���ANÁLISIS MATEMÁTICO I�� � �

Unidad II: Límites y Continuidad

• 2.1. Definición de límite funcional finito. Interpretación geométrica. Búsqueda algebraica de épsilon y delta. Álgebra de límites. Propiedades de los límites finitos. Límites laterales. Límites infinitos. Generalizaciones del concepto de límite. Indeterminaciones. Equivalencia entre x, sen(x) y tg(x) para x tendiendo a 0.
• 2.2. Continuidad de una función en un punto. Discontinuidades. Clasificación. Operaciones con funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado. Teoremas de Bolzano, Weierstrass y del valor intermedio.
• 2.3. Determinación de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

Introducción al Concepto de Límite

2.1

Represente gráficamente las siguientes funciones reales y luego responda para cada una de ellas:

1. ¿Cuál es el dominio de cada función?
2. ¿1 es un elemento del dominio?
3. ¿Cuál es la imagen de 1?
4. ¿A qué valores se acercan las imágenes de valores de x próximos a 1?

Introducción al Concepto de Límite

2,1

2,01

2,0001

1,9

1,999

1,99999

Introducción al Concepto de Límite

2,1

2,01

2,0001

1,9

1,999

1,99999

Introducción al Concepto de Límite

2,1

2,01

2,0001

1,9

1,999

1,99999

CONCLUSIONES

2,1

2,01

2,0001

1,9

1,999

1,99999

Introducción al Concepto de Límite

Se observa que en los tres casos:

• 1 puede pertenecer o no al dominio de las funciones.
• Cuando x → 1 (nos acercamos a 1 por derecha e izquierda a 1) no nos importa lo que sucede en 1 sino cerca de 1.
• Se cumple que: cuando x → 1: f(x) → 2; g(x) → 2; h(x) → 2. En símbolos:

​

​

• En todos los casos existe el límite finito.

​

​

​

Existe un valor L al cual se acercan los valores de la función, cuando los valores de x del dominio se acercan a c.

​

​

​

En general:

Acercándonos al Concepto de Límite

Sea

Considere una función f definida en un dominio D y c un valor excluido del dominio de la función. Determine a qué se aproximan los valores de la función cuando la variable independiente toma valores muy cercanos al valor c, por derecha e izquierda.

c

L

f

x

y

Observación

​

La función f no está definida en c. Sin embargo, cuando x tiende a c se observa que f(x) tiende a L, ya sea cuando x tiende a c por izquierda o por derecha.

​

​

x

f(x)

x

f(x)

Acercándonos al Concepto de Límite

Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de c, excepto posiblemente en c.

Si se cumple para toda x suficientemente cercana al punto c, que los valores de f(x) de la función f están arbitrariamente cercanos al punto L, decimos que f tiende a L cuando x tiende a c.

En símbolos:

​

Observación importante

El límite de una función cuando la variable independiente tiende a un valor c puede existir sin que la función esté definida para ese valor, es decir, el valor de

no depende de f (c).

​

​

​

Acercándonos al Concepto de Límite

f (x) se acerca arbitrariamente a un L

1

L+ε

L-ε

Llamemos ε al radio del entorno de centro L, siendo ε > 0

​

​

Acercándonos al Concepto de Límite

x es suficientemente cercana a c

2

Llamemos δ al radio del entorno reducido de centro c, siendo δ > 0

​

​

Formalización del Concepto de Límite

x es suficientemente cercana a c

2

c-δ

c+δ

Observación importante

En correspondencia con el ε elegido aparecen dos valores δ₁ y δ₂, como δ₁ > δ₂, tomamos δ = δ₂, con esto aseguramos que se verifica la definición de límite para el valor L.

​

​

Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de c, excepto posiblemente en c y L un número real. La función tiene límite finito L en c, si y sólo si, para todo ε > 0 existe un δ > 0 (que depende de ε) tal que para todo x ∈ D:

​

​

Definición de Límite Finito

Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de c, excepto posiblemente en c y L un número real. La función tiene límite finito L en c, si y sólo si, para todo ε > 0 existe un δ > 0 (que depende de ε) tal que para todo x ∈ D:

​

​

Sea f una función definida en un intervalo abierto alrededor de c, excepto posiblemente en c y L un número real.

En símbolos:

​

​

​

Definición Formal de Límite Finito

Definición de Límite Finito

Observaciones importantes

• En c puede estar definida o no la función f.
• La aproximación de los valores de x a c, es simultánea por derecha e izquierda.
• La existencia del límite finito L, indica que este valor debe ser único.
• Elegido un ε>0 se pueden encontrar en correspondencia con él, valores de δ, iguales o distintos. Se verifica la definición de límite si se opta por el menor de ellos (o cualquier valor más pequeño).

​

​

Límite Lateral Derecho

Para calcular el límite de una función para x tendiendo al valor c por su derecha, debemos examinar lo que ocurre con los valores de f (x) cuando se toman valores de x pertenecientes al semientorno (c, c+δ), tan próximos al valor c como se quiera.

