الوحدة التاسعة��المزيد من المعادلات
الصف العاشر
(س - 2) (س - 2) = 0
س - 3 =0
س + 3 =0
أو
س = 2
س = 2
(س + 3) (س + 4) = 0
2س - 1 =0
س - 2 =0
أو
س = 2
س - 4س + 4 = 0
(2س - 1) (س - 2) = 0
س + 3 =0
س + 4 =0
أو
س = -4
س = -3
س =
2
ــــ
1
(س - 3) (س + 3) = 0
س - 2 =0
س - 2 =0
أو
س = -3
س = 3
2
9
-
+
3
س = 5
س = - 5
= 20 + 5
س
2
9س
2
س =
=
-
+
2
س -2 = 3
= 4
س
2
=
-16
9
ـــــــ
4
س
=
-16
9
ـــــــ
=
ليس لها حل
س =
25
=
-
+
5
س - 2 =
س = 3+2 = 5
س = -3+2= -1
س - 2 = -3
أو
س = 2
س = - 2
(س - 2) =
2
ـــــ
9
أو
أو
+
س
2
4س
2
- 7 س + 2
3س
2
-6س
-1س
+ 2
س
3س
2
=
=
=
س
- 15س
- 5
+
3س
2
=
- 14س - 5
3س
2
=
=
- 9
=
+ 12س + 36
س
2
=
=
- 4س + 4
س
2
-
2×2× س
4
س
2
+
+
2×6× س
36
س
2
+
=
7
س
س
3
أ
-
5
ب
- 8 س + 16
س
2
(س - 4)
2
=
ك = 16
الحد الأوسط = 2×2س ×5 =
+
-
ك = 20
+
-
+
-
20س
1)-(9 �� الإكمال إلى مربع
- 9 س
س
2
ـــــ
4
ــ
81
(
س
ـــــ
2
)
2
9
ــ
ـــــ
2
ــ
(
)
2
9
+12
ـــــــ
4
ب=
-33
(
س
ـــــ
2
)
2
9
ــ
+12
ـــــ
2
+
(
)
2
9
أ =
ـــــ
2
-9
ـــــ
4
ــ
33
- 16س + 30
2س
2
+16
- 8 س
س
2
- 8 س
س
2
-16
+15
(
س
4
)
2
ــ
=
ــ 1
)
(
2
2
(
)
(
س
4
)
2
ــ
2
ــ 2
2
)
(
نأخذ 2 عامل مشترك
+ 15
2)
3)
س
2
+ 6س
5
=
+9
+9
14
=
( س + 3)
2
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين
14
(س +3) =
2
س + 3 =
14
-
+
س =
14
+
- 3
س =
14
-
+
- 3
س =
14
-
- 3
أو
=
=
0,74
- 6.74
س
2
+ 6س
1
=
+9
+9
10
=
( س + 3)
2
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين
10
(س +3) =
2
س + 3 =
10
-
+
س =
10
+
- 3
س =
10
-
+
- 3
س =
10
-
- 3
أو
=
=
0,16
- 6.16
نفك الاقواس
2
10
(س + 2)
2
=
س + 2 =
10
-
+
س =
10
+
-2
س =
10
-
+
ـــــــ2
س =
10
ــــــــــ
-2
=
=
1,16
أو
10
ــــــــــ
س
2
+ 4س
6
ـــــــــ
= 0
10
(س + 2)
2
ــــــــ
= 0
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
ــــــــ 5.16
(9-2)�� الصيغة التربيعية
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
49
ــ
+
2
1
ــ
+
2
س =
س =
س =
=
1
2
+
ــ
س =
أو
2
ــ
8
1
2
+
ــ
7
ــ
7
ــ
7
ــ
=
ــ
4
4
×
×
1
12
×
1
ــ
7
1
2
ـــ
ــ
7
=
ــ
6
2
=
=
ــ
3
س =
81 – 4×1×36
ــ 9
ــ
+
2×1
س =
س=
81 – 144
ــ 9
ــ
+
2×1
س=
–63
ــ 9
ــ
+
2×1
=
لا يوجد حل للمعادلة
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
4 – 4×-2× 1
ــ (-2)
ــ
+
2 × -2
س =
س=
4 – (- 8)
2
ــ
+
-4
س =
12
2
ــ
+
-4
=
حلّ كل معادلة من المعادلات الآتية باستخدام الصيغة التربيعية. قرّب إجابتك إلى عدد مكوّن من 3 أرقام معنوية عند الضرورة:
أ = -2
ب = -2
جـ = 1
12
2
+
- 4
12
2
ــ
-4
س =
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
36 – 4×1× -1
ــ 6
ــ
+
2×1
س =
س =
36 – (-4)
