TABEL

MORTALITAS

Oleh:

Neva Satyahdewi, M.Sc., CRA., CRP., CRMP.

¹

^OVERVIEW

Perusahaan asuransi jiwa mendasarkan semua perhitungan premi, jumlah asuransi dsb pada tabel mortalitas/kematian (mortality table).

•

•

^{Tabel mortalitas berisi peluang seseorang mati}

^berdasarkan

^umurnya

^dari

^kelompok

^orang

^{yang diasuransikan (pemegang polis).}

²

•

^Struktur

^tabel

^mortalitas:

³

x l_x d_x 1000q_x e_x

0 1.023.102 23.102 22,58 62,33

1 1.000.000 5.770 5,77 62,76

. . . . .

. . . . .

99 125 125 1.000,00 0,5

•

^l_x

^{: jumlah orang yang tepat berusia x.}

•

^{Orang yang lahir di saat yg bersamaan disebut}

KOHORT, dilambangkan dg l₀, dan tersisa

sebanyak l_x orang yg mencapai usia x

•

^d_x

^:

^jumlah

^orang

^yg

^mati

^sebelum

^mencapai

^{usia x+1 tahun. Jadi,}

^l_x+1

^{= l}_x ^{– d}_x

⁴

•

^{Misal, w : usia tertinggi --->> l}_w ^{> 0 dan}

^l_w+1

^{= 0.}

^{Artinya, w}

^{oleh suatu}

^{adalah usia tertinggi yg dapat dicapai}

^kohort.

•

^1000q_x

^:

^{peluang seseorang}

^berusia

^{x akan}

^{meninggal sebelum usia x+1 dikalikan 1000 (agar}

^{tidak terlalu banyak angka di belakang koma)}

•

^e_x ^{: harapan hidup seseorang pada usia x}

⁵

•

^Tabel

^mortalitas

^yg

^umum

^digunakan

^adalah

¹⁹⁴¹

^Commisioners

^Standard

^Ordinary

^(CSO)

^{Mortality Table yang berasal dari AS.}

•

^Cara

^{membuat tabel}

^mortalitas

^ialah

^mengamati

sejumlah kohort, kemudian mencatat berapa banyak

orang tsb yang mati setiap tahun sampai kohort yg

diamati mati semuanya.

•

Apa

dulu

mati

^{kesulitannya…???}

^--->>

^Yang

^mengamati

^mati

^{sebelum semua anggota kelompok yg diamati}

^semuanya.

⁶

^{TABEL MORTALITAS CSO 1941}

^{(COMMISIONERS}

^STANDARD

^ORDINARY)

⁷

•

^{Dari tabel dapat dilihat}

^bahwa:

^l₀

l₉

w

^d23

^q13

^e₃₄

⁼

=

=

=

=

=

^{1.023.102 orang}

973.869 orang;

99 tahun ;

2.531 orang;

^;

^{1,98/1000 = 0,00198;}

34,29 tahun.

⁸

•

^{Sejumlah l}₀ ^yg

^dipilih

^{sembarang disebut}

^radix.

•

^Perhatikan:

^l_x ^{− l}_{x +1}

^d _x

q =

=

x

^l_x

^l_x

^{Artinya: peluang}

^seseorang

^yg

^berusia

^x

^akan

^mati

^{sebelum hari ulang tahunnya yg}

^{ke x+1 sama dengan}

^{banyaknya orang dlm kohort yg mati antara usia x dan}

^{x+1 (d}_x^{) dibagi dgn jumlah orang yang berusia x (l}_x^).

⁹

•

_n^p_x

^{ialah peluang seseorang}

^{berusia x}

^akan

^hidup

^{(paling sedikit) n tahun.}

p

^l_{x + n}

=

n

x

^l_x

^Atau,

_n^p_x

^{adalah jumlah orang (dari sebanyak l}_x ^pada

^usia

^x)

^{yg mencapai}

^usia

^x+n

^(l_x+n^{) dibagi}

^jumlah

^{orang pada usia x.}

^l_{x +1}

p =

^{Bila n=1, penulisannya:} ₁^p_x^=p_x^{. Jadi,}

x

l

x

¹⁰

•

_n^q_x

^{menyatakan peluang}

^seseorang

^berusia

^x

^akan

^meninggal

^{dalam n}

^tahun,

^atau

^sebelum

^{mencapai n+x tahun.}

^l_{x + n}

= 1 −

= 1 −

q

p

n

x

n

x

^l_x

^l_x ^{− l}_{x + n}

=

^l_x

•

^{Bila n=1, ditulis:}

₁^q_x

⁼

^q_x ⁼

^{1 – p}_x^.

