Автор Ильясова Н. Ш:�Должность: учитель математики�Название учреждения: МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №14 с углубленным изучением отдельных предметов» �Название материала: Презентация к мастер-классу «Преподавание элементов теории вероятности и статистики в 5-11 классах, система подготовки учащихся к ГИА по данной теме»�Название предмета: Математика�Возраст (класс) учащихся: 10 -17 лет (5 – 11классы).

Необходимость изучения стохастической линии в современной школе.

• Включение в основной курс математики элементов статистики и теории вероятности обусловлено значением и местом вероятностно-статистических понятий в общей системе знаний и представлений современного человека. Вероятностно-статистические представления стали неотъемлемой составляющей функциональной грамотности человека, они играют важную роль в самых разных областях его практической деятельности.
• Без соответствующей подготовки затруднены восприятие и адекватная интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации. Все это с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления подрастающего поколения.

​

Цели изучения основ вероятности и статистики в основной школе.

• Овладение системой вероятностно-статистических представлений , необходимых человеку в повседневной жизни, для изучения на современном уровне общественных и естественно-научных дисциплин в основной школе, а также на завершающих этапах получения общего и профессионального образования.
• Формирование представлений об универсальности вероятностно-статистических законов, о стохастике как базе современного описания научной картине мира, средстве моделирования общественных, социальных, экономических и естественно-научных процессов и явлений.
• Формирование вероятностной интуиции, статистической культуры, комбинаторного мышления, умения делать обоснованные выводы на основе имеющейся информации.

​

• Овладение такими важнейшими методами познания, как нахождение закономерностей в случайных процессах, создание адекватных моделей явлений, экспериментальная проверка гипотез.
• Воспитание культуры личности через раскрытие философско-мировоззренческих аспектов вероятностно-статистических понятий, через раскрытие истории их становления и развития.
• И даже – реальное, а не надуманное воспитание патриотизма путем знакомства с уникальной и определяющей ролью российских ученых в становление теории вероятностей и математической статистики как полноправной части математики, осознания достижений отечественной математической науки как части национального достояния.

​

• Для основного общего образования по теме «Элементы логики, комбинаторика, статистики и теории вероятностей» установлен следующий обязательный минимум:
• — Множества и комбинаторика. Множества, элементы множества. Подмножества. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.
• — Статистические данные. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результаты измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки. Понятие и примеры случайных событий.

• — Вероятность. Частота событий, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.

​

• При организации уроков по данной теме используется деятельностный подход.
• Именно поэтому доминантной формой учения на этих уроках по изучению вероятностно- статистического материала является поисково- исследовательская деятельность, которая является основной формой и средством как убеждения учащихся в справедливости определенных суждений, связанных с теорией вероятности, так и получения новых фактов.
• Процесс обучения строится в логике личностно-ориентированного обучения, опираясь на субъектный опыт ученика. Занятия направленны на активную самостоятельную познавательную деятельность

​

• Решение заданий �№14, 15, 18, 19 (модуль «Реальная математика») ОГЭ 2017
• Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

​

ОГЭ 9 класс

Задачи по теории вероятностей и статистике появились в экзаменационных работах ГИА в 2011 году и сегодня заняли прочное место в них. Для решения этих заданий необходимы умения извлекать статистическую информацию из таблиц, диаграмм и графиков, знания числовых характеристик и статистических понятий: среднего арифметического, моды, медианы, размаха ряда и умения ранжировать ряд, вычислять названные выше величины для данной выборки. Навыки вычисления вероятности события по классическому определению.

​

В Демоверсии 2017 года

Задание №14 содержит таблицу данных, по которой надо выбрать ответ на поставленный вопрос, проанализировав исходные величины.

Задание №15 требует извлечь информацию представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

Задание №18 на анализ реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц ;

Задание №19 задача на вычисление вероятности события по классическому определению вероятности.

В каталоге по умениям прототипы задний на умения работать со статистической информацией, находить частоту и вероятность случайного события находятся в п.6

6.1. Извлекать статистическую информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках

6.2. Решать комбинаторные задачи путем организованного перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения

6.3. Вычислять средние значения результатов измерений

6.4. Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные

6.5. Находить вероятности случайных событий в простейших случаях

​

Модуль «Реальная математика»

№14. В таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для 9 класса.

​

​

​

​

Какую отметку получит мальчик, пробежавшая эту дистанцию за 4,69 секунды?

1) Отметка «5». 2) Отметка «4». 3) Отметка «3».