ــ 6
ــ
+
2×1
س =
40
ــ 6
ــ
+
2
=
أ = 1
ب = 6
جـ = -1
40
ــ 6
+
2
40
ــ 6
ــ
2
س =
=
=
= ــ 1,37
= 0.366
0,162
ــ 6.16
س
2
+ 12س
+ 35
9
=
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
49 – 4×1× 1
ــ7
ــ
+
2 × 1
س =
س=
49 – (ــ 4)
ــ7
ــ
+
2
س =
53
-7
ــ
+
2
=
أ = 1
ب = 7
جـ = 1
53
-7
+
2
53
-7
ــ
2
س =
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
144– 4×1× 26
-12
ــ
+
2×1
س =
س =
144 – 104
ــ 12
ــ
+
2×1
س =
40
ــ 12
ــ
+
2
=
أ = 1
ب = 12
جـ = 26
40
ــ 12
+
2
40
ــ 12
ــ
2
س =
=
=
= 0.140
= ــ7.14
ــ 2,84
ــ 9.16
س
2
+ 12س
+ 26
0
=
1
2
+ س
7س
=
نضرب المعادلة في س
س
2
+7س
+1
0
=
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
9 – 4×6× -2
ــ (-3)
ــ
+
2× 6
س =
=
9 ـــ (ـــ 48)
3
ــ
+
12
57
3
ــ
+
12
=
6س
2
ــ3س
ــ2
0
=
أ = 6
ب = -3
جـ = -2
ب =9
أ =3
جـ = -4
81 – 4×3× -4
-9
ــ
+
2× 3
س=
129
-9
+
6
س=
=
س=
129
-9
ــ
6
129
-9
ــ
+
6
س=
س=
0.39
-3.39
19-20
(س+1)
(س+3)
=12
س
2
-9
+4س
= 0
ب =4
أ =1
جـ = -9
16 – 4×1× -9
-4
ــ
+
2× 1
س=
=
52
-4
+
2
س=
س=
-12
س
2
+3
+ 4س
= 0
52
-4
ــ
2
52
-4
ــ
+
2
1,61
=
=
-5,61
قيم س الممكنة هي 1,61
لأن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا
(س+2)
= 16
= 16
ـــــــ
2
1
(س -2)
)
س
2
4
ــ
(
ـــــــ
2
1
نضرب طرفي المعادلة في 2
= 32
س
2
4
ــ
×2
2×
+4
= 36
س
2
= 32
س
2
= 6
س
+
-
كلاهما على صواب
57 × 85 = 3306
- 57 × - 85 = 3306
عند ضرب اشارتين سالبتين يعطي الناتج موجب دائما
=
2+ س
ص = 2+ س
س
2
ـــــــ 4س
= 0
ــــــــ3س
س
2
ص =
+5
ــــــــ3س
س
2
+ 5
ــــــــ3س
س
2
+ 5
+ 3
ـــــــــ
س
ـــــــــ
2
= 0
التحليل إلى عوامل
(س -1)
(س -3)
= 0
س = 1
س = 3
أو
نعوض في المعادلة :
ص = 2+ س
ص =
س = 1
س = 3
حل المعادلتين هو :
(3,1)
(3, 5)
أو
ص =
2 + 1 = 3
2 + 3 = 5
الحل
ص = س+ 4
+3س
2س
2
ص =
+ 1
=
س+ 4
+3س
2س
2
+1
= 0
+3س
2س
2
+ 1
ـــــــــ
س
ـــــــــ
4
2س
2
+2س
= 0
ـــــــــ
3
ب =2
أ =2
جـ = -3
ب – 4أجـ
2
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
4 – 4×2×-3
-2
ــ
+
2×2
س =
س=
4 + 24
-2
ــ
+
4
28
-9
ــ
+
6
=
س =
س =
28
-2
+
4
28
-2
ــ
4
=
0,82
=
ــ1,82
نعوض في المعادلة :
ص = س+ 4
ص =
س = 0,82
س = -1,82
ص =
0,82 + 4 = 4.82
-1,82 + 4 = 2,18
حل المعادلتين هو :
(0,82 , 4,82)
أو
(1,82 , 2,18)
3س
ص
س
2
س
أ) مساحة الشكل = مساحة المستطيل – مساحة المربع
= 38
8س
+
2ص
ب) محيط الشكل = مجموع اطوال أضلاعه
= 21
3س ص
ــــــــــــ
س
2
= 19
4س
ــــــــ
ص
= 19
4س
+
ص
نقسم الطرفين على2
ـــــــــــــــــــــــــ
2
ـــــــــــــــــــــــــ
2
ـــــــــــــــــــــــــ
2
= 21
(19ـــــــــ 4س)
ــــــــــــ
س
2
= 21
57س
ــــــــــــ
