2 of 19

Тема нашого заняття �«Логарифм та його властивості»

Логарифми важливі як зручний засіб при дослідженні показникових функцій і розв'язуванні пов'язаних з ними задач.

На цьому занятті ми познайомимось з поняттям логарифма, його властивостями, основною логарифмічною тотожністю, будемо вчитися виконувати дії з логарифмами.

3 of 19

Логарифмом числа b > 0 з основою а, де а > 0, а ≠ 1, називається таке число с, що а^с = b.

Іншими словами, логарифм числа b за основою а — це показник, до якого треба піднести а, щоб дістати b.

Символічно записують с = log_а b.

Таким чином, розв’язком рівняння

є число

х = log₂7

Можна сказати, що формули а^с = b та с = log_а b є рівносильними, оскільки подають одну й ту саму залежність між числами а, b і с.

4 of 19

log_а b = с,

оскільки а^с = b

Приклад.

Знайти: 1) log₂32; 2) log₃

3) log₄ 2; 4) log₁₀l.

1) log₂32 = 5, оскільки 2⁵ = 32;

5 of 19

Десятковий логарифм – це логарифм за основою 10.

Позначення

Наприклад, lg1000 = 3, оскільки 10³ = 1000.

Натуральний логарифм – це логарифм за основою е

(е – ірраціональне число, )

6 of 19

Основна логарифмічна тотожність

Оскільки логарифм числа b з основою а є розв'язком рівняння а^х = b , то маємо рівність

Приклад

7 of 19

Властивості логарифмів

1) При довільному a > 0, а ≠ 1,

🖝 Ці рівності випливають із співвідношень: а¹ = а, а⁰ = 1.

Наприклад, 1) log₉1 = 0, оскільки 9⁰ = 1;

2) log₅x = 0,

х = 5⁰ ,

х = 1.

3) log₉9 = 1, оскільки 9¹ = 9.

8 of 19

Властивості логарифмів

2) Логарифм добутку двох або кількох чисел дорівнює сумі логарифмів співмножників:

🖝Нехай b, с – додатні числа.

За основною логарифмічною тотожністю маємо

Перемноживши ці рівності, дістанемо

з іншого боку

⇒

що і треба було довести. 🖜

9 of 19

Властивості логарифмів

Наприклад,

1) ln15 = ln(3⋅5) = ln3 + ln5;

2) lg20 + lg5 = lg(20⋅5) = lg100 = 2.

10 of 19

Властивості логарифмів

3) Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів чисельника і знаменника:

🖝

⇒

що і треба було довести. 🖜

11 of 19

Властивості логарифмів

Наприклад,

12 of 19

Властивості логарифмів

4) Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи:

🖝

⇒

що і треба було довести. 🖜

13 of 19

Властивості логарифмів

Наприклад,

14 of 19

Властивості логарифмів

Для довільних додатних a, b, c,

справджується формула:

(формула переходу до іншої основи)

🖝

🖜

Наслідок.

Для довільних додатних a, b,

справджується формула:

15 of 19

Закріплення отриманих знань

Вправа 1. Усно. Яка з наведених рівностей неправильна?

Вправа 2. Усно. Який із наведених виразів не має змісту?

16 of 19

Вправа 3.

Знайдіть логарифми чисел, якщо

Розв’язок.

17 of 19

Вправа 4. Виразіть

1) lg 12 через lg3 та lg4;

через lg7 та lg8;

Розв’язок.

1) lg 12 = lg(3 ⋅ 4) = lg3 + lg 4;

3) lg8 = lg2³=3lg2.

3) lg8 через lg2.

18 of 19

Функція,задана формулою �називається логарифмічною функцією з основою а.

якщо

19 of 19

Властивості функції

Якщо ,то графік функції проходить через точку

Якщо ,то функція зростаюча.

Якщо ,то функція спадаюча.