SUCESIONES
Se te han presentado situaciones como
Situándonos en los múltiplos de 3, podemos decir que
primer múltiplo es 3
segundo múltiplo es 6
tercer múltiplo es 9
cuarto múltiplo es 12
el múltiplo n-ésimo es 3n
De manera informal podemos decir que una sucesión es una lista con un orden definido, de tal forma que podemos decir cual es el primer, segundo, tercer elemento, etc.
DEFINICIÓN: una sucesión infinita o sucesión es una función con dominio los números naturales o enteros positivos.
Una sucesión se puede representar como una lista de números en un orden definido como
Donde cada término tiene su sucesor
NOTACIÓN: representamos de una manera explicita a una sucesión por sus términos entre llaves
o de manera implícita como o
Cualquier expresión que se usa para definir una función real se puede emplear para una sucesión, así se pueden usar todas las operaciones como son: suma, diferencia, producto, cociente, potencia, etc. y cualquier función como son las algebraicas y las trascendentes, aunque se tiene que en sucesiones se emplea la expresión el cual es un factor que no se emplea en funciones reales.
EJEMPLO 1.
REPRESENTEMOS UNA SUCESIÓN DE DIFERENTES MANERAS
LA SUCESIÓN CONSTANTE SE REPRESENTA COMO SIGUE.
EJEMPLO 2.
Determinar una expresión para el término general de la sucesión dada, suponiendo que en patrón de los primeros términos continua.
a)
la forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo 1 y con denominador que varía, los denominadores son 2,4,8,16,… los números en los denominadores son las potencias de 2, luego el término general es
La sucesión es
b)
la forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo 1 y con denominador que varía, los denominadores son 2,4,6,8,… los números en los denominadores son múltiplos de 2, luego el término general es
La sucesión es
c)
Para determinar el término general de la sucesión se tiene que determinar tres elementos, el signo, el numerador y el denominador.
El numerador es 1, 2, 3, 4 como n=1,2,3,4,… entonces el numerador es n,
Los denominadores son 4,9,16,25, los cuales son los cuadrados de 2,3,4 y 5 para n=1,2,3 y 4, luego el denominador es el cuadrado de n+1
El signo se determina con la potencia de (-1), empecemos por proponer que es n, observamos con este si se determinan los elementos que nos dan. luego el término general es
La sucesión es
d)
Para determinar el término general de la sucesión se tiene que determinar tres elementos, el signo, el numerador y el denominador.
El numerador es 1, 2, 4, 8, las cuales son potencias de 2, con primer exponente cero, esto llevaría al exponente n-1,
El denominador es 1, 3, 9, 27, las cuales son potencias de 3, con 1er exponente cero, esto llevaría al exponente n-1,
El signo se determina con la potencia de (-1), pero no es n, como el numerador y el denominador tienen exponente n-1, usemos este para el (-1), observamos con este si se determinan los elementos que nos dan. Luego el término general es
La sucesión es
e)
Con esta sucesión inicialmente solo notamos que se intercalan los valores 0 y 1, pero ¿qué función en general nos permite tener estos valores?, una opción es pensar en las funciones seno y coseno, sabemos que para ciertos valores las funciones toman los valores de 0 y 1, así podemos proponer
Veamos si al sustituir los valores de n se determinan los valores de la sucesión.
Con esta función, el primer término es 1 y debe de ser cero, así propongamos otra
función
Propongamos
Veamos si al sustituir los valores de n se determinan los valores de la sucesión.
Se cumple que el primer elemento es 0, que el tercero es 0 y que el cuarto es 1, solo el segundo no se cumple por el signo pero si aplicamos el valor absoluto a la función propuesta si se cumple.
Así el término general para la sucesión es
Otra opción algebraica que es más directa.
Es emplear el elemento
necesitamos determinar una expresión que genere los términos 1 y 0 de manera alterna
El 0 lo podemos obtener sumando y restando el mismo número, esto es a-a, o en particular 1-1, tenemos que el primer término, el tercero y el quinto son 1-1, ¿como lo podemos representar?
Si tomamos la suma , vemos que al sustituir n=1,3,5 vale 0, con lo que tiene una expresión para los términos impares de la sucesión, veamos si también se obtienen los pares.
Dada la expresión
Determinemos los valores que se obtiene al sustituir los valores de n
Así para los valores de n impar se obtiene cero y para los valores pares vale 2, necesitamos que sea 1 y no 2, por lo cual el término general es
Y la sucesión es
GRÁFICA DE UNA SUCESIÓN
Una sucesión en el plano de ejes n y an, queda determinada por los puntos en el plano definidos por (1,a1), (2,a2),…, (n,an), …
Grafiquemos la sucesión
La gráfica de la sucesión la constituyen solo los puntos, ya que solo esta definida para números enteros, lo que impiden unir los puntos.
Podemos usar la función real como base de la gráfica de la función
Grafiquemos ahora la sucesión
Podemos usar como base la función real
La gráfica de sucesión es
PROPIEDADES
Las propiedades de funciones en general son aplicables a sucesiones, enunciamos algunas de las propiedades de sucesiones.
CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN
La definición de convergencia de una sucesión nos dice que para determinar la convergencia de esta se debe de determinar el limite en infinito del término general de la sucesión, so el límite existe la sucesión converge al valor del límite, si el límite no existe la sucesión diverge.
Para determinar el límite se pueden emplear todas las estrategias conocidas, esto es las técnicas algebraicas y lo desarrollado en formas indeterminadas, sin embargo, agregaremos unos teoremas para calcular algunos limites que aún no tienen solución con las estrategias que se han visto.
TEOREMAS PARA SUCESIONES
Este Teorema nos permite determinar el límite de una sucesión a partir del límite de la función real.
EJEMPLO 3.
Determinar si las sucesiones convergen o divergen.
Este teorema nos permite determinar si una sucesión de la forma converge o diverge a partir del valor de r. Sin embargo, no nos da un resultado si , esto es si r = 1 y r = - 1
Determinemos la convergencia o divergencia de la sucesión para estos valores.
EJEMPLO 4.
Determinar si las sucesiones y convergen o divergen.
EJEMPLO 5.
Determinar si la sucesión converge o diverge.
Otra opción, es usar el teorema 3.
EJEMPLO 6.
Determinar si la sucesión converge o diverge.
Usemos el teorema de intercalación, para lo cual hay que acotar la sucesión. El término general de la sucesión es
Así
Calculando los límites
La sucesión converge a cero.
LÍMITES IMPORTANTES
APLICANDO LA REGLA DE L’HOSPITAL