س
2
ـــــــ12س
2
= 21
57س
ـــــــ13س
2
+ 21
ـــــــــ 57س
13س
2
= 0
3س
ج)
نعيد ترتيب المعادلة كالتالي:
تابع الحل
+ 21
ـــــــــ 57س
13س
2
= 0
أ = 13
جـ = 21
ب = -57
3249
57
ــ
+
2 × 13
س =
ــ 4× 13× 21
3249
57
ــ
+
26
ــ 1092
س=
2
ب – 4أجـ
ــ ب
ــ
+
2أ
س =
2157
57
ــ
+
26
=
2157
57
+
26
2157
57
ــ
26
س=
س=
أو
س=
3,98
س=
0,41
س=
س =
3,98
0,41
نعوض في المعادلة :
= 19
4س
ــــــــ
ص
= 19
4× 3,98
ــــــــ
ص
= 3,08
= 17,36
= 19
4× 0,41
ــــــــ
ص
اذن حل المعادلتين هو:
س=
3,98
ص = 3,09
س=
0,41
ص = 17.38
أو
و
و
نعوض في المعادلة :
ص = س
ص
= -2
ص
= 0
+3س
س
2
ص =
=
س
ص = س
+3س
س
2
+3س
س
2
ـــــــــ س
= 0
+ 2س
س
2
= 0
نأخذ س عامل مشترك
س
( )
+ 2
س
= 0
س = 0
س +2 = 0
س = -2
أما
أو
س = 0
س = -2
نقاط تقاطع المنحني هي :
(0,0)
(-2, -2)
أو
,
نعوض قيم س في المعادلة التربيعية لإيجاد قيم ص ثم نكمل الجدول ونرسم الدالة :
6
0
-4
-6
-6
-4
6
0
(0, -6)
(0,5 , -6,25)
(3 , 0) , (-2, 0)
نقطة رأس المنحنى
,
1) شكل المنحنى يكون للأعلى :
2) إيجاد نقطة تقاطع المنحنى مع المحور الصادي :
ــــــــ3س ــــــــ 4
س
2
ص =
ـــــــ 3 (0) ــــــــ 4
(0)
2
ص =
نضع س = 0
= -4
3) إيجاد نقاط التقاطع المنحنى مع المحور السيني :
(0, -4)
ــــــــ3س ــــــــ 4
س
2
ص =
(س +1)
(س - 4)
= 0
س = -1
س = 4
أو
0 =
نضع ص = 0
(4, 0)
(-1, 0)
اذن نقاط التقاطع مع المحور السيني:
,
4) إيجاد نقطة رأس المنحنى للدالة:
الاحداثي السيني لنقطة رأس المنحنى :
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س =
ـــــــــ ب
2 أ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
ــــــــ (-3)
2×1
ب = -3
أ =1
جـ = -4
الاحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى :
اذن نقطة التقاطع مع المحور الصادي :
= 1,5
ــــــــ3س ــــــــ 4
س
2
ص =
ـــــــ 3 × (1,5)
(1.5)
2
ص =
ـــــــ 4
= - 6.25
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
3
2
رأس المنحنى للدالة :
(1,5 , -6,25)
(0, -4)
(4, 0)
(-1, 0)
نقاط التقاط مع المحور السيني:
نقطة التقاط مع المحور الصادي :
رأس المنحنى للدالة :
,
معادلة محور التماثل لدالة المنحنى:
(1,5 , -6,25)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س =
ـــــــــ ب
2 أ
= 1,5
1) شكل المنحنى يكون للأعلى :
2) إيجاد نقطة تقاطع المنحنى مع المحور الصادي :
ــــــــ 4س + 5
ـــــــ س
2
ص =
ـــــــ 4 (0) + 5
(0)
2
ص = ـــــــــ
نضع س = 0
= 5
3) إيجاد نقاط التقاطع المنحنى مع المحور السيني :
(0, 5)
+ 4س ـــــــــ 5
س
2
ص =
(س -1)
(س + 5)
= 0
س = 1
س = -5
أو
0 =
نضع ص = 0
(-5, 0)
(1, 0)
اذن نقاط التقاطع مع المحور السيني:
,
4) إيجاد نقطة رأس المنحنى للدالة:
الاحداثي السيني لنقطة رأس المنحنى :