4) Норматив не выполнен. 5) Не определено. Ответ: 2

№ 19. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 6 с картошкой, 7 с капустой и 3 с рисом. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с картошкой.

Ответ: 0,375

​

• №15. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

​

№18. На круговой диаграмме показано, как распределяется (в процентах) длительность телефонных разговоров сотовых абонентов компании «Мобил». Какой процент составляют разговоры, длительность которых не превышает  минут?

​

​

​

​

​

ИЛИ №18. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.

​

​

​

К урокам стохастики 9 класс

• Презентации
• Методика
• Литература
• Повторение
• Статистические характеристики
• Тренажер

Решение заданий �№4 (профильный уровень) и №10 (базовый уровень) �ЕГЭ 2017

Элементы комбинаторики,

статистики и теории

вероятностей

Введение

• Презентация составлена по материалам Открытого банка заданий ЕГЭ 2017. В презентацию включен необходимый теоретический материал и образцы решений заданий (практика) а так же задачи для самостоятельного решения (домашнее задание) и ответы к ним. Может быть полезна учащимся для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.

Для успешного решения задач этого типа необходимо:

• Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
• Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
• Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
• Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Повторить материал по темам:

• Элементы комбинаторики
• Поочередный и одновременный выбор
• Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона
• Элементы статистики
• Табличное и графическое представление данных
• Числовые характеристики рядов данных
• Элементы теории вероятностей
• Вероятности событий
• Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач

​

Классическое определение вероятности

• �Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.��

​

• Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

Формула классической теории вероятностей

Число благоприятных исходов

Число всех равновозможных исходов

Вероятность события =

Вероятность события - это десятичная дробь, а не целое число!

Перестановки

• Перестановкой множества из n  элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

​

Число перестановок можно вычислить по формуле P_n=n!

Размещения

• Размещениями множества из n различных элементов по m (m≤n) элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по m элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

​

Сочетания

• Сочетаниями из n различных элементов по k элементов называются комбинации, которые составлены из данных n элементов по k элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, k -элементные подмножества данного множества из n элементов).

Практика

Задача 1:В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Задача 3: Игральный кубик подбрасывают дважды. Определите вероятность того, что при двух бросках выпадет разное количество очков. Результат округлите до сотых.

• Решение: Всего возможных комбинаций: 6 * 6 = 36.�Из них благоприятные исходы можно перечислить:�1-й кубик 2-й кубик�1 очко 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. �2 очка 1, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. �3 очка 1, 2, 4, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. �4 очка 1, 2, 3, 5 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. �5 очков 1, 2, 3, 4 или 6 очков. Благоприятных исходов 5. �6 очков 1, 2, 3, 4 или 5 очков. Благоприятных исходов 5. �Хотя проще было бы посчитать число неблагоприятных для нас исходов. Когда выпадет одинаковое число очков 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6. Таких исходов 6. Всего исходов 36. Тогда благоприятных исходов 36 – 6 = 30. Итак, всего благоприятных исходов 30. Найдем отношение 30/36 = 0,83333…
• Ответ. 0,83

​

Для самостоятельного �решения

• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,11)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,14)
• В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.(ответ: 0,17)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,01)
• В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых. (ответ: 0,07)
• �

​

Задача 4: Перечислить все трехзначные числа, в записи которых встречаются только цифры 1 и 2.

Задача 5:Три друга – Антон (А), Борис (Б) и Виктор (В) – приобрели два билета на футбольный матч. Сколько различных вариантов посещения футбольного матча для троих друзей?

2

Задача 6: Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов (А), Григорьев (Г), Сергеев (С) и Федоров (Ф), тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

2

Задача 7: Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих 5 языков?

2

Задача 8: Три друга – Антон, Борис и Виктор – приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

2

Задача 9: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, при условии, что цифра в числе не может повторяться?

2

Задача 11: В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.

Для самостоятельного �решения

1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии.

2. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Македонии.

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 22 из Великобритании, 19 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Аргентины, 9 из Бразилии, остальные — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

Задача 14: В среднем из 50 аккумуляторов, поступивших в продажу 7 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Для самостоятельного решения

• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ:0,96 )
• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 170 качественных сумок приходится шесть сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. (Ответ: 0,96)
• В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
• В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится четыре сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
• Фабрика выпускает сумки. В среднем на 110 качественных сумок приходится пять сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Произведение вероятностей

• Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно.
• Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Сложение вероятностей

• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
• Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

​

�Желаю удачи!