¹¹

•

_m|n^q_x

^akan

^{ialah peluang seseorang yang}

^{berusia x}

^hidup

^m

^{tahun tetapi}

^mati

^dalam

ⁿ

^{tahun kemudian, yaitu mati antara}

^usia

^x+m

^dan

^{x+m+n tahun.}

^lx +m ^{− l}x +m+n

_n ^d _{x +m}

q =

=

m|n x

^l_x

^l_x

^d _{x + m}

=

q

•

^Bila

^{n=1, ditulis:}

_m|1^q_x

⁼

_m|^q_x^.

^Jadi,

m| x

l

x

¹²

_n^d_x+m

^l_x

^l_x+m+n

^l_x+m

^x

^x+m

^x+m+n

¹³

^CONTOH

¹⁾

^Dengan

^menggunakan

^tabel

^CSO

^1941,

^berapakah

^peluang

^seseorang

^berusia

^thn?

⁴⁰

^thn

^{akan mati antara usia 55 dan}

⁶⁰

^Jawab:

•

^{x = 40 ; x+m =}

^{>> n = 5}

⁵⁵

^-->>

^m

⁼

¹⁵

^;

^x+m+n

⁼

⁶⁰

^--

•

_m|n^q_x

⁼

_15|5^q₄₀

¹⁴

•

_15|5^q₄₀

⁼

=

=

^(l₅₅ ^{– l}₆₀^)/(l₄₀⁾

^{(754.191 – 677.771)/(883.342)}

0,08651

•

^{Jadi peluang orang yg berusia 40 thn itu}

^mati

^{antara usia 55 dan 60 thn adalah}

^0,08651.

•

^Atau

_15|5^q₄₀

⁼

₁₅^p_{40 5}^q₅₅

^.

¹⁵

²⁾

^Suatu

^berusia

^keluarga

^mempunyai

²

^anak,

^masing2

¹

^thn

^dan

¹¹

^thn.

^Carilah

^{peluang tepat}

^seorang

^{anak akan mati sebelum usia 50 thn?}

^Jawab:

Ada dua kejadian yakni anak 1 thn mati tapi 11 thn

^{hidup atau anak 1 thn hidup tapi 11 thn mati.}

^Tiap

^dua

^kejadian

^kejadian

^bersifat

^independent

^sedangkan

^{bersifat mutually exclusive.}

¹⁶

^Shg,

^Peluang

^tepat

^seorang

^anak

^akan

^mati

^{sebelum usia 50 thn adalah}

⁼

=

=

=

₄₉^q_{1 39}^p₁₁

^.

⁺

₄₉^p_{1 39}^q₁₁

^.

^(l₁ ^{– l}₅₀^)/(l₁^{) . (l}₅₀^)/(l₁₁^{) + (l}₅₀^)/(l₁⁾

^{. (l}₁₁ ^{– l}₅₀^)/(l₁₁⁾

^l₅₀^.(l₁ ⁺

^l₁₁

^-2l₅₀^{) / (l}₁ ^{. l}₁₁⁾

^{810.900 (1.000.000 + 969.890}

[(1.000.000)(969.890)

0,29103

^{– 2(810.900)) /}

⁼

¹⁷

³⁾

^{Suatu perusahaan asuransi}

^{antara 43 thn sampai 47 thn}

^memiliki

^sbb:

^data

^yang

^mencakup

^usia

^{Buatlah tabel mortalitas untuk jangka waktu pengamatan tsb!}

¹⁸

Usia Banyak yg diamati Banyak yg mati

43 3602 27

44 4233 34

45 5817 50

46 1849 17

47 4651 46

^Jawab:

^I.

^II.

^III.

^IV.

^{Hitung peluang mati selama setahun (q}_x⁾

^{Tentukan radix}

^{Hitung l}_x^,

^l_x+n^,

^d_x^,

^d_x+n

^{Susun dalam tabel mortalitas}

^----+++----

^{Hitung peluang mati selama setahun (q}_x⁾

^I.

¹⁹

Usia (x) # yg diamati # yg mati q^x

43 3602 27 _0,007496

44 4233 34 _0,008032

45 5817 50 _0,008595

46 1849 17 _0,009194

^{47 4651 46} _0,00989

^II.

^Misal

^radix,

^l₄₃

^{= 100.000 -->> sembarang}

^II.

^d₄₃

^l44

^d44

^l45

dst….