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س =
ـــــــــ ب
2 أ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
ــــــــ (-4)
2× -1
ب = -4
أ =-1
جـ = 5
الاحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى :
اذن نقطة التقاطع مع المحور الصادي :
= -2
ــــــــ 4س + 5
ــــــــ س
2
ص =
ـــــــ 4 × (-2)
ـــــــ (-2)
2
ص =
+ 5
= 9
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
4
-2
رأس المنحنى للدالة :
(-2 , 9)
ــــــــ 4س + 5
ـــــــ س
2
ص =
× -1
[ ]
ــــــــــ 4
+ 8
+ 5
(0, 5)
(-5, 0)
(1, 0)
نقاط التقاط مع المحور السيني:
نقطة التقاط مع المحور الصادي :
رأس المنحنى للدالة :
,
معادلة محور التماثل لدالة المنحنى:
(-2 , 9)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س =
ـــــــــ ب
2 أ
= -2
(0, 5)
(-5, 0)
(1, 0)
(-2 , 9)
س= -2
س = 2
د = -1
س
2
ــــــــ 2س
ـــــــ 7
+1
ــــــــــ 1
ـــــــــ 8
( س ـــــــــ 1)
2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
-2
2
د
= -1
(-1)
2
ــــــــ 1
+ ك
أ (س + د)
2
ك =
ـــــــ7
ك = -8
ــــــــ 2س ــــــــ 7
س
2
طريقة أخرى :
ـــــــــ
ـــــــ7
ـــــــــ 8
(س ـــــــــ 1)
2
ك =
1) شكل المنحنى يكون للأعلى :
2) نقطة تقاطع المنحنى مع المحور الصادي :
3) إيجاد نقاط التقاطع المنحنى مع المحور السيني :
+8 س +12
س
2
ص =
(س +2)
(س + 6)
= 0
0 =
نقاط التقاطع مع المحور السيني:
(0, 12)
س = -2
س = -6
أو
(-6, 0)
(-2, 0)
,
4) إيجاد نقطة رأس المنحنى:
- 4
(س + 4)
2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
8
2
د
= 4
ك =
12
ـــــــــ
(4)
2
ــــــ 16
+ ك
أ (س + د)
2
ك =
12
ك = -4
نقطة رأس المنحنى:
(- د , ك)
(- 4 , -4)
=
معادلة محور التماثل :
س = - د
س
2
ص =
+8 س +12
س = - 4
س = 0
1) شكل المنحنى يكون للأعلى :
2) نقطة تقاطع المنحنى مع المحور الصادي :
3) إيجاد نقاط التقاطع المنحنى مع المحور السيني
+6س -7
س
2
ص =
(س -1)
(س +7)
= 0
0 =
نقاط التقاطع مع المحور السيني:
(0, -7)
س = 1
س = -7
أو
( ــــــ 7, 0)
(1, 0)
,
4) إيجاد نقطة رأس المنحنى:
ــــــــــ 16
(س + 3)
2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
=
6
2
د
= 3
ك =
ـــــــ 7
ـــــــــ
(3)
2
ــــــ 9
+ ك
أ (س + د)
2
ك =
ـــــــ 7
ك = -16
نقطة رأس المنحنى:
(- د , ك)
(-3 , -16)
=
معادلة محور التماثل :
س = - د
س
2
ص =
+6س -7
س = - 3
س = 0
2) نقطة تقاطع المنحنى مع المحور الصادي :
3) نقاط التقاطع مع المحور السيني:
(0, -7)
نقطة رأس المنحنى:
(-3 , -16)
معادلة محور التماثل :
س = - 3
1) شكل المنحنى يكون للأعلى :
(0, -7)
( ـــــــ 7, 0)
(1, 0)
( ـــــــ 7, 0)
(1 ,0)
(-2, 0)
(3, 1)
(-4, 3)
(0, -1)
اعداد العرض
أ- محمد سالم المقبالي
محافظة شمال الباطنة
مدرسة / سهيل بن عمرو (9-12)