MATRIKS

​

​

​

​

​

MATRIKS

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah : kumpulan bilangan ( atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom.

Bilangan bilangan yang tersusun tersebut disebut elemen – elemen atau komponen – komponen matriks.

Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital.

Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut Ordo matriks atau ukuran matriks.

​

​

1. Perhatikan contoh berikut :

​

​

​

Kolom kolom kolom kolom

1 2 3 4

Matriks A tersebut terdiri dari 3 baris dan 4 kolom.

Matriks A tersebut disebut berordo 3 x 4, atau dapat ditulis dengan A_{(3 x 4)}

• Secara umum Matriks dapat dituliskan sebagai berikut :

​

​

​

​

​

Dalam hal ini a_ij disebut elemen matriks pada baris ke I dan kolom ke j.

2. Beberapa Jenis Matriks Khusus

1. Matriks Nol ( 0 )

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh 1 :

​

2. Matriks Bujur Sangkar

Matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

Contoh 2:

​

3. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar eleman utamanya bernilai nol.

Contoh 3:

​

4. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang elemen elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.

Contoh 4:

​

5. Matriks Identitas ( I )

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.

Contoh 5 :

​

6. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga Atas adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh 6 :

​

7. Matriks Segitiga Bawah.

Matriks segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh 7 :

​

3. OPERASI PADA MATRIKS

1. Penjumlahan dan Pengurangan dua matriks.

Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dijumlahkan dan dikurangkan ababila kedua matriks berordo sama ( berukuran yang sama ).

​

Secara umum dapat dituliskan sbb :

​

​

​

​

​

Jadi A + B = +

​

​

A + B =

​

​

Dan A – B dapat dinyatakan sbb :

​

​

​

A – B = -

​

​

​

​

A – B =

​

​

Contoh 8 :

Diketahui matriks : dan

Tentukan : a. A + B

b. A - B

Jawab : a.

​

Jawab b.

​

​

SIFAT – SIFAT PADA PENJUMLAHAN MATRIKS

1. Sifat komutatif : A + B = B + A
2. Sifat Asosiatif : (A + B)+C=A+(B+C)
3. Sifat identitas (0) : A+0 = 0+A = A
4. Sifat lawan (-A) : A+(-A) = 0

​

SOAL

Diketahui :

​

​

​

​

Tentukanlah matriks berikut jika ada ?

1. A + B b. A + C
3. C + D d. D + C
5. A – B f. B – A

g. C – D h. D - C

​

2. Perkalian Skalar dengan matriks

Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen – elemenya merupakan perkalaian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.

Secara umum dapat dituliskan :

​

Jika

Maka k x A dapat dituliskan sebagai berikut :

​

K x A = k x

​

​

​

Contoh 9:

Dikeahui :

​

Tentukanlah nilai dari 3A ?

Jawab :

​

​

SIFAT – SIFAT PADA PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS :

1. kA = A.k ( sifat komutatif )
2. K(A + B ) = k.A + k.B ( Sifat distributif)
3. K(A – B ) = k.A – k.B (sifat distributif )
4. K(lA) = (kl)A
5. (k+l)A=kA + lA
6. 1A = A
7. (-1)A = -A

​

• Contoh :

1. 2A = A.2

2. 3(A + B ) = 3.A + 3.B

3. 5(A – B ) = 5.A – 5.B

dll

3. Perkalian Dua Matriks

Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dikalikan ( A x B ) Jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

Misalnya : A_(n,m) dan B_(m,k) maka A x B dapat dikalikan.

Jika matriks A dan B dinyatakan dengan SBB :

Jadi A x B dapat dinyatakan sbb :

​

C = A x B = x

​

​

​

​

​

maka :

​

​

C=AXB= X

​

c₁₁ = a₁₁ x b₁₁ + a₁₂ x b₂₁ + …. + a_1m x b_m1

c₁₂ = a₁₁ x b₁₂ + a₁₂ x b₂₂ + ….. + a_1m x b_m2

.

.

.

c_1k =a₁₁ x b_1k + a₁₂ x b_2k + ….+ a_1m x b_mk

cij = a_i1 x _b1j + a_i2 x b_2j + …..+ a_im x b_mj

Contoh 10 :

Diketahui : dan

​

• Tentukanlah A x B = ?

