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Une histoire galactique à l’issue incertaine pour soutenir le développement �de la pensée probabiliste

Mathieu Thibault, Marianne Homier et Vincent Martin

Pour accéder au diaporama : monurl.ca/aqep2022prob

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Qui sommes-nous?
Mise en contexte
Progression développementale en probabilités
Histoire probabiliste en 4 péripéties
Pistes de réflexion didactique
Conclusion

Plan de l’atelier

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Qui sommes-nous?

Pour en savoir plus sur les trois approches probabilistes : Article dans VLP (2021)

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Mise en contexte

Programme de recherche qui se construit depuis 2015;
Recours (critique) au conte probabiliste de Poirier et Carbonneau (2002) en formation;
Invitation à rédiger un chapitre sur le développement de la pensée probabiliste dans un collectif sur l’éveil aux mathématiques des enfants �de 4 à 8 ans;
Prise de distance vis-à-vis certains travaux de recherche qui ont situé une progression développementale en probabilités en s’appuyant surtout sur l’âge des enfants;
Proposition d’une progression développementale en probabilités qui va au-delà de l’âge (Thibault et al., sous presse).

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Progression développementale en probabilités

Progression graduelle qui ne s’observe pas nécessairement de façon tranchée;
Les élèves du 1^er (ou 2^e) cycle se situeront probablement dans les deux premiers stades;
Des élèves pourraient ne pas encore être au stade 1 ou se situer entre deux stades.

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Progression développementale en probabilités

Prend appui sur ses expériences vécues antérieurement (parfois considérées de manière erronées) dans un contexte similaire ou sur un raisonnement expérimental simple et une analyse théorique qualitative de la situation;
Commence à juxtaposer les raisonnements issus des approches probabilistes.

Prend appui sur son expérience informelle (souvent considérée de manière erronée) ou sur un raisonnement expérimental ou théorique très simple;
Reconnait le rôle du hasard.

L’élève…

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Histoire probabiliste �en 4 péripéties

monurl.ca/histoirerobot

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Cahier de l’élève (monurl.ca/cahierrobot)

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1^re planète : Jambette

Sur la planète Jambette, des jambes de robot sont fabriquées. Ici, pour obtenir une paire de jambes, il faut jouer à pile ou face!

Si vous obtenez face, vous recevrez une paire de jambes ordinaires, alors que si vous obtenez pile, ce sera une paire de jambes super rapides qui vous sera offerte.

Jambes ordinaires

Jambes super rapides

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Et maintenant, à vous de jouer!

C’est le moment de lancer la pièce de monnaie pour obtenir une paire de jambes pour notre robot!

Est-ce qu’une position est plus probable que l’autre?

Essayons de lancer une pièce de monnaie plusieurs fois, pour voir ce qui se passe!

Et maintenant, est-ce qu’une position nous semble plus probable que l’autre?

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2^e planète : Thorax

Sur la planète Thorax, des torses de robot sont fabriqués et trois modèles différents sont disponibles.

C’est en lançant un dé à six faces �que vous pourrez en obtenir un!

Si vous obtenez , vous recevrez un torse ultra solide avec une fonction d’invisibilité

Si vous obtenez ou , vous recevrez un torse ultra solide

Si vous obtenez ou ou , vous recevrez un torse ordinaire

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3^e planète : Bras-de-fer

Sur la planète Bras-de-fer, vous pourrez obtenir une paire de bras de robots. Pour la recevoir, vous devez piger un jeton dans un sac qui contient des jetons bleus et jaunes.

Mais sur la planète Bras-de-fer, les règles sont un peu différentes!

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Cependant, avant de piger, vous avez une importante décision à prendre!

D’abord c’est simple : si le jeton pigé est jaune, vous recevrez une paire de bras ordinaires, alors que si le jeton est bleu, vous obtiendrez une paire de bras qui peuvent s’allonger.

Bras�ordinaires

Bras qui s’allongent

Il y a deux choix de sacs dans lesquels vous pouvez piger. �Le premier sac contient deux jetons jaunes et quatre jetons bleus; �et le deuxième sac contient cinq jetons jaunes et cinq jetons bleus.

Avant de commencer à piger, �vous devez donc choisir votre sac!

