ΓΕΝΙΚΑ

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΟΥΣ ΤΟΜΕΙΣ

​

-ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

-ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

-ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΣΤΗΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

​

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΕΣ

​

Στατιστικολόγοι-Παλινδρόμηση, κινούμενους μέσος όρος

Μηχανικοί-φίλτρα

Οικονομολόγοι-οικονομετρικά πρότυπα, εκθετική εξομάλυνση

Επιχειρήσεις-εξειδικευμένες μέθοδοι

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΓΕΝΙΚΑ

ΑΝΑΓΚΗ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΣΤΗΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ

Ανάγκη γνώσης μελλοντικών τιμών μεγέθους: Εξαρτάται από πολλούς παραμέτρους όπως φύση του προβλήματος, η ύπαρξη στατιστικών στοιχείων, ο χρόνος που αφορούν τα στοιχεία, η απαιτούμενη ακρίβεια, το κόστος της πρόβλεψης

​

ΤΡΕΙΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ

1. Έλλειψη στοιχείων παρελθόντος
2. Ύπαρξη δεδομένων παρελθόντος-χρονοσειρά
3. Επίδραση από εξωτερικούς παράγοντες- οικονομετρικά υποδείγματα, επιστημονικά μοντέλα.

​

ΧΡΟΝΙΚΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΑΣ ΧΡΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ

Μέχρι δύο χρόνια- καλύτερα ένας χρόνος για ασφάλεια

ΌΧΙ μακροχρόνιες προβλέψεις για βραχυχρόνιες αποφάσεις και το αντίθετο.

Βραχυχρόνιες προβλέψεις (< 6 μήνες), Μεσοχρόνιες προβλέψεις (>6 μήνες, <2χρόνια), Μακροχρόνιες προβλέψεις.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ

ΓΕΝΙΚΑ

Σειρά αριθμών-Νόμος μεταβολής αριθμών

Μαθηματικό πρότυπο – Διαχωρισμός συνεχούς τάσης από ακανόνιστες διακυμάνσεις.

ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

z_t=a+e_t

​

z_t=η τιμή της μεταβλητής που παρατηρήθηκε στον χρόνο t

a=η άγνωστη σταθερή τιμή

e_t= οι τυχαίες αποκλίσεις από τη σταθερή τιμή

​

Όπου Ε(e_t)=0 και V(e_t)=σ_e²

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

​

z_t=a+βt+e_t

​

z_t=η τιμή της μεταβλητής που παρατηρήθηκε στον χρόνο t

a=η άγνωστη τιμή της μεταβλητής για χρόνο t=0

β=ο άγνωστος ρυθμός μεταβολής

t=ο χρόνος

e_t=οι τυχαίες αποκλίσεις

Όπου Ε(e_t)=0 και V(e_t)=σ_e²

​

ΠΡΩΤΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΡΟNOΣΕΙΡΑΣ

Έστω η χρονοσειρά z_i, i=1,2,3…..n

Πρώτες διαφορές: Δz_i=z_i+1-z_i

Σταθερό πρότυπο: Δz_i=0

Γραμμικό πρότυπο:Δz_i=β (σταθερά)

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ

ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

Για μεγέθη που μεταβάλλονται γεωμετρικά με τον χρόνο

z_t=aβ^t+e_t

​

z_t=η τιμή της μεταβλητής που παρατηρήθηκε στον χρόνο t

a=η άγνωστη τιμή της μεταβλητής για χρόνο t=0

β=ο άγνωστος γεωμετρικός ρυθμός μεταβολής

t=ο χρόνος

e_t=οι τυχαίες αποκλίσεις

Όπου Ε(e_t)=0 και V(e_t)=σ_e²

​

ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΤΥΠΟΥ

-ως γραμμικό πρότυπο

log(z_t)=log(a)+tlog(β)+e_tm

- Αντικαθιστώντας τις διαφορές z_i+1-z_i λόγους z_i+1/z_i

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΕΙΔΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

z_t=a+βt+γt²/2+e_t

​

ΔΕΥΤΕΡΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΧΡΟNOΣΕΙΡΑΣ

Έστω η χρονοσειρά z_i, i=1,2,3…..n

Δεύτερες διαφορές: Δ’z_i=Δz_i-Δz_i-1=zi+1-2zi+zi-1

Σταθερό πρότυπο: Δ’z_i=0

Γραμμικό πρότυπο:Δ’z_i=0

Πολυωνυμικό πρότυπο: Δ’z_i=γ(σταθερό)

​

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

log(z_t)=log(a)+tlog(β)+t²log(γ)+e_tm

​

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ:

​

ΕΠΟΧΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

z_t=(a+βt)γ_t+e_t γ_t: εποχικός συντελεστής τον χρόνο t

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

ΓΕΝΙΚΑ

Βασική ιδέα: Επιλογή του a το οποίο ελαχιστοποιεί την παρακάτω συνάρτηση:

​

​

​

Η ελαχιστοποίηση επιτυγχάνεται για

​

δηλαδή η πρόβλεψη αντιστοιχεί στην μέση τιμή των προηγούμενων όρων της χρονοσειράς.