​

​

Límite Lateral Izquierdo

Para calcular el límite de una función para x tendiendo al valor c por su izquierda, debemos examinar lo que ocurre con los valores de f (x) cuando se toman valores de x pertenecientes al semientorno (c-δ,c), tan próximos al valor c como se quiera.

​

​

Límites Laterales

Si nos acercamos a c por la izquierda, la función se acerca a L₂, mientras que si nos acercarnos a c por la derecha, la función se acerca a L₁.

​

​

​

​

​

​

Para que el límite exista, los límites laterales deben ser finitos e iguales.

​

​

Límites que no existen

El lím_x→0 f(x) no existe pues cuando x se acerca a 0 por derecha, los valores de f(x) se acercan a 0, y por izquierda, los valores de la función f(x) tienden a -1.

Luego lím_x→0 f(x) no existe.

Comportamiento diferente por derecha y por izquierda 

Determine si existe el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a 0.

Límites que no existen

El lím_x→0 g(x) no existe pues cuando x se acerca a 0, por derecha e izquierda, los valores de la función g(x) se hacen arbitrariamente grandes. Así los valores de g no se acercan a un determinado valor cuando x tiende a 0.

Luego lím_x→0 g(x) no existe.

Comportamiento no acotado 

Determine si existe el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a 0.

Límites que no existen

Determine si existe el límite de las siguientes funciones cuando x tiende a 0.

Las oscilaciones de la función h cuando x tiende a 0 hacen que los valores de la función no se acerquen a un determinado valor.

Luego, límx→0 h(x) no existe.

Comportamiento oscilante

PRÁCTICO N° 2

1

PRÁCTICO N° 2

1

Ejemplos

Dada la función, realice su gráfico y complete:

Ejemplos

b) Para valores muy próximos a x₁ = -2 por izquierda, los valores de la

función g están muy próximos a …… Simbólicamente: …….

c) Para valores muy próximos a x₁ = -2 por derecha, los valores de la

función g están muy próximos a…… Simbólicamente: …….

No existe el límite de g (x) cuando x tiende a ……. Porque el límite de g (x) para x tendiendo a -2 por izquierda es ……………… al límite de g (x) para x tendiendo a -2 por derecha.

f) Para valores muy próximos a x₂ = 1 por izquierda, los valores de la

función g están muy próximos a…… Simbólicamente: …….

Ejemplos

Luego g (x) tiende a ……… cuando los valores de x están muy próximos a

1 por izquierda y por derecha.

1. Para ε = 0,5 indique en el gráfico un entorno de centro x₂ = 1 para el cual

se verifica la definición de límite. Complete colocando los entornos

correspondientes, de acuerdo con la definición de límite.

Para todo x que pertenece al dominio de la función, si x pertenece

a ………………………. entonces f (x) pertenece a ………………….

g) Para valores muy próximos a x₂ = 1 por derecha, los valores de la

función g están muy próximos a…… Simbólicamente: …….

Determinar δ para un ε dado

Propiedades de los Límites

Sea

​

​

​

El límite de una función constante es la misma constante.

1

Propiedades de los Límites

Sea

​

​

​

Para valores de x muy cercanos al valor c, por derecha e izquierda, los valores de la función identidad también son cercanos a c.

2

Álgebra de Límites

Sean f y g dos funciones definidas en un mismo conjunto D, excepto posiblemente en c.

​

​

1

2

3

Álgebra de Límites

4

5

Sean f y g dos funciones definidas en un mismo conjunto D, excepto posiblemente en c.

​

​

Álgebra de Límites

6

Sean f y g dos funciones definidas en un mismo conjunto D, excepto posiblemente en c.

​

​

Ejemplo

Encuentre el límite de

Sabiendo que

Consecuencias: Cálculo de límites de funciones polinómicas y racionales

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Consecuencias: Cálculo de límites de otras funciones

Generalización del concepto de límite

1° caso: LIMITE FINITO EN EL INFINITO

Sea f una función definida en un intervalo (a; +∞) y L un número real.

En símbolos:

​

​

​

1° caso: LIMITE FINITO EN EL INFINITO

Sea f una función definida en un intervalo (-∞, a) y L un número real.

En símbolos:

​

​

​

1° caso: LIMITE FINITO EN EL INFINITO

Sea f una función definida en un intervalo (-∞, a) y L un número real.

En símbolos:

​

​

​

1° caso: LIMITE FINITO EN EL INFINITO

ASÍNTOTAS

Asíntota Horizontal

Sea f una función no lineal. La recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de f sí y sólo sí al menos uno de los siguientes planteos es cierto:

​

​

​

​

​

​

1

2

Ejemplos

y = 0

es una Asíntota Horizontal

y = -5

es una Asíntota Horizontal

2° caso: LIMITE INFINITO EN UN PUNTO

Cuando x tiende a un valor finito, los valores de la función aumentan o disminuyen indefinidamente, es decir, la función no es acotada en un entorno reducido de a .

