1 of 12

1

23.08.2024

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(Örnekli Konu Anlatımı)

5.6

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

(Video 5.6)

2 of 12

2

23.08.2024

Endüstride ve günlük hayatımızda çok sık karşılaştığımız parçalardan önemli bir tipi de eğrisel eksenli elemanlar ve çubuklardır.

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Farklı amaçlarla kullanılan bu elemanlar eğilme yüklemesine maruz kalmaktadır.

Bu bölümde amacımız, eğrisel eksenli bu tip elemanlarda, eğilme yüklemesi sonucu ortaya çıkan gerilmeleri ve şekil değiştirmeleri formülüze etmektir.

(Daha önce 5.1 bölümünde doğrusal eksenli çubuklar için kullandığımızı yaklaşımın benzerini eğrisel eksenli çubuklar için yapacağız.)

Şekil 5.6.1

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3 of 12

3

23.08.2024

 

C

A

.B

D.

E

J

K

 

r

y

θ

y

x

 

 

y

y

x

 

 

Tarafsız Düzlemin bir kenarı (uzamayan lif)

Çubuk ekseni

Yüklemeden önce

(orijinal şekil)

Yüklemeden sonra

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Çubuğun şekil değiştirmemiş ekseni eğriseldir. Yüklemeden sonra biraz daha şekil değiştirir.
  2. Çubuk Kesiti en az bir eksene göre simetriktir.
  3. Uzamayan liflerin bulunduğu Tarafsız Düzlem kesitin ağırlık merkezinden geçmeyebilir. Aralarında e kadarlık bir mesafe vardır. Problem çözümlerinde bu e mesafesinin hesaplanması gerekir.
  4. Tam orta kesit için düşünürsek, eksen takımı kesitin uzamayan lifine yani O noktasına yerleştirilir. (Doğrusal çubuklarda G ve O çakışık ve e=0 idi.)

Uzamayan lif

O

5.6.1.1 Önemli Noktalar:

G

 

 

e

e

 

 

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

 

Çubuğu liflerden oluşmuş gibi düşünürsek;

5.6.1 Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesapları

z

y

R

r

C

y

O

G

Tarafsız Eksen

 

kesit

e

Şekil 5.6.2.a

Şekil 5.6.2.b

Şekil 5.6.2.c

Şekil 5.6.2.d

 

teğet

x

y

teğet

O

G

K

J

 

 

 

a

b

 

C

 

 

4 of 12

4

23.08.2024

 

Hooke bağıntısından :

 

Gerinme(birim uzama veya kısalma):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uzamayan lif için:

 

 

JK lifindeki toplam kısalma miktarı:

JK lifindeki gerinme (strain) miktarı:

 

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(5.6.2)

(5.6.1)

Şekil 5.6.2.a

Şekil 5.6.2.b

 

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

 

C

A

.B

D.

E

J

K

 

r

y

θ

y

Çubuk ekseni

Yüklemeden önce

(orijinal şekil)

Uzamayan lif

O

G

e

 

x

 

 

y

y

x

 

 

(uzamayan lif)

Yüklemeden sonra

 

 

 

 

 

 

 

e

 

5 of 12

5

23.08.2024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

olmalıdır.

Kesitteki İç Normal Kuvvet = 0

sıfır olmalıdır.

 

İntegralin dışı sıfır olamaz. O halde:..>>

Herhangi bir dış normal kuvvet olmadığı için,

iç Normal Kuvvet de

 

Hooke bağıntısı :

Normal iç Kuvvet :

Ancak bu son denklemde R ve Δθ bilinmemektedir. Bunları bulmak için işlemlere devam ediyoruz:

 

Tarafsız eksenden geçen eğrisel eksenin (veya uzamayan lifin) eğrilik yarıçapı

 

Örneğin Kesit dikdörtgen olursa:

 

 

 

G

 

 

 

O

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ağırlık merkezinin yeri

(statikten bildiğimiz formül):

 

 

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(5.6.3)

(5.6.4.a)

(5.6.4.b)

Denklem 5.6.2’yi Hooke bağıntısında yerine koyarsak:

Şekil 5.6.2.a

(5.6.5)

Şekil 5.6.4

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

C

A

.B

D.

E

J

K

 

r

y

θ

y

Çubuk ekseni

Yüklemeden önce

(orijinal şekil)

Uzamayan lif

O

G

e

 

x

 

Şekil 5.6.3

.

 

 

 

 

 

 

 

6 of 12

6

23.08.2024

Tablo 5.6.1 : Bazı Kesitler için R formülleri:

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(5.6.6.a)

(5.6.6.b)

(5.6.6.c)

(5.6.6.d)

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

7 of 12

7

23.08.2024

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kesitteki İç Eğime Momenti : M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

olduğundan

ve dolayısıyla

O halde:

 

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(denk 5.6.3’ü yerine koyarsak:)

(dif. kuvvet)

(moment kolu)

Şekil 5.6.2.a

Şekil 5.6.2.b

olur.

