2 of 19

НА ПРЕДЫДУЩИХ УРОКАХ МЫ ГОВОРИЛИ, ЧТО ЛЮБАЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА МОЖЕТ БЫТЬ ВЫРАЖЕНА ПРИ ПОМОЩИ ТРЕХ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК И, ИЛИ, НЕ, ОДНАКО НА ПРАКТИКЕ ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЮТ ЕЩЕ ДВЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ (ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ). �

3 of 19

Когда мы знакомились с различными логическими связками, то из двух простых высказываний «Солнце всходит на востоке» и «Солнце заходит на западе» составляли различные составные высказывания при помощи этих логических связок. Одно из высказываний получилось в таком виде: «Если солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе». Два простых высказывания мы «связали» словосочетанием «если, то».

4 of 19

Логические рассуждения чаще всего имеют форму цепочки высказываний. Эти высказывания имеют условный характер, то есть, утверждают, что некоторое высказывание истинно при условии, что истинно другое высказывание. Например, «Если прошел летний ливень, то листва на деревьях мокрая». В общем виде такого рода высказывания записываются следующим образом «если А, то В» и называются импликацией или логическим следованием.
Высказывание А = «Прошел летний ливень» в этом случае называют условием, а высказывание В = «Листва на деревьях мокрая» – заключением.

5 of 19

? ПОПРОБУЙТЕ СОСТАВИТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ!

6 of 19

УПРАЖНЕНИЕ 1: Из двух простых высказываний А={2·2=4} и В={3·3=10} составить импликацию . �ОПРЕДЕЛИТЕ ИСТИННОСТЬ ВСЕХ ЭТИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.�

Решение:
А → В={Если 2·2=4, то 3·3=10 } (А = 1, В = 0, А → В – ложно!)

ИЗ ИСТИНЫ НЕ МОЖЕТ СЛЕДОВАТЬ ЛОЖЬ!
Импликация от латинского слова «implico» – связываю.
Как вы думаете ПОЧЕМУ?

7 of 19

УПРАЖНЕНИЕ 2: Дано сложное высказывание: «Если выглянет солнце, то станет тепло". �ТРЕБУЕТСЯ ЗАПИСАТЬ ЕГО В ВИДЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЫ. �ОПРЕДЕЛИТЕ ИСТИННОСТЬ ВСЕХ ЭТИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Решение: Обозначим через А простое высказывание "Выглянет солнце", а через В - "Станет тепло". Тогда логической формулой этого сложного высказывания будет импликация: A → B. (А и В истинны, их импликация тоже истинна)

ИЗ ИСТИНЫ СЛЕДУЕТ ИСТИНА – РАВНО ИСТИНА

8 of 19

ПРОАНАЛИЗИРОВАВ ИСТИННОСТЬ ВЫСКАЗЫВАНИЙ, УТОЧНЯЕМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИМПЛИКАЦИИ.�

Импликацией простых высказываний А и В называется составное высказывание «если А, то В», которое ложно только тогда, когда А истинно, а В ложно.
Во всех других случаях высказывание «если А, то В» истинно.

9 of 19

ТАБЛИЦА ИСТИННОСТИ ДЛЯ ИМПЛИКАЦИИ ВЫГЛЯДИТ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:�

А	В
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Смысл операции таков:

(читаем и просматриваем таблицу сверху вниз):

из истины может следовать только истина и не может следовать ложь; изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки)

10 of 19

ЧТОБЫ ЗАПОМНИТЬ ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ЗНАЧЕНИЯ ИСТИННОСТИ ИМПЛИКАЦИИ, УДОБНО ВОСПОЛЬЗОВАТЬСЯ СЛЕДУЮЩИМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ: �«ДОЖДЬ ИДЕТ», «АСФАЛЬТ МОКРЫЙ», «ДОЖДЬ НЕ ИДЕТ», «АСФАЛЬТ СУХОЙ».�

11 of 19

Упражнение 3: Определите, используя таблицу истинности, истинны или ложны логические высказывания:
а) Если 2·2 = 4, то Днепр впадает в Черное море.
б) Если 2·2 = 4, то Днепр впадает в Каспийское море.
в) Если 2·2 = 5, то Днепр впадает в Черное море.
г) Если 2·2 = 5, то Днепр впадает в Каспийское море.

12 of 19

РЕШЕНИЕ: �

13 of 19

Операция логического следования несколько отличается от обычного понимания слова «следует». Строя предложение вида «если А, то В» в обыденной речи, мы всегда подразумеваем, что предложение В вытекает из предложения А. Употребление слов «если, то » в математической логике не требует этого, поскольку в ней смысл высказываний не рассматривается. Определение импликации вынуждает считать истинными высказываниями такие предложения, как «Если 2×2 = 4, то Киев – столица Украины» или «Если 2×2 = 5, то существуют ведьмы». Эти предложения, вероятно, кажутся бессмысленными.

14 of 19

Дело в том, что мы привыкли соединять союзом «если…, то…» (так же, как и другими союзами) предложения, связанные по смыслу. Но определениями логических операций смысл составляющих высказываний никак не учитывается; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными либо ложными. Поэтому не стоит смущаться «бессмысленностью» некоторых составных высказываний, их смысл не входит в предмет нашего рассмотрения.

1 of 19