Jawab :

​

​

​

​

​

Dari soal diatas diketahui :

a₁₁ = 1 , a₁₂ = 2 ; a₂₁ = 3 ; a₂₂ = 4

b₁₁ = 5 ; b₁₂ = 6 ; b₁₃ = 9 ; b₂₁ = 7 ; b₂₂ = 8 ; b₂₃ = 0

dimana :

a₁₁ = 1 , a₁₂ = 2 ; a₂₁ = 3 ; a₂₂ = 4

b₁₁ = 5 ; b₁₂ = 6 ; b₁₃ = 9 ; b₂₁ = 7 ; b₂₂ = 8 ; b₂₃ = 0

c₁₁ = a₁₁ x b₁₁ + a₁₂ x b₂₁ =1.5 + 2.7 = 5 + 14 = 19

c₁₂ = a₁₁ x b₁₂ + a₁₂ x b₂₂ = 1.6 + 2.8 = 6 + 16 = 22

c₁₃ = a₁₁ x b₁₃ + a₁₂ x b₂₃ = 1.9 + 2.0 = 9 + 0 = 0

c₂₁ = a₂₁ x b₁₁ + a₂₂ x b₂₁ = 3.5 + 4.7 = 15 + 28 = 43

c₂₂ = a₂₁ x b₁₂ + a₂₂ x b₂₂ = 3.6 + 4.8 = 18 + 32 = 50

c₂₃ = a₂₁ x b₁₃ + a₂₂ x b₂₃ = 3.9 + 4.0 = 27

Maka :

​

​

​

​

​

​

​

​

SIFAT – SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS

1. Perkalian pada matriks umumnya tidak komutatif.

​

• Perkalian pada matriks bersifat Asosiatif.

​

• Perkalian matriks bersifat Distributif.

Distribusi kiri :

Distribusi kanan :

• Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks Identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat :

​

SIFAT TAMBAHAN PADA PERKALIAN MATRIKS

5. (a) Jika , belum tentu A=0 atau B=0

(b) Jika , belum tentu B = C

• Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku :

​

• Jika A^t dan B^t berturut-turut adalah transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan :

soal

• Diketahui matriks :

​

​

​

• Tentukanlah tiap hasil kali matriks ( jika mungkin) ?
• a. CA c. AC e. BC
• b. CB d. AB f. BA

​

4. PEMANGKATAN MATRIKS PERSEGI

Defenisi :

Jika A adalah matriks persegi maka :

​

Contoh 11 :

Diketahui matriks :

a. Tentukanlah :

(i) A² (ii) A³ (iii) A⁴

b. Tentukanlah : A³ - 4A² + A - 4I ( dengan I adalah matriks satuan ) ?

Jawab : a.

​

​

​

​

• b) Dengan menggunakan hasil pada bagia a diatas diperoleh :

A3 – 4A2 + A – 4I

​

​

​

​

​

5. TRANSPOS MATRIKS

Pengertian Transpos Matriks

Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.

Transpos dari matriks A dinotasikan dengan A^T atau A^t atau .

Jika matriks A dinyatakan dengan :

​

Maka tranpos dari matriks tersebut dinyatakan dengan :

​

​

A^T =

​

​

Contoh 12:

Jika

​

​

Tentukanlah transpos dari matriks diatas ( A^T) ?

​

Jawab :

​

maka A^T =

​

Jika A = A^T maka A disebut matriks Simetri.

Contoh 13 :

Jika , Tentukanlah A^T ?

​

Jawab :

A^{T =}

​

Karena A = A^T maka matriks A tersebut merupakan matriks simetris.

5. KESAMAAN MATRIKS

Defenisi :

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, Jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-lemen yang bersesuaian bernilai sama.

Diketahui : dan

Jika A = B maka sama

Contoh 13 :

Diantara matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ?

​

Jawab :

​

​

Karena ada elemen yang bersesuaian tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )

Jadi karena semua elemen yang bersesuaian bernilai sama maka matriks A sama dengan matriks B ( A = B )

Jadi karena ada elemen yang bersesuaian bernilai tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )

6. DETERMINAN MATRIKS

Pengertian Determinan :

Determinan suatu matriks dinyatakan dengan Selisih Jumlah hasil kali antara diagonal utama dengan diagonal sekundernya.

Jadi matriks yang memiliki nilai determinan hanyalah matriks yang berbentuk bujur sangkar.

Jika nilai determinan suatu matriks bernilai nol, maka matriks tersebut disebut matriks Singuler.

Matriks singuler tidak memiliki invers / kebalikan.

Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan det (A) atau

Untuk matriks yang berordo 2x2 :

Jika maka determinan dari

​

matriks Tersebut dinyatakan dengan :

det (A) = (axd) – (bxc)

​

Contoh 14 :

Diketahui , Tentukan determinan A?

​

​

Jawab :

​

Untuk matriks yang berordo 3x3 :

​

Jika maka determinannya

​

dinyatakan dengan :

(-) (-) (-)

a b c a b

A = d e f d e

g h i g h

(+) (+) (+)

​

Dimana :

Det (A) = + (axexi) + (bxfxg) + (cxdxh) - (cxexg) - (axfxh) - (bxdxi)

Det (A) = ((axexi)+(bxfxg)+(cxdxh))-((cxexg)+(axfxh)+(bxdxi))

Contoh 15 :

​

Diketahui ,Tentukan nilai

​

determinannya ?

Jawab:

​

​

​

​

​

​

Det (A) = (2.2.3)+(1.1.5)+(4.4.1)-(4.2.5)-(2.1.1)-(1.4.3)

= 12+5+16-40-2-12

= -21

​

Determinan dari Matriks-Matriks Khusus

1. Matriks diagonal :

Matriks berordo 2x2

​

​

Matriks berordo 3x3

​

​

​

2. Matriks segitiga atas :

Matriks berordo 2x2

​

​

​

Matriks berordo 3x3

​

3. Matriks segitiga bawah :

Matriks berordo 2x2

​

​

Matriks berordo 3x3

​

​

​

4. Matriks Singuler :

Matriks berordo 2x2

​

​

​

Matriks berordo 3x3

​

5. Matriks Simetri :

Defenisi : Matriks simetri adalah matriks bujursangkar dimana nilai elemen-elemen yaitu e_ij=e_ji

Contoh :

​

​

​

Dari matriks diatas dapat kita lihat bahwa :

e₁₁ = 2, e₁₂ = e₂₁= 3, e₁₃ = e_{31 =} 4, e₂₂ = 1, e₃₃ =4

​

​

7. INVERS MATRIKS

1. Pengertian invers matriks.

Jika suatu matrik A dikalikan dengan matriks B yang berordo sama sehingga diperoleh hasil perkaliannya merupakan matriks identitas, maka matriks B tersebut disebut invers dari matriks A.

Invers dari matriks A dapat dituliskan dengan bentuk A^-1.

​

Untuk matriks berordo 2x2

Jika matriks A dinyatakan dengan :

​

​

Maka invers dari matriks tersebut dinyatakan dengan :

​

​

​

Jadi suatu matriks mempunyai invers jika matriks tersebut bukan matriks singuler.

​

​

​

Contoh 16 :

Tentukanlah invers dari matriks :

Jawab :

Det (A) = 4.3 – 2.5= 12 – 10 = 2

​

2. Dua Matriks saling Invers.

Defenisi :

Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan mempunyai ordo yang sama, serta berlaku hubungan

maka B adalah invers dari A dan A juga invers dari B, dengan demikian kedua vektor disebut saling Invers.

Contoh 17 :

Diketahui matriks - matriks :

dan

Perlihatkanlah bahwa B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B ?

Jawab :

​

​

​

​

Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa

oleh karena itu dapat dikatakan bahwa matriks A invers dari B dan B juga invers dari A

​

​

SIFAT-SIFAT INVERS PADA MATRIKS

Jika A dan B adalah matriks persegi berordo dua yang tak singuler, A^-1 dan B^-1 berturut-turut adalah invers dari A dan B maka berlaku :

8. PERSAMAAN MATRIKS

Defenisi :

Jika A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo dua, A adalah matriks tak-singuler dengan invers A^-1, maka penyelesaian persamaan matriks :

​

Contoh 18 :

Diketahui matriks-matriks :

dan

Tentukanlah matriks X berordo (2x2) yang memenuhi persamaan

a) b)

Jawab :

​

​

a) Untuk persamaan matriks

penyelesaiannya adalah :

​

​

​

b) Untuk persamaan matriks ,

penyelesaiannya adalah :

Contoh 19 :

Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah berikut :

​

​

Jawab :

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier itu, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut :

1) ubah sistem linier kebentuk matriks, 2) selesaikan secara matriks.

Langkah 1)

atau

​

Langkah 2)

det ( A ) = 4.3-5.2=12-10=2

​

​

​

​

​

​

Jadi Himpunan penyelesaian =

^,