Вписані �кути.

Геометрія

8 клас

Вписаним кутом називається кут (менший за 180º), вершина якого належить колу, а його сторони перетинають це коло.

Теорема 1. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається.

Цю теорему треба розуміти так: градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри центрального кута, який спирається на ту саму дугу цього кола.

Доведення:

Розглянемо три випадки розміщення центра кола:

1)Центр кола О лежить на стороні вписаного кута АВС.

Провівши радіус ОА, отримаємо рівнобедрений трикутник АОВ (ОА і ОВ – радіуси), в якого ∠А=∠В. Для цього трикутника кут АОС є зовнішній; тому він дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, несуміжних з ним, тобто ∠АОС=2∠А. Тоді

∠А=0,5∠ АОС, і твердження теореми виконується.

2) Центр кола О лежить усередині вписаного кута АВС.

Провівши діаметр ВК, ми поділили заданий вписаний кут на два кути, кожен з яких вимірюється половиною відповідного йому центрального кута:

∠АВС=∠1-∠2=0,5∠3 – 0,5∠4=0,5(∠3-∠4)=0,5∠АОС, і твердження теореми виконується.

3) Центр кола О лежіть поза вписаним кутом АВС.

Провівши діаметр ВК, отримаємо два вписані кути 1 і 2, кожен з яких вимірюється половиною відповідного йому центрального кута:

∠АВС=∠1-∠2=

0,5∠3 – 0,5∠4

=0,5(∠3-∠4)=0,5∠АОС, і твердження теореми виконується.

Теорему доведено.

Наслідок 1. Вписані кути, що спираються на одну й ту саму дугу, рівні.

Кожен з цих кутів вимірюється половиною однієї й тієї ж самої дуги.

Наслідок 2. Вписані кути, що спираються на рівні дуги, рівні між собою.

Кожен з цих кутів вимірюється половиною дуги, градусні міри яких однакові.

Наслідок 3. Будь-який вписаний кут, що спирається на діаметр – прямий.

Такий кут вимірюється половиною міри півкола і, отже, дорівнює

180º : 2 = 90º.

Наслідок 4. Будь-який прямий вписаний кут спирається на діаметр.

Градусна міра відповідного центрального кута АОВ дорівнює

90º · 2 = 180º, і точки А, О та В лежать на одній прямій, тобто АВ – діаметр.

Наслідок 5. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.

Гіпотенуза такого трикутника стягує дугу градусної міри 180º, тобто півколо.

Наслідок 6. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині цієї гіпотенузи.

Медіана гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює половині цієї гіпотенузи.