ΑΠΛΟΣ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΣ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ

Το a υπολογίζεται από τις Ν τελευταίες τιμές της σειράς

Το a είναι η πρόβλεψη για για οποιοδήποτε i>t.

​

Γρήγορος τρόπος υπολογισμού του κινούμενου μέσου όρου:

k_t=k_t-1+(z_t-z_t-N)/N

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

-Μεθοδολογία επιλογής του Ν

​

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Η ζήτηση των τελευταίων ημερών για έναν ορισμένο τύπο ηλεκτροκινητήρα είναι 19, 24, 22, 19, 20, 16 κομμάτια. Ποια προβλέπεται να είναι η ζήτηση για την επόμενη ημέρα;

​

-Μειονεκτήματα απλού κινούμενου μέσου όρου: ι) ίση σημασία σε όλα τα δεδομένα ιι) Διατήρηση Ν δεδομένων.

​

ΑΠΛΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ (Εκθετική εξομάλυνση πρώτης τάξης)

Η έννοια του σταθμικού μέσου όρου. Αντικειμενική συνάρτηση (0<β<1):

​

​

​

Λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης:

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

Γρήγορος τρόπος υπολογισμού:

​

​

​

​

​

Απλοποίηση: Έστω c=1-β και t πολύ μεγάλο ώστε β^t να τείνει στο 0 τότε

​

E_t=cz_t+(1-c)E_t-1

​

Τι τιμές παίρνει το c;

​

E_t: παρούσα πρόβλεψη

E_t-1: προηγούμενη πρόβλεψη

z_t: παρούσα τιμή της χρονοσειράς

c: σταθερά εξομάλυνσης

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

Η εκθετική εξομάλυνση ως συνδυασμός πρόβλεψης και πραγματικής τιμής

​

E_t=E_t-1+c(z_t-E_t-1)

​

Επιλογή παραμέτρων εκθετικής εξομάλυνσης

​

Μέση ηλικία χρησιμοποιούμενων δεδομένων:

Κινούμενος μέσος όρος: (N-1)/2

Εκθετική εξομάλυνση: (1-c)/c

Εξισώνοντας τα παραπάνω: c=2/(N+1)

​

Στην πράξη: 0.01<c<0.30

​

Πλεονεκτήματα μεθόδων εξομάλυνσης

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

​

Ένα εργοστάσιο που ειδικεύεται στην παραγωγή λεβήτων κεντρικής θέρμανσης θέλει να προβλέψει τον αριθμό λεβήτων που θα πουλήσει τον επόμενο μήνα. Οι πωλήσεις που έκανε του τελευταίους 10 μήνες είναι 54, 44, 42, 54, 53, 55, 41, 45, 41, 60 αντίστοιχα. Να βρείτε την πρόβλεψη για τον 11^ο μήνα με χρήση σταθερού προτύπου. Ποια η πρόβλεψη για τον 12^ο μήνα αν τον 11^ο η πώληση είναι 52 λέβητες;

​

Βήμα 1: Ελέγχουμε αν πράγματι το σταθερό πρότυπο είναι σωστή επιλογή βάζοντας τα δεδομένα σε διάγραμμα.

​

Βημα 2: Βρίσκουμε τον μέσο όρο των 10 μηνών. Η τιμή αυτή είναι η πρόβλεψη για τον 11^ο μήνα. Μετά βρίσκουμε τον μέσο όρο των 11 μηνών και η τιμή αυτή αποτελεί την πρόβλεψη για τον 12^ο μήνα. SOS! Έχοντας το μέσον όρο των 10 μηνών k₁₀ μπορούμε να βρούμε τον μέσο όρο των 11 μηνών k₁₁ με ελάχιστο κόπο ως k₁₁=k₁₀*10/11+z₁₁/11.

​

Υποσημείωση: Στον παραπάνω υπολογισμό ο αριθμός των δεδομένων Ν άλλαξε από 10 σε 11 όταν προστέθηκε ο 11^ος μήνας. Για κινούμενο μέσο όρο (π.χ. Ν=10) ο αριθμός Ν είναι σταθερός και ο καινούριος μέσος όρος βρίσκεται από την σχέση

k₁₁=k₁₀+(z₁₁-z₁)/10

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

Η ζήτηση πού έχει ένα ορισμένο ανταλλακτικό που χρησιμοποιείται για την συντήρηση των εγκαταστάσεων μιας βιομηχανίας τους τελευταίους 12 μήνες είναι 15, 10, 12, 17, 19, 18, 17, 12, 14, 13, 15, 17. Να επιλεγεί η σταθερά εξομάλυνσης που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τις προβλέψεις ζήτησης στο μέλλον με εκθετική εξομάλυνση.