⁼

=

=

=

^{(100.000)(0,007496) ≈ 750}

100.000 – 750 = 99.250

(99.250)(0,008032) ≈ 797

^99.250

^{– 797 = 98.453}

²⁰

•

^Tabel

^mortalitas:

²¹

^{x l}_x ^d_x ^1000.q_x

43 100.000 750 7,5

44 99.250 797 8,03

45 98.453 846 8,6

46 97.607 897 9,19

47 96.710 956 9,89

^{48 95.754}

​

men

^gkas)

^{HARAPAN HIDUP}

^e_x

•

^{yatakan harapan hidup menurut}

^usia.

•

^{Dua macam harapan hidup:}

^e_x

–

^{,Curtate expectation of}

^{life (harapan hidup}

rin

^e_x

–

^{,Complete expectation}

^{of life (harapan hidup}

^lengkap

²²

•

^{Harapan hidup diringkas,}

Artinya, rata-rata jumlah tahun akan dialami oleh seseorang yg tahun.

^{yg lengkap yg masih}

^{sekarang berusia}

^x

•

^{Tahun yang lengkap,}

Artinya, tahun yang penuh dialami. Misal, orang

lahir 21 Juli 1987 dan mati 18 Oktober 2011, maka

dianggap dia mati 21 Juli 2011, sdg sisanya tidak

diperhitungkan

²³

​

+ l_w

•

^{Misal; Pandang sebanyak l}_x ^{orang yg semua}

^{tepat berusia x tahun. Sebanyak}

^l_x+1

^orang

^{darinya masih akan hidup pd tahun ke x+1,}

^sebanyak

^l_x+2

^{orang darinya masih akan hidup}

^{pada tahun ke x+2, dst, dan tinggal l}_w ^{yg masih}

^{hidup untuk tahun terakhirnya. Jadi jumlah}

^{tahun lengkap yg dialami oleh l}_x ^{orang sampai}

^{semua mati adl}

+

+

^l_x+1

^l_x+2

²⁴

​

+ l_w

•

^{Artinya, setiap orang dari l}_x

^pada

^rata-ratanya

^mpy

^{harapan hidup,}

+

+

^l_{x +1}

^l_{x +2}

=

e

x

^l_x

²⁵

•

•

^{Contoh: Hitunglah}

^e₉₅

^{untuk tabel CSO 1941!}

^{Dari tabel, didapatkan}

^l₉₅

^{= 3011, l}₉₆⁼

^1818,

^l₉₇

⁼

^1005,

^l₉₈

e

^{=454 dan}

^l₉₉

^{= 125, jadi}

^l₉₆ ^{+ l}₉₇ ^{+ l}₉₈ ^{+ l}₉₉

=

95

^l₉₅

1818 + 1005 + 454 + 125

=

3011

= 1,13 tahun

²⁶

_; ^lw ₌

l ^w

⁺ w− x ^px

•

^Karena,

^lx +1

^l_{x +2}

^l_{x +3}

^{= p}_x ^;

=

=

^p_x ^;

^p_x ^;

p

2

3

− x x

^l_x

^l_x

^l_x

x

^maka,

=

+

+

^p_x ⁺

^e_x

^p_x

^p_x

2

3

²⁷

•

^{Bila dalam perhitungan harapan hidup, tahun}

^{tidak lengkap yang dialami seorang anggota lx}

^{ikut diperhitungkan (complete expectation}

^of

^{life), maka}

^sebagai,

^{harapan hidup didefinisikan}

w− x

_∫

1

e^o

=

l

dt

x

x +t

^l_x

0

w− x

_∫

=

^p_x

dt

t

0

.

²⁸

•

^Untuk

^{interval [0,1]}

1

^l_x ^{+ l}_{x +1}

∫

⁰

l

dt

≒

x +t

2

•

^Untuk

^{interval [1,2]}

2

^l_{x +1} ^{+ l}_{x + 2}

∫

¹

l

dt

≒

x +t

2

²⁹

_⎞

^⎟

•

^{Dengan cara}

^didapatkan,

1

^{yg sama}

^{untuk semua}

^interval

^l_x ^{+ l}_{x +1}

^l_{x +1} ^{+ l}_{x +2}

_⎛

^⎜

e^o

+

+

≒

x

l

2

2

⎝

⎠

x

•

^{Didekati dgn,}

1

2

o

^e_x ^{≒ e}_x ⁺

³⁰

•

^eo₉₅

^Contoh:

^Hitunglah

^untuk

^CSO

^1941!