(5.6.7)

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

 

C

A

.B

D.

E

J

K

 

r

y

θ

y

Çubuk ekseni

Yüklemeden önce

(orijinal şekil)

Uzamayan lif

O

G

e

 

x

 

 

y

y

x

 

 

(uzamayan lif)

Yüklemeden sonra

 

 

 

 

 

 

 

e

 

Denk. 5.6.4.a

8 of 12

8

23.08.2024

 

 

 

 

r-R =y koyarak

 

 

 

Denklem (5.6.3) ü hatırlarsak:

  • (5.6.8) ve (5.6.9) nolu denklemlerinden birisiyle bir noktadaki gerilme hesaplanabilir.
  • Noktanın koordinatı r veya y dir ve bilinen değerlerdir.
  • e ve R değerleri ise problem içinde ayrıca hesaplanmalıdır.

Herhangi bir noktadaki Normal Gerilme:

 

Son bulduğumuz eşitliği tekrar yazalım:

 

 

 

 

bulmuştuk

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

(Burada herhangi bir JK lifinin, DE uzamayan lifinin daha altında ve daha uzun olduğunu düşündük)

(5.6.8)

(5.6.9)

(5.6.10)

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

y

Uzamayan lif

C

A.

.B

D

E

J

K

 

r

y

θ

x

Çubuk ekseni

Yüklemeden önce

(orijinal şekil)

O

G

e

 

 

 

y

y

x

 

 

Tarafsız Düzlemin bir kenarı (uzamayan lif)

Yüklemeden sonra

 

 

 

 

 

 

 

e

 

Uzamayan lif:

Şekil 5.6.2.a

Şekil 5.6.2.b

9 of 12

9

23.08.2024

 

 

 

 

 

 

 

Dikdörrgen kesitli, eğri eksenli çubuğa

M = 500Nm lik bir eğilme momenti uygulanırsa, çubukta oluşan maksimum çeki ve bası gerilmelerini hesaplayınız.

(b=50mm, h=25mm)

Çözüm:

 

 

Bu denklemde bilinmeyenler R ve e değerleridir. Bunları sırayla hesaplayalım:

 

Şiddetçe en büyük gerilmeler tarafsız eksenden en uzak noktalardadır.

 

 

 

 

 

 

 

 

Çubuk ekseni

Örnek 5.6.1

 

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

G

 

 

 

O

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

(5.6.4.b) denkleminden:

 

 

kesit

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 5.6.5

Şekil 5.6.6

10 of 12

10

23.08.2024

 

 

P

40mm

60mm

a

a

Örnek 5.6.2 Şekil 5.6.7 deki kreyn kancasında a-a kesitinde oluşan maksimum çeki gerilmesini hesaplayınız.

P=15kN

a-a kesiti

C

C

25mm

60mm

35mm

P

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

σb2 >0

çıksın.

Soldaki şekilden rb<R olduğu görülür. M<0 (negatif işaretli) alınmalıdır ki:

 

 

Moment döndürme yönüne dikkat edilirse b noktasında çeki gerilmesi oluşacağı anlaşılır.

M momentinin işaretine karar verelim:

Bunun için sadece M etkisinin olduğu üstteki 2 nolu şekli düşüneceğiz.

1

2

Şimdi gerilme formülündeki bilinmeyenler olan R ve e değerlerini hesaplamalıyız:..>>

 

 

Momentin şiddeti:

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

Çözüm: Kancanın a-a kesiminin alt kısmının statik dengesini düşünelim (ayırma prensibi)

 

 

 

 

 

 

f-b kesitindeki iç çeki kuvveti ve iç eğilme momentini sırayla oluştuğunu düşünebiliriz. (süperpozisyon prensibi)

σb1

σb2

(Denk.5.6.8)

 

 

 

 

 

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

 

 

 

 

Şekil 5.6.7

Şekil 5.6.8

11 of 12

11

23.08.2024

40mm

60mm

a

a

P=15kN

C

 

 

Tablo 5.6.1 deki trapez kesit formülü

 

 

 

 

 

Bu örnek için değerler:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

25mm

40mm

h=60mm

35mm

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

.

.

.

.

.

 

 

 

 

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

a-a kesiti

Ağırlık Merkezi:

Şekil 5.6.9

Şekil 5.6.10

12 of 12

12

23.08.2024

Örnek Soru 5.6.3: Şekildeki T kesitli makine parçasının emniyetli bası mukavemeti 50MPa olduğuna göre, uygulanabilecek en büyük P kuvvetinin değerini hesaplayınız.

P

P

C

30mm

40mm

20mm

20mm

80mm

C .

30mm

 

 

60mm

 

 

 

1

2

G1

G2

G

 

 

 

 

 

 

a-b kesiti

 

Eğri Eksenli Çubukların Eğilmesi

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 5.6.11.a

Şekil 5.6.11.b