La Lógica

La operatividad del cálculo

Unidad 3

1.- Índice de contenidos

5ª

UNIDAD 3

La lógica

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1. Introducción: Una aproximación a la teoría de la información.

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2. Los lenguajes humanos.

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11. Actividades

A. Autoevaluación. (voluntaria)

B. Para completar. (voluntaria)

C. Tareas de síntesis. (obligatorias)

D. Comentarios de texto (obligatorios)

E. Ejercicios prácticos (obligatorios)

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6ª

3. Los razonamientos.

4. El lenguaje formal.

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7ª

5. La lógica proposicional.

6. La lógica de proposiciones como lenguaje formal.

7. La operativa en la lógica proposicional: Simbolización.

8ª

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8. La operativa en la lógica proposicional: tablas de verdad.

9. La operativa en la lógica proposicional: el cálculo de deducción natural.

10. Apéndice: una introducción a la lógica de clases.

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5. Actividades

A. Autoevaluación. (voluntaria)

B. Para completar. (voluntaria)

C. Tareas de síntesis. (obligatorias)

D. Comentarios de texto

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8.- Tablas de verdad

En la lógica proposicional es posible determinar los valores de verdad de una fórmula dada mediante un procedimiento sencillo denominado cálculo de matrices o tablas de verdad.

8.- Tablas de verdad

El orden de construcción de la tabla sería (mirar recuadro inferior a medida que se leen los pasos):

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1. Realizar todas las combinaciones posibles de las variables: 23. Para cualquier caso la fórmula sería 2ⁿ, siendo “n” el número de variables.
2. Contemplar las negaciones de las variables simples
3. Realizar por separado cada uno de los tres bloques que constituyen el antecedente.
4. Realizar la de la conjunción que los une y
5. Hacer la del anterior resultado con el consecuente.
6. Nos encontraremos entonces con:
7. En la última columna de la derecha (sombreada) sale el resultado. Sólo puede haber tres casos: tautología (todo 1: la fórmula siempre será verdadera). Contradicción (todo 0: será siempre falsa). Indeterminación (0 y 1: a veces será verdad y otras no, dependiendo de la combinación de valores).
8. Se dice que dos fórmulas, X e Y, son equivalentes cuando tienen la misma tabla de verdad. Entonces, X ↔Y

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8.- Tablas de verdad

[(¬p V ¬q) ∧ (¬s →p) ∧ (¬q→¬s)] → p

9.- Cálculo de deducción natural

deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado -conclusión- a partir de otro(s) -premisa(s)- mediante la aplicación de reglas de inferencia.

En la estructuración de estas líneas de estructuración tenemos que tener presente que:

• Las distintas líneas de derivación se colocarán una debajo de otra, numeradas correlativamente a partir del uno.
• Las líneas correspondientes a las premisas iniciales irán provistas de un guión que precederá al número que tengan asignado. (o acompañadas de la letra p, inicial de premisa)
• Si la línea corresponde a una fórmula inferida, se indicará a su derecha la regla aplicada y las premisas utilizadas en la operación.

9.- Cálculo de deducción natural

En caso de que la conclusión no pueda obtenerse por los métodos ya reseñados, recurriremos a la derivación indirecta o reducción al absurdo.

La reducción al absurdo consiste en suponer como premisa provisional la negación de la fórmula que se pretende demostrar y obtener, mediante este supuesto, una contradicción (A ∧ A). La consecuencia lógica será la negación del supuesto, esto es, la afirmación de la conclusión deseada.

La reducción al absurdo se fundamenta en el principio lógico que excluye aquellas hipótesis de las que pueda derivarse una contradicción. Si de un enunciado (m) se sigue una contradicción (r ∧ r, por ejemplo), el enunciado debe ser rechazado.

En este sentido es importarte tener presente que:

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• Las líneas de derivación que introducen el supuesto (la negación de la conclusión) y la contradicción obtenida, observarán las condiciones relativas a los supuestos provisionales y a la cancelación de los mismos que ya hemos comentado para el caso de la derivación subordinada.
• Todo supuesto provisional y toda fórmula que de aquél se derive y quede incluida entre ambas escuadras una vez el supuesto se ha cancelado, no podrá volver a utilizarse como elemento de nuevas inferencias.

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9.- Cálculo de deducción natural

9.- Cálculo de deducción natural

9.- Cálculo de deducción natural

10.- Lógica de clases - Predicados

El enunciado “todos los hombres son mortales’ puede ser simbolizado mediante una sola letra: p, tal y como hemos visto en el cálculo de proposiciones si consideramos el enunciado como un bloque y no entramos a analizar su estructura interna. Sin embargo, si consideramos este enunciado no de manera global sino en función de su estructura interna, podemos simbolizarlo de manera diferente.

Si empleamos las letras H (que representaría una clase) para designar al conjunto formado por todos los hombres, y M para el conjunto formarlo por todos los mortales, el enunciado podría formalizarse de la siguiente manera: H ⊂ M, y se leería: “la clase de los hombres está incluida en la clase de los mortales”, o “la clase de los hombres es una subclase de la clase de los mortales” (decir lo contrario no sería correcto).