​

​

Немає жодної сфери математики, яка

коли – не будь не знайде застосування для вивчення явищ реального світу

М.І.Лобачевський

Тема заняття:

​

​

Тригонометричні функції

числового аргументу.

Співвідношення між тригонометричними функціями

одного і того ж аргументу

Слово “тригонометрія” складається із двох грецьких слів: “триганон” – трикутник і “метрайн” – вимірювати. У буквальному значенні “тригонометрія” означає “вимір трикутників”.

Астрономія, а разом з нею і тригонометрія виникли і розвивалися в народів з розвиненою торгівлею і сільським господарством: у вавілонян, греків, індійців, китайців. Зародилася вона багато століть тому. Про це ми можемо не тільки здогадуватись.

В одному з китайських рукописів, що був написаний близько 2637 року до н.е., є відомості з астрономії, де застосовуються обчислення тригонометричного характеру.

Наприкінці ХV ст. італійський мандрівник

Христофор Колумб відкрив узбережжя Америки.

Слідом за ним туди зробив кілька подорожей інший

італієць –Амеріго Віспуччі. Португалець Васко да

Гама відкрив морський шлях на Індію. Незабаром

кораблі Магеллана вперше в історії зробили

навколосвітню подорож. Почалася епоха великих

географічних відкриттів, завоювань нових тери-

торій, освоєння незліченних багатств нових земель.

Не тільки окремі групи купців і мореплавців, але

і цілі держави боролися за право експлуатації нових

земель. Потрібні були більш потужні і швидкохідні

судна, точні географічні карти, досконалі способи

орієнтування в відкритому океані.

Такі послуги могла надати тригонометрія.

​

​

​

​

Завершальний етап у розвитку тригонометрії пов'язаний з ім’ям Леонарда Ейлера. Заняття астрономією, географією і морехідними науками неможливі без застосування тригонометрії. Але до початку XVIII ст. вона була наукою неопрацьованою, часто незручною в роботі, що іноді призводило до помилок через плутанину в знаках тригонометричних функцій у різних чвертях кола. Кожна формула виводилась з креслення і всі міркування записувалися словесно. Це змусило Ейлера переглянути доведення тригонометричних формул. Він упорядкував питання про знаки тригонометричних функцій у різних чвертях, ввів однакове позначення сторін трикутника: а, в, с і протилежних кутів А, В, С.

У працях Ейлера тригонометрія набула сучасного вигляду.

На підставі його робіт були укладені підручники з тригонометрії, що викладають її в строгій науковій послідовності.

Математика

Тригонометричні функції числового аргументу

Геометрія.

Розв’язування трикутників

Розв’язування прямокутних

трикутників

Вища математика.

Комплексні числа

Аналітична геометрія

Диф. рівняння

Фізика.

Динаміка

Оптика

Гармонійні коливання

Астрономія

Астрономічні дослідження

Актуалізація опорних знань

​

​

​

​

​

​

​

Встановити відповідність:

​

А) sinα А) відношення протилежного катета до прилеглого

​

Б) cosα Б) відношення протилежного катета до гіпотенузи

​

В) tgα В) відношення прилеглого катета до протилежного

​

Г) ctgα Г) відношення гіпотенузи до прилеглого катета

​

Д) відношення прилеглого катета до гіпотенузи

​

c

α

a

b

P

​

Синусом числа α називається ордината точки Р_α, утвореної поворотом точки Рo (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається sin α)

​

Синус визначений для будь-якого

числа α.

Значення синуса змінюється

від (-1) до 1, тобто

​

​

Монотонність синуса в чвертях:

​

I чверть – зростає від 0 до 1

II чверть – спадає від 1до 0

III чверть – спадає від 0до (-1)

IV чверть – зростає від (-1) до 0

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

0

sinα

sinβ

sinγ

y

​

x

​

O

α

​

знаки синуса на чвертях

​

​

​

+

+

-

-

y

x

Косинусом числа α називається абсциса точки Р_α,

утвореної по­воротом точки Р_α (1; 0)

навколо початку координат на кут в α радіан

(позначається cos α)

Косинус визначений для будь-якого числа α.

