CINEMÁTICA

TEORIA

TRANSLAÇÃO E

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO

EM TORNO DE EIXO FIXO

CINEMÁTICA DO SÓLIDO

Os movimentos de um sólido podem ser classificados em: movimento de translação,

movimento de rotação em torno de eixo fixo, movimento plano e movimento geral.

No movimento de translação, um segmento definido por dois pontos do sólido, não muda

de direção. O movimento da placa ilustrado apresenta estas características.

MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO

P

Q

O x

y

Os vetores posição destes pontos (P e Q), são:

Note-se que:

Os vetores velocidade destes pontos (P e Q), são:

Derivando a equação eq.01, em função do tempo, tem-se:

P

Q

retomando...

O vetor (Q-P) tem norma constante pois é definido por dois pontos de um sólido e direção

também constante, pois este sólido encontra-se em movimento de translação. Disto resulta:

Os vetores aceleração destes pontos (P e Q), são:

Derivando a equação eq.02, em função do tempo, tem-se:

Resumindo: “todos os pontos de um sólido em translação apresentam

velocidades e acelerações IGUAIS”.

Para ilustrar o movimento de translação, apresentamos outro exemplo e o comparamos

com o movimento de rotação em torno de eixo fixo.

movimento

de

translação

movimento

de

rotação c/ eixo fixo

MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE EIXO FIXO.

No movimento de rotação em torno de eixo fixo, todos os pontos do sólido descrevem

trajetórias circulares pertencentes a planos ortogonais ao eixo e com centro de sobre o mesmo.

Considere-se uma placa retangular com eixo diagonal vertical. Todos os

pontos descreverão trajetórias circulares pertencentes a planos horizontais e centros pertencentes ao próprio eixo.

x

y

z

O

P

θ

θ+Δθ

No instante t, o ponto P, tem posição

angular θ, no instante t + Δt, tem posição

angular θ + Δθ.

No intervalo de tempo Δt, o ponto P,

tem percurso ΔS,

Considere-se o ponto P, que descreve trajetória circular de raio R. No instante t, seu vetor posição é:

e vetor deslocamento

P

Da definição de radianos:

x

y

z

impondo que o intervalo de tempo aproxime-se de zero, tem-se:

x

y

z

O

P

P

P

1) o vetor deslocamento torna-se tangente à trajetória:

2) a intensidade do vetor deslocamento torna-se igual

ao percurso ΔS. Desta forma:

Finalmente...

O vetor velocidade do ponto P é:

VETOR VELOCIDADE ANGULAR:

tem a direção do eixo de rotação; tem intensidade igual à velocidade angular escalar;

tem sentido dado pela regra da mão direita.

x

y

z

P

CÁLCULO DO PRODUTO VETORIAL:

direção: tangente

intensidade:

finalmente....

a aceleração do ponto P é:

retomando....

Este exemplo ilustra a caçamba do trator em movimento de translação, enquanto os outros braços, giram em torno

de um eixo preso no corpo do trator.

Este exemplo ilustra a caçamba

mais dois braços do trator em movimento de translação, enquanto o braço ligado ao

corpo do trator gira em torno de um eixo preso ao mesmo

O movimento

O movimento

R

UMA VISÃO MAIS RIGOROSA...

P

Q

x

y

z

Considere-se os pontos de um corpo, caso a distância entre estes pontos mantenha-se invariante (cte.), diz-se que este corpo é rígido ou simplesmente um SÖLIDO.

Considere-se os pontos P, Q e R, pertencentes ao sólido ilustrado.

Os vetores (Q-P) e (R-P), apresentam normas constantes

e o ângulo entre os mesmos (θ) também é invariante, desta

forma:.

Derivando a equação [a]:

retomando...

Derivando a equação [b]:

é possível impor que:

Seria muito útil, caso um único vetor pudesse satisfazer ambas as equações. Por hipótese,

considere-se que:

Subtraindo as equações membro a membro:

ou seja, expressa-se a derivada de vetores definidos por pontos do sólido (vetores ligados),

através de produtos vetoriais, sendo que os vetores , deverão ser determinados.

retomando...

Sendo (Q-R) um vetor ligado, podemos afirmar que existe uma única solução que atende

a todos os casos.

Concluindo: a equação anterior é conhecida como Teorema de Poisson, e é válida para todo e qualquer vetor ligado ao sólido e o vetor é denominado de vetor velocidade angular do mesmo, com as características impostas na definição apresentada anteriormente.

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