Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 3,5 м, а основа - 1,3 м. Знайти бічну сторону цього трикутника
Розв'язання
За умовою ΔАВС - рівнобедрений, АВ і СВ його бічні сторони. Нехай АВ=СВ=х см, тоді = 2АВ + АС.
Маємо рівняння: 2х+1,3 = 3,5
2х = 3,5-1,3;
2х = 2,2;
х = 1,1
Отже, АВ=1,1 см
Відповідь: 1,1 см
Розв'язання
ΔАВС - рівнобедрений за умовою, ВС - основа, АD- медіана. За наслідком із властивостей рівнобедреного трикутника АD - його медіана і бісектриса. Звідси, ∠ВАD= 1/2∠ВАС,
∠ВАD= 1/2•20°=10°
Відповідь: 10°
Розв'язання
Розглянемо ΔАСВ: АС=СВ - за умовою, тоді ΔАСВ -рівнобедрений за означенням ⇒ ∠САВ=∠СВА - як кути при основі рівнобедреного трикутника.
∠СВА і ∠СВD - за побудовою, тоді ∠СВА +∠СВD = 180° - за теоремою про суму суміжних кутів
⇒ ∠СВD = 180° - ∠СВА = 180° - 58°= 122°.
Розглянемо ΔСВD: СВ=ВD- за умовою, тоді ΔСВD -рівнобедрений за означенням. Оскільки СE=ED, то ВЕ - медіана.
За властивістю рівнобедреного трикутника ВЕ є його медіаною і бісектрисою ⇒ ∠DBE=1/2∠СВD = 1/2•122°=61°
Відповідь: 61°
Знайти:
Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 20 см, причому бічна сторона на 1 см більша основи
У рівнобедреному трикутнику АВС на бічних сторонах АС і ВС відповідно відкладені відрізки СМ і СК (СМ=СК). Відрізки АК і ВМ перетинаються в точці О.�Довести, що ΔАОВ - рівнобедрений; відрізки ОМ та ОК рівні
Міркування: 1 частина
Як довести, що трикутник АОВ рівнобедрений? | Показати, що АС=ВС | |
Як показати, що АС=ВС? | Знайти рівні трикутники, до складу яких входять АС і ВС | |
До складу яких входять АС і ВС? | До складу трикутників АОМ та ВОК | |
Чи рівні трикутники АОМ та ВОК? | Спробуємо довести за І чи ІІ Ознаками трикутника | |
Навіщо задано СМ=СК? | Щоб довести, що АМ=КВ | |
| | |
| | |
Міркування: 1 частина
Розв'язання
За умовою ΔАСВ (АС=СВ) - рівнобедрений, СМ=СК. ∠А=∠В - за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника. АС=АМ+МС, ВС=ВК+КС - за основною властивістю довжини відрізка. Звідси, АМ=АС-МС, ВК=ВС-КС ⇒ АМ=ВК
Розглянемо ΔАМВ і ΔВКА:
∠А=∠В - за доведеним;
АМ=ВК - за доведеним;
АВ - спільна
Отже, ΔАОМ = ΔВОК за двома сторонами та кутом між ними.
Розглянемо ΔАОМ і ΔВОК:
У рівнобедреному трикутнику АВС на бічних сторонах АС і ВС відповідно відкладені відрізки СМ і СК (СМ=СК). Відрізки АК і ВМ перетинаються в точці О.�Довести, що ΔАОВ - рівнобедрений; відрізки ОМ та ОК рівні
Доведення
Ознаки рівнобедреного трикутника
Якщо медіана трикутника є його висотою,� то він рівнобедрений
Якщо бісектриса трикутника є його висотою,� то він рівнобедрений
Якщо медіана �трикутника є його бісектрисою,� то він рівнобедрений
Якщо в трикутнику два кути рівні,� то він рівнобедрений
Наслідки:
| Властивості | Ознаки |
Коли використо-вують | Відомо, що є рівнобедрений трикутник | Є трикутник, але невідомо чи він рівнобедрений |
Для чого використо-вують | Щоб розв'язувати задачі із застосуванням інших, характерних лише рівнобедреному трикутнику зв'язків між його елементами | Щоб довести, що заданий трикутник і справді є рівнобедреним |
Розв'язання
За умовою у ΔАВС до сторони проведено серединний перпендикуляр, позначимо його ВD. Тобто D - середина АС і ∠АDВ - прямий. Маємо, що ВD - і медіана, і висота ΔАВС.
Тоді за Ознакою ΔАВС - рівнобедрений.
І ∠А=∠С - за властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника.
Отже, ∠С=17°
Відповідь: 17°
Відомо: ΔАВС, D∈АВ, Е∈СВ,
DС∩АЕ=F, DF=FE, ∠ЕАС=∠DCA
Довести: △АВС - рівнобедрений
Доведення
Розглянемо △AFC:
∠ЕАС=∠DCA - за умовою ⇔ △AFC - рівнобедрений за ознакою ⇒AF=CF.
Розглянемо △ADF та △CEF :
DF=FE - за умовою,
AF=CF - за доведеним,
∠АFD=∠CFE - як вертикальні
⇔△ADF т= △CEF - за двома сторонами та кутом між ними ⇒ ∠DАF=∠ECF
∠А =∠DАF +∠EAC; ∠С=∠ECF +∠DCA- за побудовою. Оскільки, ∠ЕАС=∠DCA і ∠DАF=∠ECF, то ∠А = ∠С ⇔ △AВC - рівнобедрений за ознакою.
Ознаки рівнобедреного трикутника
За медіаною, що є висотою
За бісектрисою, що є медіаною
За медіаною, що є висотою
За двома кутами