1

2

e^o

≒ e +

95

95

1

2

≒ 1,13 +

≒ 1, 63

³¹

_{+ lw} ⎞

⎟

+ l_w

+ l_w

•

^{Contoh: Buktikan e}_x ^{= p}_x ^{(1 +}

^e_x+1⁾

_⎛

^{1 +}

+

+

+

^l_{x +1}

^l_{x + 2}

^l_{x +3}

^l_{x + 4}

(^{1 + e}

)

=

p

_⎜

^⎝

_⎛

x

x +1

^l_x

^lx +1

^l_{x +1}

+ l

⎠

_⎞

⎟

+ l

+ l

+

l

x +1

x + 2

x +3

x + 4

=

⎜

⎜

⎟

^l_x

^lx +1

^l_{x +1}

⎝

⎠

+

+

+

+

^l_{x + 2}

^l_{x +3}

^l_{x + 4}

=

^l_x

(terbukti).

​

=

^e_x

³²

^qx +1 ⁺ 2 ^px ^qx +1 ⁺

^d _{x +1}

_l

^d _{x + 2}

_l

_{) =} ^lx

^l

•

^{Contoh: Buktikan dan jelaskan}

^{kalimat verbal bahwa,}

^kebenaran

^bukti

^tsb

^dengan

^q_x ⁺

^p_x^.q_x+1

⁺

₂^p_x^.q_x+2

^{+ …… = 1}

^q_x ^{+ p}_x

d _x

^Bukti:

^l_{x +1}

^l_{x + 2}

=

+

+

+

^l_x

1

^l_x

^l_x

x +1

x + 2

( ^d _x

=

+

+

+

^d _{x +1} ^d _{x + 2}

^l_x

x

= 1

(terbukti).

³³

•

^{Kebenaran dalam kalimat verbal:}

^{Suku pertama q}_x ^{menyatakan peluang seorang yg berusia x}

^{tahun mati sebelum x+1 tahun, artinya mati pada interval}

^{waktu (x, x+1). Suku kedua}

^p_x^.q_x+1

^{menyatakan peluang}

^{orang tsb mencapai usia x+1 tahun dan mati sebelum x+2}

^{tahun, atau mati pada interval waktu (x+1, x+2). Suku ketiga}

₂^p_x^.q_x+2

^{menyatakan peluang orang tsb mencapai x+2 tahun}

dan mati sebelum x+3 tahun, atau mati pada interval waktu

(x+2, x+3), dan demikian seterusnya, sehingga jika

dijumlahkan semua maka sesungguhnya jumlah tersebut

adalah peluang seorang mati pada tahun-tahun berikutnya.

Dikarenakan orang pasti mati, maka jumlah peluang

tersebut harus sama dengan 1.

³⁴

^{TABEL MORTALITAS PRIA AMERIKA}

•

^{Tabel CSO 1941 hanya ditentukan oleh usia x tahun saja.}

•

Realitas: asurador tidak memberikan polis pada mereka yg

sekarat atau faktor lain yg dianggap merugikan perusahaan.

•

Misal, difokuskan masalah kesehatan, asurador terkadang

mensyaratkan adanya tes kesehatan. Polis diberikan jika

calon tidak mengidap penyakit yg “dianggap” berbahaya.

Sehingga, tingkat kesehatan orang yg baru diasuransikan

rata-rata lebih baik drpd yg sudah agak lama diasuransikan,

pada umur yg sama. Akibatnya, diasumsikan peluang mati

orang yg baru diasuransikan lebih rendah drpd orang yg

sudah agak lama diasuransikan.

³⁵

•

^{Kondisi semacam itu, disebut pengaruh seleksi permulaan.}

•

Pengaruh seleksi permulaan akan hilang beberapa tahun kemudian,

artinya peluang mati mereka sama dg orang lain pada usia x,

sehingga pada kondisi ini peluang mati hanya tergantung pada usia

^{x tahun saja.}

•

Tabel mortalitas yg memperhitungkan pengaruh seleksi permulaan

disebut select, sedangkan yg tidak memperhitungkan pengaruh

seleksi/yg pengaruhnya telah hilang disebut ultimate.

•

Biasanya, pengaruh seleksi permulaan dianggap hilang setelah 3 – 5

tahun.

