BİLEŞİK YÜKLEME DURUMLARI

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

(Bu konu Video 8.a da anlatılmıştır.)

*Videolara erişim sayfası: mehmetzor.com/Dersler/Mukavemet/Ders Eğitim Videoları

8.1

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

2

23.08.2024

• Bir elemana, burulma, eğilme, çekme, kesme gibi farklı yükleme tiplerinden iki veya daha fazlası aynı anda uygulanabilir. Bu yükleme tipine bileşik yükleme denir.

• Bileşik Yükleme durumlarında, gerilme veya şekil değiştirme hesapları için elastik sınırlar içinde kalmak şartıyla süperpozisyon yöntemi uygulanabilir.
• Yani her bir yük ayrı ayrı uygulanarak gerilmeler elde edilir.
• Sonuçta bileşik yükleme halinde (tüm yükler aynı anda varken) oluşan gerilmeler, yükler ayrı ayrı uygulandığındaki oluşan gerilmelerin toplamına eşittir. (Dikkat: Sadece Aynı indisli gerilmeler toplanabilir)

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

8.1.1 Bileşik Yükleme Nedir?

Şekil 8.1.1

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

3

23.08.2024

Uygulanan bir dış kuvvetin doğrultusu kesit merkezinden geçmiyorsa buna eksantrik yük, yüklemeye ise eksantrik yükleme denir. Bu durumda kuvvetin yönüne göre kesitte farklı bileşik yükleme durumları ortaya çıkar.. Alttaki örnekleri inceleyerek bu yükleme tipini anlamaya çalışalım:

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Örnek 1

8.1.2 Eksantrik Yükleme sonucu oluşan bileşik yükleme durumları

(a)

(b)

Şekil 8.1.2

(c)

(d)

(e)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

4

23.08.2024

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Örnek 2

Eğilme+ Burulma

Eğilme

Burulma

Not: Burada aslında ankastre kesitte kesme kuvvetinden kaynaklı kayma gerilmeleri de vardır ve 5.1.5 denkleminden hesaplanır. Ancak A noktasında kayma gerilmesi sıfırdır. (Bu durumu anlamaya çalışın.)

Eksantrik P kuvvetinden kaynaklı A noktasındaki gerilmeleri hesaplayalım:

Şekil 8.1.3

Şekildeki dökme demir (gevrek) elamanın çekideki emniyetli gerilmesi 30 MPa, basıdaki emniyet gerilmesi ise -120 MPa olduğuna göre; elemana uygulanabilecek en büyük P kuvvetini bulunuz. (Kesitin ağırlık merkezi G noktasındadır)

Çözüm:

Örnek 5.a.2 de aynı kesit kullanılmış ve geometrik değerler şu şekilde hesaplanmıştı:

Statik dengeden

F_iç=P

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Örnek 8.1.1 ^{(Video 8.a, örn. 8.1)}

Boyutlar milimetredir.

Bası

Eğilme

Bası + Eğilme

Şekil 8.1.4.a

Şekil 8.1.4.b

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5

23.08.2024

6

Hem çeki hem bası emniyetinin sağlanması için uygulanabilecek maksimum kuvvet:

MUKAVEMET I – Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Bası + Eğilme

Çeki emniyeti aşılmaması için maksimum P kuvvetini bulalım:

Bası emniyeti aşılmaması için maksimum P kuvvetini bulalım:

Şekil 8.1.4.c

23.08.2024

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7

23.08.2024

L₁

L₁

L₁

Örnek 8.1.2 ⁽ⁿ⁾: Alaşımlı çelikten imal edilmiş AB mili, A ucundan bir duvara sabitlenmiş ve diğer ucundan BC koluna sıkı geçirilmiştir. C noktasından düşey F₁ kuvveti uygulandığında, milde akma olup olmayacağını belirleyiniz.

(σ_akma =400MPa, τ_akma =200MPa, F₁ = 2.5kN, L₁ =50cm, L₂ =40cm, d=6cm )

Çözüm. F₁ kuvvetini B noktasına momenti ile birlikte taşırız. Bu durumda aşağıdaki gibi bir bileşik yükleme karşımıza çıkar.

Moment diyagramlarını doğrudan çizdik. Bunları incelersek en kritik kesitin ankastre kesit olduğunu görürüz.

