Tema 4�POLINOMIOS

Estándares

Contenido

1. Monomios
1. Operaciones con monomios
2. Suma y resta de monomios
3. Multiplicación y división de monomios
2. Polinomios
• Valor numérico de un polinomio
• Raíces de un polinomio
3. Operaciones con polinomios
• Suma y resta de polinomios
• Multiplicación y división de polinomios
4. Regla de Ruffini
5. Factor común
6. Igualdades notables
• Cuadrado de una suma
• Cuadrado de una diferencia
• Suma por diferencia
7. Factorización de un polinomio

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1. Monomios

Monomio: producto de un número llamado coeficiente y, una o varias letras elevadas a un número natural, que forman la parte literal.

Parte literal

Coeficiente

• Las letras de la parte literal se llaman variables.

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• El grado del monomio es la suma de los exponentes de las partes literales.

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• Los monomios con la misma parte literal son monomios semejantes.

Deben ser monomios semejantes. MISMA PARTE LITERAL.

El resultado es la suma o resta de coeficientes y la misma parte literal.

1.1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

Ejemplos:

Actividad Clase 1

Resuelve las siguientes operaciones:

1.2. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS

Producto: el coeficiente será la multiplicación de los coeficientes y la parte literal, la multiplicación de las partes literales.

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Ejemplo:

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Cociente: el coeficiente será la división de los coeficientes y la parte literal, la división de las partes literales.

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Ejemplos:

Actividad Clase 2

Resuelve las siguientes operaciones con monomios:

2. Polinomios

Son expresiones algebraicas formadas por la suma o resta de dos o más monomios no semejantes.

• El grado de un polinomio es el grado del mayor de sus monomios.

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• Cada monomio del polinomio se denomina término, y al que no tiene parte literal término independiente.

Términos

Término independiente

Grado 3

2.1. Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y operar.

Ejemplos.

Determina el valor de estos polinomios para x=2; y=-1

2.2. Raíces de un polinomio

Un número es raíz de un polinomio, cuando el valor numérico del polinomio para ese número es 0.

Ejemplos.

Determina si x=2 y x=-2 son raíces del polinomio:

Para x=2

Para x=-2

Sí es raíz

No es raíz

3. Operaciones con Polinomios

3.1. Suma y Resta de Polinomios

Sean dos polinomios P(x) y Q(x), para realizar su suma o resta, agruparemos sus términos semejantes y simplificaremos en la medida de lo posible.

Suma

Resta

VÍDEO TUTORIAL

3.2. Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios P(x) y Q(x), se multiplica cada monomio de P(x) por todos los monomios de Q(x) y después se simplifican los resultados obtenidos.

VÍDEO TUTORIAL

3.3. División de polinomios

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), al dividirlos obtenemos otros dos polinomios, C(x) y R(x), que cumplen:

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Esto no es otra cosa que la prueba de la división aplicada a polinomios, siendo C(x) el conciente y R(x) el resto.

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VÍDEO TUTORIAL

Ejemplo

Realiza la siguiente división entre polinomios:

Resto

Cociente

Regla de Ruffini. División de un polinomio entre (x-a)

1. Escribimos los coeficientes de todos los términos del dividendo, en orden de mayor a menor grado y poniendo un 0 en caso de que no haya término del grado correspondiente.

2. A la izquierda colocamos el término independiente, cambiado de signo y bajamos el primer coeficiente.

Término independiente

cambiado de signo

3. Multiplicamos el primer coeficiente por el término independiente del divisor cambiado de signo y sumamos al siguiente coeficiente.

4. Repetimos el proceso hasta llegar al último coeficiente.

5. Los primeros números que aparecen en la última fila corresponden con los coeficientes del polinomio cociente (que será un grado menor que el dividendo) y el último número es el resto.

Actividad Clase 3 (64 a,b)

Utiliza la Regla de Ruffini para realizar estas divisiones:

Actividad Clase 4 (65 a,b)

Halla el valor de m para que la división de P(x):A(x) sea exacta.

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4. Factor Común

Sacar factor común consiste en transformar una expresión de suma o resta en producto.

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1. Para extraer factor común debemos observar el M.C.D. de los distintos monomios que componen la expresión (números y letras de menor exponente) , y aplicar la propiedad distributiva para extraerlos fuera de un paréntesis.

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• Una vez extraído el factor común; dentro del paréntesis queda el cociente del monomio original entre el factor común extraído.

Ejemplo:

Extrae factor común de la siguiente expresión:

1. Tienen en común x e y. Extraeremos los comunes de menor exponente

2. Dentro del paréntesis queda el cociente del monomio original y el MCD

VÍDEO TUTORIAL

Actividad Clase 5

Extrae factor común de las siguientes expresiones:

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5. Igualdades Notables

5.1. Cuadrado de una suma

Cuadrado del primero + doble del primero por el segundo + cuadrado del segundo

5.2. Cuadrado de una diferencia

Cuadrado del primero - doble del primero por el segundo + cuadrado del segundo

VÍDEO TUTORIAL

5.3. Suma por diferencia

Cuadrado del primero – Cuadrado del segundo

Actividad Clase 6

Desarrolla las siguientes igualdades notables:

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6. Factorización de Polinomios

Un polinomio Q(x), es divisor de otro polinomio P(x) cuando la disvisión P(x):Q(x) tiene como resto 0.

Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de sus polinomios divisores de menor grado.

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El orden de técnicas a aplicar a la hora de factorizar un polinomio es:

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• Sacar factor común (si puede).

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• Comprobar si el polinomio se corresponde con una igualdad notable.

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• Regla de Ruffini.

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• Si el polinomio es de grado dos, podemos resolver la ecuación de segundo grado que forma para obtener sus dos raíces, en lugar de hacer la regla de Ruffini.

VÍDEO TUTORIAL

Actividad Clase 7

Factoriza estos polinomios

7.Aplicación de expresiones algebraicas a la vida cotidiana

Encuentra una expresión algebraica que se corresponda con los siguientes enunciados:

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• El cuadrado de un número más su mitad.

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• La mitad de un número más el doble de otro.

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• La suma de tres números consecutivos.

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• La diferencia del cuadrado de dos números.

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• La suma de cuadrados de dos números consecutivos.

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• El precio de x kilogramos de patatas a 1,3 €/kg

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• La masa de n insectos si cada uno pesa 0,0012kg

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• El precio de x menús de dos hamburguesas y dos bebidas si la hamburguesa vale 4 € y la bebida 1,5 €

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• La expresión del área y el perímetro de un tríangulo equilatera cuya altura es 2/3 de la base. (llama a la base x)

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• La expresión del valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que un cateto es el doble que el otro.

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• Las expresiones que representen el área y perímetro de una finca cuadrada.

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RETO

Ejercicio 84 de la página 110

BIEN RESUELTO Y EXPLICADO