor

2 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

3 of 27

Tema 13. Estadística i probabilitat

SEGUR

PROBABLE

POSSIBLE

IMPOSSIBLE

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

4 of 27

NECESSITAT D’ESTRUCTURAR I ORDENAR

QUANTS

TRIANGLES

HI HA?

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

5 of 27

Segur que succeeix

Segur que no succeeix

Estic segur que passarà
Hi ha un 50 % de probabitat
És poc probable
És molt probable que succeeixi
Probablement passi
No hi ha manera que això passi
Hi ha un 100 % de probabilitat
Sembla molt poc probable
Hi ha un % de probabilitat
Pot passar

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

6 of 27

LA CARRERA DE CAMELLS

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

7 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

8 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

9 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

10 of 27

Activitat 1: Ús de la llei dels grans nombres

Quantes boles de cada color creieu que hi ha a la bossa?

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

Gestió de l’activitat: Portaríem una bossa opaca amb 15 boles, (2 negres, 5 vermelles i 8 blanques). Es planteja primer als assistents com ho podríem fer per saber la quantitat que hi ha de boles de cada color (no diem prèviament quants colors hi ha) amb la condició que si fan alguna extracció, han de retornar la bola a la bossa.

La idea és aplicar la llei dels grans nombres i veure que si repetim l’experiment molt cops, al final, els resultats experimentals tendiran als resultats teòrics.

Es pot dir que hi ha 15 boles o no.

Es comencen a fer extraccions, i que vagin anotant els resultats. Quan s’han fet 10 extraccions es pregunta quina seria la seva hipòtesis, quan se n’han fet 20, també, i així successivament, i van veient que cada vegada és més fiable, tendeix a estabilitzar-se.

Recordar que en aquest cas, a l’hora de portar-ho a classe, depenent de la gestió que fem de l’activitat es poden treballar diverses coses i a diversos nivells:

Si no deixem utilitzar calculadora, l’activitat es converteix en una pràctica productiva de divisions i fraccions.
Si deixem utilitzar la calculadora, podem treballar més la part d’hipòtesis i suposicions, i en aquest cas, llavors és maco no dir que hi ha 15 boles, i només dir que hi ha entre 12 i 17 per exemple, i que llavors hagin de calcular el nombre de boles fent diverses suposicions.
També es pot baixar l’activitat a cursos inferiors si es posen 10 boles en comptes de 15, perquè facilita molt els càlculs.
També es pot augmentar o disminuir la dificultat augmentant o disminuint el nombre de colors que fem entrar en joc. Amb dos colors, es redueix molt el nombre de càlculs que s’han de fer. I si s’afegeixen més colors, se’n han de fer més.

També podem treballar els conceptes d’impossible, possible i segur. Per exemple, amb la imatge de la diapositiva, on es veuen quantes boles hi ha de cada color, es poden plantejar si són certes les frases següents:

És impossible que surti una verda (que és de les que hi ha menys).
És possible que surti una verda (que és de les que hi ha menys).
Segur que surt una vermella (que és de les que hi ha més).
És impossible que surti una blanca (que no hi ha).

Encara no entraríem en el concepte de la mesura de la probabilitat, i per tant no presentaríem encara el concepte de probable. Però si es vol, també es podrien tractar coses com:

És probable que surti una vermella (que és de les que hi ha més).
És més probable que surti una blava que una verda (hi ha més blaves que verdes).
És poc probable que surti una verda (que és de les que hi ha menys).
...

Cal notar que en aquesta activitat no estem demanant en cap moment la probabilitat de res, el que s’ha demanat és fer una estimació del nombre de boles, i s’utilitza l’estadística i la probabilitat, a través de la llei dels grans nombres per trobar-ho.

Altres activitats que poden servir per tractar el tema de que no pots calcular la probabilitat teòrica són:

Calcular la probabilitat de que al tirar una xinxeta caigui amb el piu cap a munt.
Calcular la probabilitat de que al llençar una maquineta caigui amb el forat cap a munt.
VideoMat: Hi ha uns nens que compten els pèsols que surten en unes beines de pèsols i després de fer l’estadística diuen “Si obro una beina de pèsols el més probable és que….” https://youtu.be/JlPx5D-ff-Y

11 of 27

https://youtu.be/JlPx5D-ff-Y

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

12 of 27

Activitat 2: Ús de la combinatòria

Quants cèntims puc tenir?