​

Βήμα 1: Επιβεβαιώνουμε το ότι οι τιμές που μας δίνονται περιγράφονται από το σταθερό πρότυπο.

​

Βήμα 2: Εκτιμούμε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της σταθεράς εξομάλυνσης c. Χωρίζουμε το ενδιάμεσο διάστημα σε ίσα υποδιαστήματα και βρίσκουμε τις τιμές του c που θα εξεταστούν.

​

Βημα 3: Για την καθεμία από αυτές τις τιμές του c:

Α)Υπολογίζουμε τα Ε_i για i=2,3,….12 από τον τύπο Ε_i=E_i-1+c(z_i-E_i-1). Επειδή δεν έχουμε εναλλακτική για να ξεκινήσουμε την διαδικασία θεωρούμε Ε₁=z₁.

Β)Βρίσκουμε τις διαφορές μεταξύ πρόβλεψης και πραγματικής τιμής του z_i παίρνουμε τα τετράγωνα τους (δηλαδή υπολογίζουμε τα (z_i-E_i-1)² για i=2,3,..12). Υπολογίζουμε το άθροισμα των παραπάνω τετραγώνων για κάθε τιμή του c.

Πρότυπο: z_t=a+βt+e_t

Ποια είναι η καλύτερη τιμή για τα a και β?

​

MΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

​

Ελαχιστοποίηση της συνάρτησης

​

​

Αποτέλεσμα ελαχιστοποίησης

​

​

Πρόβλεψη z_t=a_t+β_t(t+τ)

​

​

Συντελεστής συσχέτισης

​

​

Μεταβλητότητα αποκλίσεων

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΔΙΠΛΟΣ ΚΙΝΟΥΜΕΝΟΣ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ (₂k_t)

​

​

Αντικειμενική συνάρτηση

​

​

Μετά από πολλές πράξεις

​

​

​

​

a_t=2k_t-₂k_t, β_t=2(k_t-₂k_t)/(N-1)

Πρόβλεψη: z_t+τ=a_t+β_tτ

​

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Η ζήτηση ενός υλικού που παρατηρήθηκε τους τελευταίους 15 μήνες είναι 15, 10, 12, 17, 19, 18, 24, 22, 24, 29, 35, 33, 34, 38, 44. Να εκτιμηθεί η ζήτηση που αναμένεται τον επόμενο μήνα (να χρησιμοποιηθεί Ν=8).

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΔΙΠΛΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ

​

z_t+τ=2E_t-₂E_t+cτ(Ε_t-₂Ε_t)/(1-c)

​

₂E_t=cE_t-1+(1-c)₂E_t-1

​

c=σταθερά εξομάλυνσης

Ε_t=παρούσα πρόβλεψη με απλή εκθετική εξομάλυνση

₂Ε_t=διόρθωση παρούσας πρόβλεψης με διπλή εκθετική εξομάλυνση

​

β_t=c(Ε_t-₂Ε_t)/(1-c)

a_t=2E_t-₂E_t-ct(Ε_t-₂Ε_t)/(1-c)

​

Εκτίμηση Ε_ο, ₂Ε_ο

Ε_ο=a_ο-(1-c)β_ο/c ₂E_o=a_o-2(1-c)β_o/c

​

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να θεωρηθούν τα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος και να γίνει πρόβλεψη για τον 16^ο μήνα χρησιμοποιώντας εκθετική εξομάλυνση. Να θεωρηθεί c=0.1.

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ

z_t=a+βt+γt²/2+e_t

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ

z_t+τ=a_t+β_tτ+γ_tτ²/2

​

ΕKΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ ΤΡΙΤΗΣ ΤΑΞΗΣ (τριπλή εκθετική εξομάλυνση)

₃E_t=₃E_t-1+c(₂E_t-₃E_t-1)

​

Εκτίμηση συντελεστών

a_t=3E_t-3₂E_t-₃E_t

β_t=0.5c/(1-c)²[(6-5c)E_t-2(5-4c)₂E_t+(4-3c)₃E_t]

γ_t=(c/(1-c))₂(E_t-2₂E_t+₃E_t)

​

Αρχικές τιμές

E_o=a_o-(1/c-1)β_o+0.5(1-c)(2-c)/c²γ_o

₂E_o=a_o-2(1/c-1)β_o+(1-c)(3-2c)/c²γ_o

₃E_o=a_o-3(1/c-1)β_o+1.5(1-c)(4-3c)/c²γ_o

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑ ΜΕ ΕΠΟΧΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ-ΤΟΠΙΚΟ ΚΑΙ ΟΛΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ

​

Γενικά

​

ΕΠΟΧΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Η έννοια του εποχικού συντελεστή

-Αν z_t (t=1,2,…,12) είναι η μηνιαία τιμή μιας μεταβλητής και k₁ ο μέσος όρος της τότε τα γ_t=z_t/k₁ είναι οι εποχικοί συντελεστές του μήνα t. Προφανώς το άθροισμα των γ_t είναι 12. Αν αναφερόμαστε σε εποχές (τρίμηνα) θα είναι 4.