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contienen al número a, excepto, posiblemente en a mismo

En símbolos:

​

​

​

2° caso: LIMITE INFINITO EN UN PUNTO

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contienen al número a, excepto, posiblemente en a mismo

En símbolos:

​

​

​

2° caso: LIMITE INFINITO EN UN PUNTO

IMPORTANTE!!!

Ejemplo:

​

​

ASÍNTOTAS

Asíntota Vertical

Sea f una función no lineal. La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de f sí y sólo sí al menos uno de los siguientes planteos es cierto:

​

​

​

​

​

​

​

La ecuación de la asíntota vertical es x = 2

Asíntota Vertical

3° caso: LIMITE INFINITO EN EL INFINITO

En todos estos casos, el límite NO EXISTE.

Ejemplos

Sea f una función definida en un conjunto no acotado D.

En símbolos:

​

​

​

3° caso: LIMITE INFINITO EN EL INFINITO

Ejemplos

Considere el siguiente gráfico de una función f : D→IR con D ⊂ IR

Escriba las ecuaciones de las asíntotas.

Infinitésimos

Sea f : D → IR y c un punto de acumulación del dominio D.

Se dice que f es un infinitésimo en c sí y sólo sí:

​

​

​

Infinitésimos

f es un infinitésimo en x₀ = a

​

Infinitésimos

g es un infinitésimo en x₀ = a

​

Infinitésimos

h es un infinitésimo en x₀ = a

​

Infinitésimos

j NO es un infinitésimo en x₀ = a

​

L

Ejemplo

Indique, de ser posible, en qué valor/es de la variable x la función dada es un infinitésimo:

Ejemplo

Indique, de ser posible, en qué valor/es de la variable x la función dada es un infinitésimo:

Límites Indeterminados

Cociente de infinitésimos: Indeterminación de la forma (0 / 0)

1

Si la función es cociente de polinomios, se factoriza numerador y denominador, aplicando algún caso de factorización.

Límites Indeterminados

Cociente de infinitésimos: Indeterminación de la forma (0 / 0)

2

Si la función presenta un binomio irracional se puede multiplicar numerador y denominador por el conjugado de dicho binomio.

Límites Indeterminados

Cociente de infinitos: Indeterminación de la forma (∞ / ∞)

Para eliminar esta indeterminación, se divide el numerador y denominador de la función, por la mayor potencia de x que aparezca en ella.

Cociente de infinitos: Indeterminación de la forma (∞ / ∞)

Regla Práctica: El límite del cociente de dos polinomios cuando x → ∞ será:

• Infinito: si el grado del numerador es mayor que el del denominador.
• Cero: si el grado del numerador es menor que el del denominador.
• Un número distinto de cero: si el grado del numerador es igual al del denominador. El mencionado número, será el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado.

Límites Indeterminados

Límites Indeterminados

Indeterminación de la forma (∞ - ∞)

Para eliminar esta indeterminación, se efectúa la operación indicada, tratando de expresarla como un cociente, con lo cual se obtiene una nueva indeterminación de la forma (0 / 0) o (∞ / ∞), o bien ninguna indeterminación.

Límites Indeterminados

Indeterminación de la forma (0 .∞)

Para eliminar esta indeterminación, se efectúa la operación indicada, tratando de expresarla como un cociente, con lo cual se obtiene una nueva indeterminación de la forma (0 / 0) o (∞ / ∞), o bien ninguna indeterminación.

Límites Indeterminados

Indeterminación de la forma exponencial (1^∞) (0⁰) (∞ ⁰)

Para eliminar la indeterminación (1^∞), se debe recordar que:

ASÍNTOTAS

Asíntota Oblicua

Sea f una función no lineal. La recta y = m x + b es una asíntota oblicua de la gráfica de f si se cumple alguna de las siguientes situaciones:

​

​

​

​

​

​

ASÍNTOTAS

Asíntota Oblicua

Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua es necesario hallar los valores m y b. Estos valores se obtienen del siguiente modo:

Dada la siguiente función:

​

1. Halle el dominio.
2. Determine las ecuaciones de sus asíntotas.
3. Determine, si existen, intersecciones entre la función y sus asíntotas. d) Represente gráficamente.

Ejemplo

Dada la siguiente función:

​

1. Halle el dominio.
2. Determine las ecuaciones de sus asíntotas.
3. Determine, si existen, intersecciones entre la función y sus asíntotas. d) Represente gráficamente.

Ejemplo

Dada la siguiente función:

​

1. Halle el dominio.
2. Determine las ecuaciones de sus asíntotas.
3. Determine, si existen, intersecciones entre la función y sus asíntotas. d) Represente gráficamente.

Ejemplo