Limitem a tres monedes. Limitem a 4 monedes...

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

La situació que es planteja és la següent:

Tenim unes quantes monedes a la butxaca.

Hi ha monedes d’1, 2 i 5 cèntims.

Si traiem 3 monedes, quants diners podem tenir?

Aquesta és una situació fàcilment adaptable a edats i moments de desenvolupament diferents. Us presentem algunes idees sobre com fer aquesta adaptació:

Comptant amb monedes reals o amb reproduccions, en lloc de fer-ho imaginant.

Canviant el valor de les monedes, en lloc d’1, 2 i 5 cèntims, poden ser de 10, 20 i 50 cèntims.

Preguntant quants diners podem tenir si traiem dues monedes en lloc de tres.

Concretant la quantitat de monedes que tenim a la butxaca, per exemple 10.

L’interès d’aquesta proposta rau en el fet que la resposta no és única. Fàcilment es veu que hi ha més d’una resposta correcte. Altres aspectes que la caracteritzen són la facilitat per a la verbalització compartint els progressos amb els altres, que convida a anotar els resultats per portar el control de resultats diferents tot facilitant fer el pas a fer-ho de manera ordenada per evitar repeticions i, finalment, que es pot conduir tota la situació amb preguntes:

“Imagina que poses la mà a la butxaca i treus tres monedes. Quants cèntims pots tenir entre les tres?” (sortiran, ben segur, respostes diferents: 1 + 1 + 1 = 3 o bé 1 + 2 + 5 = 8 o també 5 + 5 + 5 = 15). “Encara hi ha més possibilitats?”

“Ho anotem? Així no ens repetirem”. El fet d’anotar-ho porta a fer un tractament més sistemàtic. Preguntem per exemple: “ posem 1 + 1 + 1 = 3 i 5 + 5 + 5 = 15 junts? Un sota l’altre?” Potser això els fa adonar que falta 2 + 2 + 2 = 6 i no n’hi ha cap més d’aquesta mena. “1 + 2 + 5 = 8, aquest va sol”. “En podem trobar algun més?”. Sortirà el format de dos nombres per exemple 1 + 1 + 2 = 4 o bé 1 + 1 + 5 = 7, etc.

“Podríem arribar a trobar totes les possibilitats?”

“Quina és la quantitat més gran que es pot treure?” (5 + 5 + 5 = 15) i “quina és la més petita?” (1 + 1 + 1 = 3).

És una forma d’investigar a l’abast des de ben petits, si es condueix correctament, que mostra una manera d’enfrontar-se a una investigació i donar respostes.

13 of 27

Activitat 2: Ús de la combinatòria

Quina és la probabilitat de que si trio les samarretes i els pantalons a l’atzar quedi vestit tot de blau o tot de groc?

Quina és la probabilitat de que a més a més d’anar d’un sol color, vagi amb bambes?

https://illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=3540

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

Gestió de l’activitat: Plantejaríem aquestes dues preguntes de probabilitat a partir de la imatge (entenem que les samarretes són lila, blava i groga, i que els pantalons són blaus i grocs, i que de calçat hi ha unes sabates i dos parells de bambes).

En aquesta activitat, és plantegen preguntes sobre la probabilitat de que passin dues situacions, i a diferència de l’activitat anterior, en aquest cas si que podem calcular la probabilitat teòrica, i no cal recórrer a aplicar la llei dels grans nombres a través de l’experimentació. Per tant aquí s’introdueix el concepte de probabilitat de casos favorables entre casos totals, però per comptar-los, es necessitarà la combinatòria.

Quan facin el primer apartat de l’activitat, cal posar molta atenció en com han calculat els casos possibles i els favorables i les diferents maneres de representació que hagin sortit al grup. Segurament sortiran representacions en forma de taula de doble entrada i d’arbre, però segur que surten altres maneres més “desendreçades”. És important que reflexionin sobre que la manera de representar els casos ens servirà per comptar més ràpidament. Amb això connectem amb els models multiplicatius d’AraMat 1, on el model rectangular seria una aplicació directa de la representació en taula i en canvi el model de combinacions aniria associat a la representació en arbre. Per tant, d’alguna manera la representació en arbre és més general.