M_zmin = -F₁.L₁ =-2.5x50=-125kNcm=-125x10⁴Nmm

T= F₁.L₂ =2.5x40=100kNcm=100x10⁴Nmm

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Eğilmeli Burulma

Eğilme

Burulma

M_z

M_zmin

x

Şekil 8.1.5

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

8

23.08.2024

Mohr çemberi

Daha önce mohr çemberini x-y düzleminde çizmiştik. Burada x-z düzleminde çiziyoruz. Düzlemdeki Mohr çemberi aynı şekilde çizilir. Dikkat edilirse değişen durum gerilme indislerinde y yerine z gelecek olmasıdır. (τ_xy yerine τ_xz ve σ_y yerine σ_z kullanılır.)

Ankastre kesitteki en kritik noktalar ise en üst ve en alt noktalar (a ve b) dir. Çünkü normal ve kayma gerilmeleri şiddetçe bu noktalarda en yüksek değerde çıkar.

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

b

Üstten görünüm

Kesit z eksenine göre simetrik olduğu için ρ_a = ρ_b = d/2 ve y_a = -y_b = d/2 dir ve dolayısıyla a ve b noktalarında gerilmeler şiddet olarak eşit çıkar. Sünek malzemelerde çeki ve basıdakı akma mukavemeti eşit olduğundan bu kritik noktalardan birisini incelemek yeterli olur. Biz burada a noktasını inceleyeceğiz.

Şekil 8.1.6.a

Şekil 8.1.6.b

Şekil 8.1.6.c

Şekil 8.1.6.d

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

9

23.08.2024

Asal gerilmeler:

Maksimum kayma gerilmesi:

a noktasında x-z düzlemindeki mohr çemberi, en büyük çemberdir. Bu çemberin yarıçapı:

Alaşımlı çelik sünek bir malzemedir ve akma kriterlerine göre kontrol yapılmalıdır.

Tresca kriterine göre kontrol:

Von mises kriterine göre kontrol:

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

;

(7.2b denkleminden eşdeğer gerilmeyi hesaplarsak):

a noktasında Üç boyutlu Mohr çemberi

x-z düzlemindeki çember

Şekil 8.1.7

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

10

23.08.2024

Örnek (Soru) 8.1.3 Bir önceki soruda, ilaveten B noktasına eksenel yönde ( -x ekseni yönünde) bir F₂=50kN luk bir bası kuvveti gelirse, AB milinde en kritik noktadaki normal ve kayma gerilmelerini belirleyiniz. (F₁ = 2.5kN, L₁ =50cm, L₂ =40cm, d=6cm )

Cevap: σ_x-min = - 76.63MPa, τ_xz-max =23.58MPa

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

F₂

Şekil 8.1.8

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

Simetrik kesitli kirişlerde, kesitte aynı anda 2 eksende de eğilme momenti varsa, eğik eğilme durumu söz konusudur. Süperpozisyon yöntemiyle eğik eğilme iki farklı basit eğilmeye indirgenebilir ve normal gerilmeler toplanabilir..

8.1.3 Simetrik kesitlerde 2 Eksenli (Eğik) Eğilme

Soru: Niçin bu denklemde – (eksi) işareti yoktur? (Cevap için 5.1.7 konusuna bakınız.)

G

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Şunları fark etmeye çalışın:

• a ve b noktalarında M_z den kaynaklanan ,
• c ve d noktalarında ise M_y den kaynaklanan gerilmeler sıfırdır.

Üstten görünümler

(8.1.1)

Şekil 8.1.9.a

Şekil 8.1.9.b

Şekil 8.1.9.c

Şekil 8.1.9.d

Şekil 8.1.9.e

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

Dairesel kesitli elemanların (ve özellikle güç ileten millerin) herhangi bir kesitinde aynı anda M_z, M_y eğilme momentleri ve T burulma momenti oluşabilir.

8.1.4 Dairesel Kesitlerde Eğik Eğilme + Burulma

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Ancak en kritik nokta için bu hesaplamalar burada daha basitleştirilecektir. Şöyle ki:

Şekil 8.1.10

Şekil 8.1.11

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

Süperpozisyon yöntemine göre önce M sonra T burulma momentini uygulayalım:

En kritik nokta a için gerilme durumu:

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Şekil 8.1.12

Şekil 8.1.13

Şekil 8.1.14

Şekil 8.1.15

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

8.1.2 denklemi millerin akma kontrolünü Tresca kriterine göre yaparken pratiklik sağlar.