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4^e planète : Tête-à-tête

Sur la planète Tête-à-tête, vous pourrez recevoir un dernier morceau pour votre tout nouveau robot : une tête. C’est drôle ici, on vous demande de lancer… un bloc Lego! Vous obtiendrez une tête ordinaire si le bloc tombe sur le côté, une tête avec des yeux rayons X (qui peuvent voir à travers les choses!) si le bloc tombe à l’endroit ou une tête avec des yeux rayons X ET des oreilles bioniques (qui entendent vraiment très bien!), si le bloc tombe à l’envers.

Tête avec des yeux rayons X et des oreilles bioniques

Tête avec des �yeux rayons X

Tête ordinaire

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Après un voyage plein de rebondissements, vous retournez sur la Terre, enchantés par toutes les pièces que vous avez reçues pour construire votre nouveau robot.

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Grâce à vous, Max et Charlie auront enfin un tout nouveau robot pour les aider à réaliser plein de tâches difficiles et, surtout, pour les accompagner dans leurs aventures spatiales.

Qui sait… peut-être serez-vous encore de la partie lors de leur prochaine quête galactique?

En attendant, vous pouvez conserver un souvenir de ce robot aux capacités étonnantes!

Imprimez-le, coloriez-le et n’oubliez �pas de lui trouver un nom!

Torse �ultra solide

Jambes ordinaires

Bras qui s’allongent

Tête avec des yeux rayons X

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Pistes de réflexion didactique

Qu’en pensez-vous?

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Liens avec la PDA

Les quatre péripéties nous offrent des occasions…

d’expérimenter des situations liées au hasard;
de réfléchir à l’équiprobabilité (ou à la non équiprobabilité);
de réfléchir à la variabilité des résultats obtenus entre les équipes;
d’attirer l’attention des élèves sur l’indépendance entre les essais;

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Liens avec la PDA

Les quatre péripéties nous offrent des occasions…

de mobiliser le vocabulaire probabiliste (possible, impossible, certain);
d’utiliser une droite des probabilités (qualitative);
d’articuler les approches subjective et fréquentielle;
de colliger les résultats de l’expérimentation dans un tableau.

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La planète Jambette

Comparaison de deux évènements équiprobables (avec un objet symétrique)

Une occasion…

de reconnaitre le rôle du hasard (variabilité);
de distinguer le résultat souhaité (probablement la paire de jambes super rapides) et les probabilités associées aux deux côtés de la pièce de monnaie;

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2. La planète Thorax

Comparaison de trois évènements non équiprobables (avec un objet symétrique)

Une occasion…

de distinguer l’équiprobabilité des six faces d’un dé (équilibré) et les évènements de la situation qui ne sont pas équiprobables;
de réfléchir aux « règles » du jeu.

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3. La planète Bras-de-fer

Comparaison de deux évènements dans deux situations différentes

Une occasion…

de comparer la probabilité de piger un jeton bleu dans deux sacs différents;
de prendre une décision en contexte d’incertitude (comme on doit souvent le faire au quotidien);
de soutenir le développement d’un raisonnement proportionnel.

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4. La planète Tête-à-tête

Comparaison de trois évènements non équiprobables (avec un objet asymétrique)

Une occasion…

d’aborder différemment le hasard, par du matériel atypique;
de réfléchir à l’asymétrie de l’objet (donc à la non équiprobabilité des cas possibles - comme c’est souvent le cas dans les situations incertaines rencontrées au quotidien);
de réfléchir à la nécessité de réaliser des essais �pour baser l’estimation probabiliste �(et inférer une probabilité).

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Liens avec les deux premiers stades �de la pensée probabiliste

Au cours de ces quatre situations, plusieurs manifestations d’élèves peuvent s’observer lors des prédictions, lors des échanges ou lors de la prise de décision.

Notamment, ces manifestations peuvent porter sur :

l’indépendance des résultats;
le contrôle du hasard;
l’équiprobabilité;
les conceptions du hasard;
la relation additive ou multiplicative;
l'articulation entre les approches probabilistes;
le nombre d'essais nécessaires.

