� «Квадратные уравнения»

Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь.

Её нельзя не любить - её можно только не знать.

​

​

уравнение вида ах² + вх +с = 0,

​

где х –переменная,

​

а, в и с некоторые числа,

​

причем а 0.

​

​

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:

​

Квадратным уравнением называется

ПОЛНЫЕ�КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

НЕПОЛНЫЕ�КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0

а ≠ 0, в = 0, с = 0

2х²+5х-7=0

6х+х²-3=0

Х²-8х-7=0

25-10х+х²=0

3х²-2х=0

2х+х²=0

125+5х²=0

49х²-81=0

1 вариант

а) 6х² – х + 4 = 0

б) 12х - х² = 0

в) 8 + 5х² = 0

2 вариант

а) х – 6х² = 0

б) - х + х² – 15 = 0

в) - 9х² + 3 = 0

​

1 вариант

а) а = 6, в = -1, с = 4;

б) а = -1, в = 12, с = 0;

в) а = 5, в = 0, с = 8;

2 вариант

а) а = -6, в =1, с = 0;

б) а = 1, в =-1, с = -15;

в) а = -9, в = 0, с = 3.

Определите коэффициенты

квадратного уравнения:

РЕШЕНИЕ

НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

в=0

ах²+с=0

с=0

ах²+вх=0

в,с=0

ах²=0

1.Перенос с в правую часть уравнения.

ах²= -с

2.Деление обеих частей уравнения на а.

х²= -с/а

3.Если –с/а>0 -два решения:

х₁ = и х₂ = -

Если –с/а<0 - нет решений

1. Вынесение х за скобки:

х(ах + в) = 0

2. Разбиение уравнения

на два равносильных:

х=0 и ах + в = 0

3. Два решения:

х = 0 и х = -в/а

1.Деление обеих частей уравнения на а.

х² = 0

2.Одно решение: х = 0.

​

РЕШИ НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ :

​

​

1 вариант: 2 вариант:

​

а) 2х + 3х²= 0 а) 3х² – 2х = 0

б) 3х² – 243= 0 б) 125 - 5х² = 0

в) 6х² = -10х – 2х( 5 – 3х). в) -12х – 6х(2 – 3х) = 18х²

​

​

Проверь товарища

1 вариант

а) х(2+3х)=0,

х=0 или 2+3х =0,

3х = -2,

х= -2/3.

Ответ: 0 и -2/3.

б) 3х² = 243,

х² = 243/3,

х² = 81,

х =-9, х= 9.

Ответ: -9 и 9.

в) 6х² = - 10х -10х + 6х^2,

6х² +10х +10х - 6х² =0,

20х = 0,

х=0.

Ответ: 0.

2 вариант

а) х(3х -2) =0,

х=0 или 3х-2 =0,

3х = 2,

х = 2/3.

Ответ: 0 и 2/3.

б) - 5х² = - 125,

х² = -125/-5,

х² = 25,

х = - 5, х = 5.

Ответ: -5 и 5.

в) - 12х -12х +18 х² - 18 х² = 0,

- 24х = 0,

х = 0.

Ответ: 0.

Динамическая пауза

• а) 3х² – 5х - 2 = 0
• б) 4х² – 4х + 1= 0
• в) х² – 2х +3 = 0
• г) 6х² – х + 4 = 0
• д) 12х - х² = 0
• е) 8 + 5х² = 0

​

​

• ж) 5х² – 4х + 2 = 0
• з) 4х² – 3х -1= 0
• и) х² – 6х + 9= 0
• к) х – 6х² = 0
• л) - х + х² – 15 = 0
• м) - 9х² + 3 = 0

​

​

​

Способы решения

полных квадратных уравнений

​

​

1. Выделение квадрата двучлена.
2. Формула: D = b²- 4ac, x_1,2=
3. Теорема Виета.

​

​

​

​

От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

Ответ: От знака D - дискриминанта.

​

Вычисли дискриминант и определи количество корней квадратного уравнения

• 1 вариант

​

​

• а) 3х² – 5х - 2 = 0
• б) 4х² – 4х + 1= 0
• в) х² – 2х +3 = 0

​

​

• 2 вариант

​

​

• а) 5х² – 4х + 2 = 0
• б) 4х² – 3х -1= 0
• в) х² – 6х + 9= 0

​

Проверь товарища D=b²-4ac

1 вариант

​

• а) D =(-5)² - 4*3*(-2) = 49,

2 корня;

• б) D =(-4)² - 4*4*1 = 0,

1 корень;

• в) D =(-2)² - 4*1*3 = -8,

нет корней

​

2 вариант

​

• а) D =(-4)² - 4*5*2 = -24,

нет корней;

• D =(-3)² - 4*4*(-1) = 25,

2 корня;

• D =(-6)² - 4*1*9 = 0,

1 корень

​

РЕШИ УРАВНЕНИЯ

с помощью формулы :

​

​

1 вариант: 2 вариант:

2х² + 5х -7 = 0 2х² + 5х -3= 0

​

Проверь себя

1 вариант

2х² + 5х -7 = 0,

D =5² - 4*2* (-7)= 81 = 9²,

х = (-5 -9)/2*2=-14/4=- 3,5,

х =(-5 +9)/4=4/4=1.

Ответ: -3,5 и 1.

​

​

​

2 вариант

2х² + 5х -3= 0,

D = 5² – 4*2* (-3)= 49 = 7²,

х = (-5 -7)/2*2=-12/4= -3,

х = (-5 +7)/4= 2/4= 0,5.

Ответ: -3 и 0,5.

Исторические сведения:

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

________________________________________________

Вот задача Бхаскары:

Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась.

А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая.

Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары:�Пусть было х обезьянок, �тогда на поляне забавлялось – ( х/8)² и 12 прыгали по лианам.�Составим уравнение:

• ( х/8)² + 12 = х,

х²/64 + 12 – х =0, /*64

х² - 64х + 768 = 0,

D = (-64)²-4*1*768 =4096 – 3072 = 1024 = 32², 2 корня

х= (64 -32)/2 = 16,

х= (64 + 32)/2 = 48.

Ответ: 16 или 48 обезьянок.

​