³⁶

³⁷

​

Age at

Issue (x)

Year of Insurance

​

Attained

Age

​

1

​

2

​

3

​

4

​

5

6 and

over

¹⁵

^2.47

^3.24

^3.41

^3.55

^3.72

^3.92

²⁰

¹⁶

^2.52

^3.31

^3.48

^3.63

^3.82

^4.02

²¹

¹⁷

^2.56

^3.37

^3.55

^3.73

^3.92

^4.12

²²

¹⁸

^2.61

^3.44

^3.64

^3.81

⁴

^4.18

²³

¹⁹

^2.66

^3.52

^3.72

^3.89

^4.07

^4.25

²⁴

²⁰

^2.73

^3.59

^3.8

^3.96

^4.13

^4.31

²⁵

²¹

^2.78

^3.66

^3.86

^4.01

^4.18

^4.35

²⁶

²²

^2.83

^3.72

^3.91

^4.06

^4.21

^4.39

²⁷

²³

^2.86

^3.76

^3.96

^4.08

^4.24

^4.41

²⁸

²⁴

^2.91

^3.8

^3.99

^4.11

^4.26

^4.43

²⁹

²⁵

^2.93

^3.84

^4.02

^4.12

^4.27

^4.46

³⁰

²⁶

^2.95

^3.86

^4.04

^4.13

^4.28

^4.48

³¹

²⁷

^2.98

^3.88

^4.06

^4.14

^4.29

^4.51

³²

²⁸

^2.98

^3.91

^4.06

^4.14

^4.32

^4.59

³³

²⁹

^2.99

^3.92

^4.08

^4.17

^4.37

^4.68

³⁴

•

^Perhatikan:

Angka 3,72 untuk usia dikeluarkan (age of issue) 19 tahun dan lama diasuransikan (year of insurance) 3 tahun, menyatakan bahwa peluang seseorang yg sekarang berusia 21

^{tahun yg diasuransikan pada usia}

^{akan mati sebelum usia 22 tahun}

^{19 tahun}

^adl

3, 72

= 0, 00372

1000

³⁸

•

•

^Perhatikan:

Bilangan 4,43 untuk capaian usia (attained age)

^{29 tahun pada lama asuransi 6 dan lebih (6 and}

^{over) menyatakan bahwa peluang seseorang yg}

^{sekarang berusia 29 tahun dan yg telah}

^{diasuransikan}

^{mati sebelum}

^0,00443.

^{paling sedikit 5 tahun yg lalu akan}

^{mencapai usia 30 tahun}

^adalah

•

^{Kolom “6 and}

^{over” adl ultimate.}

³⁹

•

•

^Contoh:

Gunakan tabel mortalitas pria amerika untuk menghitung peluang berikut:

^a)

^{Berapakah peluang seorang pria yg sekarang}

^{berusia 19 tahun yg diasuransikan 2 tahun}

^{akan mati antara usia 20 – 21 thn?}

^lalu

^b)

c)

^Akan

Akan

^{hidup mencapai usia 21 tahun?}

mati antara usia 24 – 25 tahun?

⁴⁰

^a)

Agar org itu dapat mati antara usia 20 thn dan 21 thn, maka dia

harus mencapai usia 20 thn dan mati setahun kemudian. Usia org

itu diasuransikan adl 17 thn. Peluang mencapai usia 20 thn = 1 –

0,00355 dan peluang mati ketika usia 21 thn adl 0,00373.

Sehingga, peluang mati antara usia 20 – 21 thn adl

= (1-0,00355) (0,00373) = 0,00372

^b)

^{Peluang mencapai usia 21 thn adl}

^{= (1-0,00355) (1-0,00373) = 0,99273}

^c)

^{Peluang mati antara usia 24 – 25 thn adl}

^{= (1-0,00355)(1-0,00373)(1-0,00392)(1-0,00412)(1-}

^{0,00418)(0,00425)}

^{= 0,00417}

⁴¹

^LATIHAN

Dua orang masing-masing berusia tahun. Berapakah peluangnya,

^1.

^{18 dan 23}

^a)

b)

^{Paling sedikit seorang mencapai usia 60 thn?}

Keduanya mati sebelum mencapai usia 40 thn?

^2.

^{Berapakah peluangnya seorang yg sekarang}

^{berusia 27 tahun akan mati antara usia 62}

^{dan 68 tahun?}

⁴²

^3.

^{Peluang seseorang berusia 18 akan mencapai usia 28}

^{tahun adl 0,95 dan peluang orang tsb mencapai usia}

^{48 thn adl 0,75. Carilah peluang seseorang berusia 28}

^{thn akan mati sebelum mencapai usia 48 thn!}

^4.

^{Hitung peluang:}

^a)

^{Seseorang yg sekarang berusia 21 thn yg diasuransikan}

^{tahun lalu akan mati antara usia 22 dan 23!}

³

^b)

c)

^Akan

Akan

^{mencapai 24 tahun!}

mati antara usia 25 dan 26!

⁴³

^5.

^{Buktikan bahwa:}

^a)

b)

_m|n^q_x

m+n^px

⁼

=

_m^p_x

m^px

^.

_n^q_x+m

^–

_m|n^q_x

⁴⁴