Mathieu

En ce qui concerne la dépendance ou l’indépendance des essais d’une expérimentation, un élève qui se situe au stade 1 pourrait avoir tendance à croire qu’un résultat est dépendant des résultats précédents, alors que ce n’est pas le cas dans une expérience aléatoire avec remise. Pour la première planète, un élève pourrait s’appuyer sur son expérience informelle pour dire qu’une pièce de monnaie est due pour tomber sur « face » après avoir obtenu trois « pile » consécutifs, pour ramener vers un équilibre. Au stade 2, un élève pourrait reconnaitre que ses expériences antérieures dans un contexte similaire lui ont permis de reconnaitre que de telles séquences ne sont que le fruit du hasard et ne désignent pas pour autant une dépendance entre les résultats. Pour la deuxième planète, un élève pourrait ainsi considérer que les résultats passés n’influencent pas ceux à venir et donc que quelques résultats consécutifs des faces 2 ou 3 du dé ne signifient pas que, en raison de cette séquence, cet évènement soit plus ou moins probable pour les prochains essais. Un élève pourrait alors invoquer que le dé n’a pas changé ou qu’il y a une « remise à zéro » à chaque lancer.

Pour l’idée du contrôle du hasard, on peut l’observer chez un élève de stade 1 lorsqu’il pose un geste dans l’espoir d’influencer les résultats d’une expérience aléatoire. Pour la quatrième planète, un élève pourrait souffler sur son bloc Lego avant de le lancer, en espérant que ça l’aidera à obtenir le résultat souhaité. Lors des estimations probabilistes, un élève pourrait ainsi surestimer la probabilité d’obtenir un évènement souhaité, en accordant une importance au fait d’y penser très fort, d’avoir un porte-bonheur ou de poser un geste « chanceux ». Au stade 2, un élève pourrait plutôt s’appuyer sur des aspects qu’il peut contrôler, c’est-à-dire en prenant en compte les résultats obtenus lors d’un nombre raisonnable de lancers de Lego pour prédire que la position la plus probable est celle qui a été obtenue la plus fréquemment, ce qui indique un début de juxtaposition des raisonnements issus des approches fréquentielle et subjective.

Concernant l’équiprobabilité, un élève qui se situe au stade 1 pourrait considérer que des évènements aléatoires sont toujours équiprobables alors que ce ne n’est pas le cas. Dans la deuxième planète (ou encore la quatrième planète), un élève pourrait penser que les trois cas possibles du dé (ou du Lego) sont équiprobables, en allant même à l’encontre des résultats qui sont obtenus et qui indiquent des fréquences assez distinctes. Au stade 2, un élève pourrait affirmer que « ce n’est pas juste », en remarquant qu’il n’y a pas autant de cas possibles du dé pour chaque torse (ou que l’asymétrie d’un bloc Lego rend les positions non équiprobables). On pourrait aussi observer un début de juxtaposition des raisonnements issus des approches fréquentielle et subjective si un élève s’appuie sur des informations pertinentes comme les résultats des essais réalisés pour faire son estimation probabiliste. Pour la première planète, un élève de stade 2 pourrait aussi s’appuyer sur un raisonnement expérimental simple qui l’amènerait à reconnaitre qu’environ la moitié des équipes de la classe ont obtenu davantage de « face » et que l’autre moitié ont obtenu davantage de « pile », pour en conclure que les deux cas sont à peu près aussi probable.

Les conceptions du hasard peuvent aussi fournir des indications sur le développement de la pensée probabiliste d’un élève. Les conceptions du hasard sont liées aux idées que se font les personnes à propos du hasard. Pour en savoir davantage sur la conception du hasard d’un élève, on peut observer ses réponses ou comportements lorsqu’il est confronté à des situations aléatoires ou simplement lui poser la question suivante : Qu’est-ce que le hasard et dans quelle situation peut-on parler de « hasard » ? Pour certains élèves au stade 1, on ne peut pas du tout prédire ce qui peut se passer dans un phénomène aléatoire puisque le résultat dépend uniquement du hasard. Pour d’autres élèves du même stade, le hasard est partout ou, à l’opposé, il n’existe pas. Pour la deuxième planète, un élève pourrait reconnaitre le rôle du hasard, mais en attribuant une importance démesurée à la manière de lancer un dé. Dans ce cas, des lancers pourraient souvent être jugés non conformes sous prétexte que le dé a atterri un peu croche, qu’il a été lancé un peu trop haut ou trop fort, qu’il est tombé sur le sol, etc. Pour la quatrième planète, un élève de stade 1 pourrait penser que la tête avec des yeux rayons X et des oreilles bioniques (bloc Lego à l’envers) est la moins probable, en pensant que cette supertête est plus difficile à obtenir, alors que c’était la position la plus fréquente lors des 1000 essais que nous avons réalisés. Un élève au stade 2 pourrait plutôt considérer des informations comme la forme du bloc, la répartition de la masse ou le nombre de faces pour chaque position, même si celles-ci ne permettent pas nécessairement de prendre une décision éclairée. Par exemple, un élève pourrait croire qu’il est plus probable que le bloc Lego tombe sur le côté, car cette position est rendue possible à l’aide des quatre faces droites latérales, alors que c’est la position qui semble la moins probable selon nos essais.

