Volume do Prisma:
Princípio de Cavalieri
Recomposição de Aprendizagem
Sólido geométrico que possui duas bases congruentes formadas por polígonos e faces laterais por paralelogramos.
Paralelogramo
Base quadrada congruente
Volume do prisma
Princípio de Cavalieri
Sólido geométrico que possui duas bases congruentes formadas por polígonos e faces laterais por paralelogramos.
Paralelogramo
Base quadrada congruente
Imagine a seguinte situação:
Uma torneira é ligada, e começa a cair água em um reservatório.
Área da base foi toda preenchida
O líquido vai subindo, e preenchendo o reservatório
Até que todo o reservatório esteja preenchido
Subindo, de forma que o líquido ganhe altura
O volume do prisma representa a quantidade de espaço que esse sólido geométrico ocupa.
Base triangular
Base quadrada
Base pentagonal
Base hexagonal
Base triangular
volume
Área do triângulo
Prisma triangular
Base quadrada
volume
Área do quadrado
Prisma quadrangular
Base pentagonal
volume
Área do pentágono
Prisma pentagonal
apótema
apótema
Segmento com uma extremidade no centro e a outra no ponto médio do lado
Base hexagonal
volume
Área do hexágono
Prisma hexagonal
Área do hexágono
Triângulo equilátero
Área do triângulo equilátero
1
4
5
3
2
6
α
Imagine a seguinte situação:
Dois prismas colocados sobre um mesmo plano alfa (α), e que possuem a área da base e altura congruentes (iguais). A consequência disso, é que seus volumes também são iguais.
Um corte é feito nos prismas por meio de um plano beta (β).
β
β
α
Imagine a seguinte situação:
Um corte é feito nos prismas por meio de um plano beta (β).
Dois prismas colocados sobre um mesmo plano alfa (α), e que possuem a área da base e altura congruentes (iguais). A consequência disso, é que seus volumes também são iguais.
As figuras formadas no corte, são congruentes às bases se seus respectivos prismas.
β
α
Cavalieri observou que, se um desses prismas for deformado, sem modificar o formato das bases ou sua altura, eles continuam com volumes iguais.
O corte realizado pelo plano β ainda gera um quadrado no prisma da direita congruente ao quadrado do prisma da esquerda. Então Cavalieri propôs que, independentemente da altura em que esse corte é feito, o formato da figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são congruentes.
β
α
O corte realizado pelo plano β ainda gera um quadrado no prisma da direita congruente ao quadrado do prisma da esquerda. Então Cavalieri propôs que, independentemente da altura em que esse corte é feito, o formato da figura obtida no segundo prisma é igual ao da primeira e elas são congruentes.
Cavalieri observou que, se um desses prismas for deformado, sem modificar o formato das bases ou sua altura, eles continuam com volumes iguais.
Então o volume do prisma oblíquo também será dado por:
Imagine a seguinte situação:
Um prisma quadrangular que será seccionado por um plano paralelo a base.
α
Quando esse plano secciona o prisma, ele o divide em duas parte.
Essas duas partes iguais possuem a mesma área da base.
Imagine a seguinte situação:
Um prisma quadrangular que será seccionado por um plano paralelo a base.
α
Quando esse plano secciona o prisma, ele o divide em duas parte.
Essas duas partes iguais possuem a mesma área da base.
Imagine a seguinte situação:
α
Agora vamos passar mais planos por esse mesmo prisma.
β
γ
Imagine a seguinte situação:
α
β
γ
Agora vamos passar mais planos por esse mesmo prisma.
Com os novos prismas formados, eles ainda possuem a mesma área da base.
E se somarmos os volumes separadamente, encontraremos o volume do prisma original.
Imagine a seguinte situação:
α
β
γ
Com os novos prismas formados, eles ainda possuem a mesma área da base.
E se somarmos os volumes separadamente, encontraremos o volume do prisma original.
Imagine a seguinte situação:
α
β
γ
Logo, o volume do prisma original, não foi alterado.
Pelo Princípio de Cavalieri:
As figuras têm a mesma altura e a mesma área de seção transversal em todos os pontos ao longo dessa altura, então elas têm o mesmo volume.
Um prisma tem uma altura de 5 m e a sua base triangular, tem uma altura de 3 m e um lado de 4 m. Qual é o seu volume?
SOLUÇÃO:
O volume de uma piscina em forma de prisma de base quadrada é de 3125 m³. Sabendo que a altura dessa piscina é de 5 m, qual é a medida da aresta da base em metros?
SOLUÇÃO:
Qual é o volume de um prisma pentagonal com 6 metros de altura e uma base com lados de 8 metros de comprimento e apótema de 5,5 m?
SOLUÇÃO:
Qual é o volume de um prisma hexagonal que tem lados de 4 metros de comprimento e 6 metros de altura?
SOLUÇÃO:
Clube de Matemática – Crede 14
Bolsista responsável:
Jonas Lima Cavalcante