Això ho veiem en el segon apartat, on veuen que la representació en taula ja no serveix perquè hi ha tres variables, i per tant la d’arbre ara és més adequada, i sen adonen que amb un nombre n de variables, el d’arbre funcionaria. La representació en taula de doble entrada es podria transformar en un cub quan afegim la variable del calçat, però si hi afegíssim mitjons, ja no ens serviria.

Cal notar que en aquesta activitat ja s’entra en el càlcul de probabilitats pròpiament, explícitament ho demana l’enunciat, però es necessita la combinatòria per poder-ho aconseguir.

Podeu trobar més recursos de l’estil a: http://calaix2.blogspot.com.es/2012/10/combinar-i-comptar-joguines-poemes.html

14 of 27

Cada equip té 7 opcions

Barça

Cada un

d’aquests

Aparellaments

té 5 possibilitats

Cada un

d’aquests

aparellaments

té 3 possibilitats

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

15 of 27

Quina probabilitat tenim de trobar una matrícula que multipliqui?

Quina probabilitat hi ha de trobar una matrícula que comenci amb 6 i multipliqui?

I que acabi en 24?

I si tenim en compte les lletres de la matrícula canvia la probabilitat?

MATRÍCULES QE MULTIPLIQUEN

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

16 of 27

Activitat 1: Ús de la llei dels grans nombres

Traient dues boles a l’atzar, és més fàcil treure dues blanques, o una de cada color?

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

Material: Una bossa que conté dues boles negres i dues blanques i un joc amb tres tipus de targetes repetides: unes amb dues boles blanques dibuixades, altres amb dues negres i altres amb una de cada. Desenvolupament: La pregunta inicial és demanar si és més fàcil, traient dues boles a l’atzar, treure dues boles blanques o una de cada color. A continuació es van fent extraccions de dues boles i s’agafa la targeta de la situació. Això permet fer el recompte final i generar tot de preguntes al voltant (pels grans, idea de “proporció”?). Després es poden canviar les preguntes (Dues negres o una de cada color? Dues del mateix color o una de cada?)

Altres recursos: Un applet que també pot ajudar a la introducció és el del Proyecto Canals (també per a petits) que juga amb tres paraules: Possible, Impossible i Segur (es poden fer altres activitats per jugar amb aquestes paraules o proposar canviar “possible” per “probable” en algun moment)

http://proyectodescartes.org/canals/materiales_didacticos/PL-AZ-02-JS/index.html

17 of 27

Llancem dues monedes.

És més probable que surti cara i creu o dues cares?

Activitat 3: Llançament dues monedes

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

Gestió de l’activitat: L’objectiu principal de l’activitat és adonar-se que el llançament de dues monedes és un succés independent. Per tant, P(A \intersecció B)=P(A)·P(B). També veure que si la moneda no té cap defecte els successos són equiprobables, per tant, per la regla de Laplace la probabiltat que surti cara és ½ i la que surti creu també.

Podem veure que una manera és representar el problema amb una taula de doble entrada i per tant veurem que hi ha CC, CX, XC i XX. I per tant la P(C i X)=2/4=½ i P(C i C)=¼.

Com en el cas de la diapositiva anterior, també podriem representar les dades amb un diagrama d’arbre i d’aquesta manera extendre l’exercici a tres monedes i fins i tot generalitzar-ho fins a n monedes. Però per això hem posat la pregunta de la diapositiva següent amb el sexe dels fills.

Un cop ja hem resolt el problema, podem plantegem preguntes on l’ordre dels llançaments si que importi, i llavors, els resultats variaran:

Què és més probable que surtin dues cares o que surti primer cara i després creu. En aquest cas els dos esdeveniments són igual de probables, ¼.

18 of 27

Què és més probable?

Tenir tres nens
Tenir un nen i dues nenes

Activitat 3: Sexe fills

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

19 of 27

Llançament un dau:

http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/daus/activitat_1.htm

Llançament dos daus (suma) amb cursa de camells:

https://scratch.mit.edu/projects/115312308/

Activitat 3: Llançament daus. Applets

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

20 of 27

Regles del joc: Es col·loca una fitxa en la casella indicada com a “sortida” i es llança un dau dues vegades en cada ocasió. Si surt 1, 2 o 3, s’avança una casella i es puja una altra. Però si surt un 4, 5 o 6, s’avança una casella i es baixa una altra.

En quines caselles pot acabar el recorregut? En quina és més probable que acabi? Si fem l’experiment 900 cops, quantes vegades hem d’esperar que acabi a cada una de les caselles?