Eğilme + Burulmaya maruz millerde bir kesitteki maksimum kayma gerilmesi

(8.1.2)

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Burulma momenti (T) sebebiyle oluşan kayma gerilmesi:

Bileşke Eğilme momenti(M) sebebiyle oluşan normal gerilme:

Kesit dairesel olduğundan tüm eksenlere göre simetriktir ve atalet momentleri eşittir:

(6.1.11 denkleminden) en büyük kayma gerilmesini hesaplayalım:

a kritik noktasında oluşan gerilmeleri hesaplayalım:

Şekil 8.1.17

Şekil 8.1.18

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

Von-Mises kriterine göre benzer şekilde kritik noktadaki eşdeğer gerilmenin hesabını basitleştirebiliriz. Şöyle ki:

Eğilme + Burulmaya maruz millerde bir kesitte en kritik noktadaki eşdeğer gerilme:

8.1.3 denklemi millerin akma kontrolünü Von-Mises kriterine göre yaparken pratiklik sağlar.

Püf noktaları

• Güç ileten millerde akma kriterlerini uygulamadan önce M ve T nin şiddetçe maksimum olduğu en kritik kesit belirlenmelidir.
• Daha sonra en kritik kesit için 8.1.2 ile τ_max veya 8.1.3 ile σ_eş-max hesaplanıp emniyet gerilmesi ile karşılaştırılmalıdır.
• 8.1.2 ve 8.1.3 denklemleri kullanıldığında en kritik noktanın yerini tespit etmeye gerek yoktur.
• 8.1.2 ve 8.1.3 denklemlerinin uygulanabilmesi için kesitte çeki veya bası kuvveti olmamalıdır.
• Kritik noktaya etkisi olmadığı için kesitte kesme kuvvetinin olması önemli değildir.

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

(8.1.3)

Şekil 8.1.19

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

Örnek 8.1.4 ⁽ⁿ⁾ : 44cm yarıçapındaki içi dolu alüminyum AB miline rijit DC anahtarı takılmıştır. DC elemanına C ucundan +y ekseni yönünde P = 3kN, -z yönünde F= 4kN luk kuvvetler uygulanmıştır. Borunun emniyet kontrolünü Tresca ve Von-Mises kriterlerine göre yapınız. τ_em= 80MPa, σ_em=160MPa

M_z=-P.100=-3.100=-300kNmm

M_y=-F.100=-4.100=-400kNmm

T=P.1=3.1=3kNm=300kNmm

En kritik kesit B ankastre kesitidir. Bunu moment diyagramlarını çizerek görebiliriz. P ve F yüklerini önce D kesitine taşıyoruz..>>

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Çözüm:

Burulma Momenti:

Eğilme Momenti

Bileşenleri:

Bileşke Eğilme Momenti

sonra B kesitine

taşıyoruz

Şekil 8.1.20.a

Şekil 8.1.20.b

Şekil 8.1.20.c

Şekil 8.1.20.d

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

emniyetli.

Tresca kriterine göre:

Von-Mises kriterine göre:

emniyetli.

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

τ_em= 80MPa, σ_em=160MPa

Şekil 8.1.21

Şekil 8.1.22

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

8.1.5 Güç ileten Millerin Hesapları

• Dairesel Kesitlerde Eğilme + Burulma yüklemesinin çok önemli bir uygulaması güç ileten millerin hesaplamalarıdır.
• Endüstriyel birçok makinada güç ileten dişliler, kayış-kasnak gibi mekanizmalar kullanılır.
• Bu mekanizmalardaki güç iletim elemanları (dişliler, kasnaklar vb.) dairesel kesitli çubuklara yani millere bağlıdır.

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

• Bu mekanizmaların ve millerin üretilmeden önce hesaplarının yapılması ve optimum boyutlarının elde edilmesi son derece önemlidir.
• Aksi taktirde üretim sırasında kırılma, kalıcı deformasyon gibi istenmeyen problemlerle karşılaşılması veya çok büyük boyutlar seçilerek emniyetli yapıldığında ekonomik olmaması söz konusu olacaktır.
• Bu mekanizmalar hareketli sistemlerdir. Ancak sabit hızla merkezi etrafında dönen veya sabit hızla doğrusal ötelenen parçalara da statik denge denklemleri uygulanabilir ve dolayısıyla mukavemet hesapları aynı şekilde yapılabilir (Bknz konu 4.1.7). Nitekim güç iletim mekanizmalarında parçaların bir çoğu bu şekilde hareket etmektedir.
• Bu miller genellikle sünek metalik malzemelerden imal edildiği için hesaplamalar akma kriterlerine göre yapılır.

Şekil 8.1.23

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

Örnek 8.1.5 ⁽ⁿ⁾: Motordan tahrik alan ABC miline bağlı C dişlisi ile üstündeki D dişlisinin temas noktalarından birbirlerine P= 7.96kN luk kuvvet uyguladıkları tespit edilmiştir. Bu durumda dişlilerin bağlı olduğu ve aynı malzemeden imal edilmiş millerin emniyetli çap değerlerini tresca kriterine göre hesaplayınız. τ_em= 50MPa

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

M_y(kNmm)

x

T(kNmm)

x

Bu tip sistemlerde Motor kısmı ankastre olarak düşünülebilir.

