La probabilità
Eventi aleatori: certi, probabili, impossibili
Eventi aleatori e probabilità
> Eventi aleatori: certi, probabili, impossibili
Gli eventi la cui realizzazione dipende solo dal caso sono detti eventi casuali o aleatori.
è il grado di incertezza con cui riteniamo si possa realizzare un evento aleatorio.
Probabilità
La probabilità
Eventi probabili, impossibili e certi
certo
probabile
impossibile
La sua realizzazione è certa
Può realizzarsi, ma non è certo
Non può assolutamente verificarsi
Evento
Estrarre una pallina bianca
> Eventi aleatori: certi, probabili, impossibili
La probabilità
La probabilità matematica
La probabilità come rapporto
La probabilità matematica di un evento aleatorio E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di E e tutti i casi possibili.
> La probabilità matematica
La probabilità
La probabilità come rapporto
E = "Esce una pallina bianca"
> La probabilità matematica
La probabilità
Eventi compatibili e incompatibili. Eventi complementari
Eventi incompatibili
> Eventi compatibili e incompatibili. Eventi complementari
Due eventi si dicono incompatibili se, nell’ambito della stessa prova, il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro.
S
Nel lancio di un dado:
se esce il 3, non può uscire il 4.
La probabilità
Eventi compatibili
Due eventi si dicono compatibili se, nell’ambito della stessa prova, possono verificarsi contemporaneamente, ossia il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro.
S
Nel lancio di un dado:
Esce un numero pari ed esce un numero minore di 4.
> Eventi compatibili e incompatibili. Eventi complementari
La probabilità
Eventi complementari
Due eventi si dicono complementari se
La somma delle probabilità di due eventi complementari è uguale a 1.
S
Nel lancio di un dado:
Esce un numero minore di 5 e un numero maggiore o uguale a 5.
> Eventi compatibili e incompatibili. Eventi complementari
La probabilità
La probabilità totale
Evento totale formato da eventi incompatibili
La probabilità di un evento totale E, costituito dai due eventi incompatibili E1 ed E2, è uguale alla somma delle probabilità di E1 e di E2.
> La probabilità totale
Nell’estrazione di un numero da 1 a 10:
E = Esce un numero minore di 4 o multiplo di 5 .
E1
E2
La probabilità
Evento totale formato da eventi compatibili
La probabilità di un evento totale E, costituito dai due eventi compatibili E1 ed E2, è uguale alla somma delle probabilità di E1 e di E2, meno la probabilità dell’evento
Intersezione.
Nell’estrazione di un numero da 1 a 10:
E = Esce un numero minore di 4 o multiplo di 3 .
E1
E3
> La probabilità totale
La probabilità
La probabilità composta
Eventi indipendenti
Due eventi si dicono indipendenti se il realizzarsi di uno non modifica la probabilità che l’altro ha di realizzarsi.
> La probabilità composta
Nel lancio contemporaneo di due monete:
E = Escono due teste.
E1 ed E2 si possono verificare uno indipendentemente dall’altro
evento composto
La probabilità
Il calcolo della probabilità composta
La probabilità composta, cioè la probabilità di un evento composto E, costituito da due eventi indipendenti E1 ed E2, è uguale al prodotto delle probabilità di E1 e di E2
Tabella a doppia entrata
Grafo ad albero
Casi possibili
Casi favorevoli
> La probabilità composta
La probabilità
La probabilità condizionata
Eventi dipendenti
Due eventi si dicono dipendenti quando la probabilità del secondo evento dipende dal verificarsi del primo. In questo caso si dice che la probabilità del secondo evento è condizionata dal verificarsi del primo evento.
> La probabilità condizionata
Probabilità di E2R condizionata a E1R
La probabilità
Il calcolo della probabilità condizionata
La probabilità di un evento composto E, costituito da due eventi dipendenti E1 ed E2, tali che il secondo dipende dal primo, è data dal prodotto della probabilità del primo per la probabilità condizionata del secondo al primo.
Nell’esempio precedente:
> La probabilità condizionata
La probabilità
La probabilità statistica
La frequenza relativa
Si definisce frequenza relativa dell’evento casuale E il rapporto tra il numero delle volte in cui l’evento si è verificato (indicato con v) e il numero totale delle prove (indicato con n).
> La probabilità statistica
La probabilità
Il lancio di una moneta
> La probabilità statistica
La probabilità
La legge empirica del caso
In presenza di un grande numero di prove, effettuate nelle stesse condizioni, la frequenza relativa di un evento si avvicina al valore della sua probabilità matematica. Il valore della frequenza è tanto più vicino a quello della probabilità matematica, quanto più è grande il numero delle prove eseguite.
Legge empirica del caso o Legge dei grandi numeri
> La probabilità statistica
La probabilità
La probabilità soggettiva
La probabilità soggettiva
La probabilità soggettiva di un evento, ossia la probabilità che una persona attribuisce a un evento, è il rapporto tra l’importo che la persona punta sul verificarsi dell’evento e l’importo dell’eventuale vincita, nel caso in cui l’evento si verifichi.
> La probabilità soggettiva
La probabilità
Il calcolo della probabilità soggettiva
probabilità soggettiva attribuita all’evento E
probabilità soggettiva attribuita all’evento ¬E
> La probabilità soggettiva
La probabilità