I què passa si modifiquem una mica les regles del joc?:

Només avancem una casella i pugem una quan el dau surt 1, però si surt qualsevol altre número després d’avançar una casella, baixo una.

Activitat 4: Problema d’investigació

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

http://puntmat.blogspot.com.es/2013/05/materials-per-treballar-la-probabilitat_10.html

Gestió de l’activitat:

En aquesta activitat proposem un problema d’investigació que conté la probabilitat, però s’ha de ser sistemàtic i exhaustiu per fer l’estudi complert.

En aquesta última activitat, lliguem una mica tot el que hem anat treballant a les altres. Per una banda, veiem que si no sabem afrontar la situació, sempre podriem realitzar molts experiments i per la llei dels grans nombres, trobariem una bona aproximació de la realitat.

També podem fer l’estudi teòric, i per això hauriem de fer l’estudi dels 36 casos que hi ha en llençar un dau, i ser sistemàtics per pensar a quines caselles va a parar i amb quina probabilitat:

En el primer apartat:

A-B-C Hi passarem, però no hi acabarem

F (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) //passant per A

G SUCCÉS IMPOSSIBLE

H (1,4) (1,5) (1,6) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) //passant per A

(4,1) (4,2) (4,3) (5,1) (5,2) (5,3) (6,1) (6,2) (6,3) //passant per C

I SUCCÉS IMPOSSIBLE

J (4,4) (4,5) (4,6) (5,4) (5,5) (5,6) (6,4) (6,5) (6,6) //passant per C

Per tant, G i I són successos impossibles. La probabilitat que acabem a F o a J és ¼ i a H és ½.

En el segon apartat, modificant les regles del joc:

F (1,1) //passant per A

G SUCCÉS IMPOSSIBLE

H (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) //passant per A

(2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) //passant per C

I SUCCÉS IMPOSSIBLE

J (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) //passant per C

Per tant, G i I són successos impossibles. La probabilitat que acabem a F és 1/36, a H és 10/36 i a J és 25/36.

Com es veu, també torna a sortir el concepte de succém impossible o possible i ara si que fins i tot ens estem preguntant que quant probables són els que són possibles.

21 of 27

https://sites.google.com/site/espaijordiesteve2/materials/materials-per-treballar-la-probabilitat/caixa-de-varga

Activitat 5: Caixa de Varga

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

Gestió de l’activitat: Proposem que juguin per grups de 4 a la “Cursa de probabilitats” de la Caixa de Varga.

Els objectius d’aquesta activitat són:

Que coneguin el material de La Caixa de Varga.
Que resolguin problemes senzills de probabilitat.
Que vegin com es poden materialitzar les diferents proves.
Que visquin que encara que un esdeveniment sigui més probable que un altre, no té per què sortir.

En aquest diapositiva donarem accés a un link a una carpeta de Drive oberta amb tot el material per imprimir.

https://docs.google.com/document/d/1y7wrplYkoV-QXpqof4SizEQA2ZluaXGiTmSbQqO9zMM/edit?usp=sharing

Activitats concretes a fer:

http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/atzar/tres_fitxes.htm

Tirem els daus /(especialment “una dau” o bé “obstacles”, que reproduix una activitat de la Caixa de Varga): http://www.xtec.cat/~jjareno/activitats/daus/intro.htm

Altres materials: http://puntmat.blogspot.com.es/2013/05/altres-materials-per-treballar-la.html

22 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

23 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

24 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

25 of 27

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

26 of 27

https://www.youtube.com/watch?v=ouw_VBWKLR0

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor

27 of 27

Idees clau:

La probabilitat no té un ordre de continguts específic per tractar-se durant la primària.
És important que facin activitats experimentals tot fent ús de materials diversos
És important calcular probabilitats de manera teòrica amb la Regla de Laplace i comprovar-la experimentalment amb la Llei dels grans nombres.
La probabilitat és una mesura que ens indica en quin grau és possible que succeeixi un esdeveniment.
La probabilitat es representa en forma de fracció, decimal o percentatge. Cal saber interpretar les tres representacions i veure quina informació ens dóna cadascuna.

Impossible

Possible

Segur

Probabilitat 0

Poc probable

Molt probable

Probabilitat 1

Ara Matemàtiques. Saber-ne més per ensenyar-les millor