M=M_y

M_z=0 dır.

Bileşke Eğilme momenti:

En kritik kesit B’dir. Bu kesitte en kritik noktadaki max. kayma gerilmesi 8.1.2 denkleminden :

1194

B

(Tresca kriterine göre emniyetli çap değeridir.)

Çözüm

F

Şekil 8.1.24.a

Şekil 8.1.24.b

Şekil 8.1.24.c

Şekil 8.1.24.d

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

20

23.08.2024

DEF mili

M_y-max= P.100=7.96x100=796kNmm

M_z=0

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Emniyetli çap için yine P_em=P= 7.96kN alırız. Bu durumda:

• E yatağı y ekseninde dönmeye izin vermediğinden bir My tepki momenti ortaya çıkar.

796

En kritik kesit, momentlerin en büyük olduğu E kesitidir. Bu kesitteki en kritik noktadaki maximum kayma gerilmesini emniyet gerilmesine eşitlersek, Tresca kriterine göre DEF milinin emniyetli çapı buluruz:

Kritik noktanın yerini bilmemize gerek olmasa da, konuları pekiştirmek için neresi olduğunu bulmaya çalışın.

• T_D torku, E noktasından sistemin soruda gözükmeyen diğer kısımlarına iletilmektedir. T_E bu sebeple vardır.

Şekil 8.1.25.a

Şekil 8.1.25.b

Şekil 8.1.25.c

Şekil 8.1.25.d

Şekil 8.1.25.e

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

21

23.08.2024

63 mm çapında, dairesel kesitli çelik bir çubuk L şeklinde bükülmüştür. Şekildeki gibi A ucundan bir duvara sabitlenen çubuğun C ucuna düşey yönde P = 4kN luk kuvvet uygulanacaktır. (Çelik sünek bir malzeme olup akma gerilmesi: σ_akma = 400MPa )

Buna göre çubuğun emniyet kontrolünü,

a-) en kritik noktayı dikkate alarak, b-) pratik çözümü kullanarak elde ediniz.

Örnek 8.1.6 ^{(Video 8.a, örn. 8.2a ve örn.8.2b)}

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Cevap: Tresca’ya göre 103MPa>100MPa (emniyetsiz), Von-Mises’e göre(203.5MPa> 200MPa (emniyetsiz)

Konuyla İlgili Cevaplı Sorular

Şekil 8.1.26

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

22

23.08.2024

Soru 8.1.7* Şekil 8.1.27 deki eğik alüminyum çubuğa uygulanabilecek emniyetli P yükünü hesaplayınız. Akma mukavemeti 140MPa, çubuk kesiti dikdörtgen (24mmx30mm), emniyet katsayısı n=2’dir. Cevap: P=5448N

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Şekil 8.1.27

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

23

23.08.2024

Soru 8.1.8* (2017-Final) d çapında, içi dolu, düşey AB mili A ucundan 1m yarıçaplı bir diske sıkı geçirilmiş, B ucundan ise zemine sabitlenmiştir. Diskin C noktasından – y eksenine paralel F = 10kN luk bir kuvvet uygulanacaktır. AB milinin bu kuvveti emniyet sınırları içinde taşıması isteniyor. Buna göre AB milinin emniyet sınırları içerisindeki minimum çap değerini iki farklı kritere göre belirleyiniz. (Sıkı geçme sebebiyle mil, diskteki delik içinde serbestçe dönemez. Emniyet katsayısı n=2, mil malzemesinin Çeki ve Basıdaki akma mukavemeti 300MPa, Kesme mukavemeti 150MPa) Cevap: 129mm, 128.47mm

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Şekil 8.1.28

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

24

23.08.2024

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Soru 8.1.9 (2017 Yaz Okulu –Final Sorusu)

Şekil 8.1.29

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

25

23.08.2024

Örnek (Soru) 8.1.10* Şekildeki kayış kasnak mekanizmasında kasnakların bağlı olduğu ABCDE milinin emniyetli çap değerini Tresca kriterine göre hesaplayınız. τ_em= 80MPa , l =180mm

(A ve E yatakları x ekseninde hem dönmeye hem ötelenmeye izin vermektedir ve bu yataklardaki z, y eksenlerindeki moment tepkileri ihmal edilebilir. Önce statik dengeden P kuvvetini hesaplamanız gerekir.) Cevap: 34.2mm

8.1 Bileşik Yükleme Durumları

Şekil 8.1.30