Une autre indication du développement de la pensée probabiliste d’un élève peut être liée au recours à la relation additive ou multiplicative lorsqu’il est question d’un rapport entre deux types d’évènements dans une expérience aléatoire. Pour la troisième planète, un élève qui se situe au stade 1 pourrait choisir le second sac (5b-5j), en expliquant qu’il y a plus de jetons bleus que dans l’autre sac (4b-2j), exprimant ainsi un raisonnement de nature additive plutôt que multiplicative ou proportionnelle. Un élève qui se situe au stade 2, pourrait plutôt tenir compte du rapport 4 pour 2 qui est plus avantageux que 5 pour 5. Un tel raisonnement visé pourrait toutefois s’accompagner d’un glissement comme celui de l’approche du résultat, où l’élève envisage que c’est certainement un jeton bleu qui va survenir. Le problème est alors qu’il se commet de manière absolue au lieu de considérer les probabilités qu’un jeton bleu soit pigé, ce qui l’amène donc à conclure que l’évènement est certain, alors qu’il est (seulement) le plus probable.

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Un regard tourné vers l’avenir…

Que nous réserve le futur? Dur à prédire, n’est-ce pas…

Toutefois, si vous souhaitez offrir un conseil ou partager une idée ou une réflexion découlant de votre participation à notre atelier à votre «futur vous», nous vous invitons �à prendre 2 minutes pour aller remplir ce questionnaire Google : monurl.ca/aqep2022futur

Ainsi, d’ici quelques semaines, nous pourrons vous acheminer un courriel pour vous transmettre ce petit message directement venu du passé… pour vous alimenter dans la gestion du présent!

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Conclusion

Des situations simples de jeu peuvent offrir beaucoup de potentiel pour soutenir le développement de la pensée probabiliste des élèves;
Pistes d’adaptations de cette histoire (piloter davantage en groupe-classe, discussions en questionnant les élèves);
Importance de recourir à un vocabulaire probabiliste rigoureux (chance);
Pousser plus loin le lien avec la littérature jeunesse… en faire un livre du style �« histoire dont vous êtes le héros »?
Prochaines étapes du projet de recherche en cours :

Développement de deux autres histoires probabilistes pour les 2^e et 3^e cycles du primaire (fractions, diagramme en arbre, etc.);
Recrutement pour expérimenter ces histoires à tous les niveaux scolaires;
On souhaite revenir à l'AQEP pour partager les résultats!

L’invitation est lancée!

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Merci!

Commentaires ou questions?

Mathieu.Thibault@uqo.ca

Marianne.Homier@USherbrooke.ca

Vincent.Martin@USherbrooke.ca

Pour accéder au diaporama : monurl.ca/aqep2022prob

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Une histoire galactique à l’issue incertaine pour soutenir le développement de la pensée probabiliste

Il nous apparait important d’accompagner les élèves dans le développement de leur pensée probabiliste, pour les préparer à prendre des décisions éclairées dans diverses situations incertaines du quotidien. En nous inspirant d'oeuvres de littérature jeunesse, nous avons créé une histoire qui vise à engager les élèves des 1er et 2e cycles pour alimenter leur progression développementale en probabilités. À la manière d’une histoire dont vous êtes le héros, deux personnes aventurières de l’espace vont visiter quatre planètes pour assembler un nouveau robot qui les assistera dans leurs aventures rocambolesques. Ces visites planétaires les amèneront à rencontrer le hasard et à ramasser à chaque fois une pièce de robot, en vivant une expérience aléatoire simple. Nous vous présenterons cette histoire qui vous permettra d’amener vos élèves à faire des prédictions, à réaliser des essais et à prendre des décisions. Qui veut partir à l’aventure avec nous pour recevoir des morceaux de robots?