​

Η έννοια του επικεντρωμένου μέσου όρου:

-Ο k₁ δεν συνδέεται με κάποιο συγκεκριμένο μήνα.

-Ο Κ=(k₁+k₂)/2 (όπου k₂ ο μέσος όρος από 2^ο έως 13^ο μήνα) συνδέεται με τον 7^ο μήνα

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΟΧΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ

ΕΙΔΙΚΟΙ ΕΠΟΧΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

-Η έννοια του ειδικού εποχικού συντελεστή

-Η έννοια του τυπικού εποχικού συντελεστή

-Διαδικασία πρόβλεψης με χρήση τυπικού εποχικού συντελεστή

​

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Στον παρακάτω πίνακα σημειώνεται η ζήτηση που είχαν τα προιόντα μια επιχείρησης ανά εποχή του έτους στα τελευταία πέντε χρόνια. Ζητείται να προβλεφθεί η ζήτηση που θα υπάρξει στις τέσσερεις εποχές του επόμενου έτους.

​

​

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΜΕ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΟΧΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΓΕΝΙΚΑ

Απλά και σύνθετα πρότυπα

​

ΚΑΜΠΥΛΗ Gompertz

z_t=ka^(b^t)

a,b,k παράμετροι που πρέπει να βρεθούν

​

Λογαριθμική μορφής της καμπύλης Gompertz

Y_t=K+Ab^t

​

όπου Υ_t=log(z_t) και οι νέες άγνωστοι παράμετροι είναι Κ=log(k) και Α=log(a)

-Σημασία των παραμέτρων (παράδειγμα Κ=32, Α=-16, b=1/2)

-Σημαντικά χαρακτηριστικά καμπύλης Gompertz-μορφή

​

​

Ιδιότητα καμπύλης Gompertz:

Λόγος πρώτων διαφορών (λογαριθμική μορφή) σταθερός

​

Εκτίμηση παραμέτρων

1) Έλεγχος λόγου πρώτων διαφορών

2) Εκτίμηση περιοχής τιμών Α,b από το σχήμα

3) Χωρισμός των δεδομένων σε τρείς περιοχές (με n δεδομένα η καθεμία) και σχηματισμός των μερικών αθροισμάτων S₁,S₂,S₃.

4) Υπολογισμοί:

bⁿ=(S₃-S₂)/(S₂-S₁)

nK=S₁-(S₂-S₁)/(bⁿ-1)

A=(S₂-S₁)(b-1)/(bⁿ-1)²

​

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Οι ετήσιες πωλήσεις μιας βιομηχανίας για την περίοδο 2006-2014 (σε τόνους προιόντος είναι 4.94, 6.21, 7.18, 7.74, 8.38, 8.45, 8.73, 9.42, 10.24 αντίστοιχα. Να γίνει πρόβλεψη των πωλήσεων για το 2015.

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

-Αθροιστική πιθανότητα Φ(z) τυχαίας μεταβλητής z

i)εκτίμηση πιθανότητας για περιοχή τιμών του z

ii)εκτίμηση ανώτερης τιμής του z δεδομένη πιθανότητα

​

ΔΙΑΚΡΙΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Φ(z) (4 με 16 κλάσεις)

Φ(z_k)=p₁+p₂+….p_k

p_i=P(z_i-1<z_t<z_i) i=1,2,…..n

​

Διόρθωση αθροιστικής κατανομής λαμβάνοντας υπόψη μια νέα πληροφορία u_k(t) (k=1,2,…..n)

p_k(t)=cu_k(t)+(1-c)p_k(t-1)

c= συντελεστής εξομάλυνσης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ο αριθμός των κιλών ενός υλικού που πουλήθηκε τους τελευταίους 20 μήνες είναι

16, 27, 8, 6, 3, 12, 18, 32, 9, 43, 54, 4, 13, 23, 35, 14, 28, 36, 46, 59. Ποια είναι η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας και πως χρησιμοποιείται. Πως αυτή τροποποιείται αν η πωληση του 21^ο μήνα είναι 12 κιλά;

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