Значення косинуса змінюється від (-1) до 1,

тобто

​

Монотонність косинуса в чвертях:

​

I чверть – спадає від 1 до 0

II чверть – спадає від 0до (-1)

III чверть – зростає від (-1) до 0

IV чверть – зростає від 0 до 1

​

​

cosα

cosβ

y

​

x

O

α

​

знаки косинуса на чвертях

​

​

​

​

x

+

-

+

-

O

y

​

В

І

С

ь

Т

А

Н

Г

Е

Н

С

І

в

Тангенсом числа α називається відношення

синуса числа α до його косинуса:

​

​

​

Тангенс визначений для всіх а,

крім тих значень, для яких cos α = 0,

​

тобто, α = + πn, n є Ζ.

​

Для розв'язування деяких задач корисно

мати уявлення про вісь тангенсів.

Проведемо дотичну t до одиничного кола

в точці Ρ_о. Нехай α — довільне число, для

якого cos α ≠ 0, тоді точка Р_α (cos α; sin α)

не лежить на осі ординат і пряма ОР_α

перетинає t в деякій точці Т_α з абсцисою 1.

Знайдемо ординату точки Т_α із ОР_оТ_α.

; у = tgα.

​

Таким чином, ордината точки перетину

прямих ОР_α і t дорівнює тангенсу числа α.

Тому пряму t називають віссю тангенсів.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

t

Т_α

​

Вправа. Зобразити кут тангенс якого дорівнює 1,5

t

1,5

y

x

0

​

​

Котангенсом числа α називається відношення

косинуса числа α до його синуса:

Котангенс визначений для всіх α, крім таких

значень, для яких sin α = 0, тобто, α = π n, n є Ζ.

Q_α

q

​

Введемо поняття осі котангенсів .

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці

Для довільного числа α, якщо sin α ≠ 0 і відповідно

точка Р_α (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма

ОР_α перетинає пряму q у деякій точці Q_α з ординатою,

що дорівнює 1.

Із трикутника маємо: , звідси х = ctg α.

Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОР_α і q

дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають

віссю котангенсів.

​

знаки тангенса і котангенса на чвертях

​

​

​

​

x

+

-

-

+

O

y

Завдання на закріплення

№1. Якій чверті належить Р_α, якщо:

а) sin α cos α > 0; б) sin α cos α < 0;

в) tg α cos α > 0; г) ctg α sin α < 0?

Відповідь: а) І або III;

б) II або IV;

в) І або II;

г) II або III.

№2. Визначте знак добутку:

а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1;

б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.

Відповідь: а) мінус;

б) плюс.

​

​

​

​

​

Таблиця

значень тригонометричних функцій деяких кутів

Завдання на закріплення

№3. Обчисліть:

а) 3sin + 2cos – tg ;

б) 5sin +3tg – 5cos – 10ctg

Відповідь: а)

б)-7

​

1. Співвідношення між синусом і косинусом

cos² α + sin² α = 1- основна тригонометрична тотожність

(тригонометрична одиниця)

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом

,

.

Звідки, перемноживши ці рівності, матимемо

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і

синусом

Завдання на закріплення

№4. Знайти решту функцій, якщо:

​

Узагальнення та систематизація знань

сканворд “тригонометричний”

​

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”

​

​

​

​

​

1. Наука, що в перекладі з грецької означає “Вимірювання трикутника”

​

​

​

2. 1/180 частина розгорнутого кута.

​

2. 1/180 частина розгорнутого кута.

​

​

​

​

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.

​

3. Дуга, довжина якої дорівнює радіусу дуги.

​

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?

​

4. Як називається коло з центром в початку координат і радіусом рівним одиниці?

​

5. Ордината точки одиничного кола

​

5. Ордината точки одиничного кола

​

6. Абсциса точки одиничного кола

6. Абсциса точки одиничного кола

7. Відношення синуса числа до його косинуса

​

7. Відношення синуса числа до його косинуса

​

​

8. Відношення косинуса числа до його синуса

8. Відношення косинуса числа до його синуса

9. Дотична до одиничного кола в точці

​

9. Дотична до одиничного кола в точці

​

​

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?

​

10. Як ще називають основну тригонометричну тотожність?

БАЖАЮ ВСІМ УСПІХІВ!