Autor: Anibal Tavares de Azevedo
CÁLCULO I
SEMANA 01 - AULA 01
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6 Agosto 2008
FUNÇÃO
Em várias situações é interessante saber como estão relacionadas diferentes quantidades. Por exemplo:
(1) O preço de uma ação na bolsa de valores no tempo;
(2) A demanda de energia elétrica (ou de um outro produto qualquer) no tempo;
Nos exemplos anteriores deseja-se conhecer a relação entre o valor de uma variável (preço ação, demanda, etc) com o valor de outra variável (tempo).
Valor de ação
Demanda de energia
Balança Comercial
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FUNÇÃO
Definição de Função:
Uma função f é uma lei que associa cada elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento f(x) em um conjunto E.
Nos exemplos anteriores, ao se fornecer um valor x, correspondente ao tempo, automaticamente fica determinado o valor f(x) (preço, demanda).
x
(entrada)
f
(saída)
Função f(x): x2
Função - Máquina
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FUNÇÃO
x
f
a
f(a)
D
E
f
Diagrama de flechas
Domínio
Imagem
Variável independente
Variável
dependente
Em geral, considera-se funções tais que D e E são conjuntos de números reais.
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FUNÇÃO
Visualizando uma função
0
f(1)
f(2)
f(x)
(x,f(x))
1
2
x
x
domínio
imagem
y=f(x)
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FUNÇÃO
0
1
x
1
Exemplo 1:
(A)Encontrar os valores de f(1) e (5)
(B)Qual o domínio e a imagem de f?
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3
4
5
2
3
4
5
6
7
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FUNÇÃO
0
1
2
x
3
4
5
6
7
1
A função f está definida quando 0≤x ≤7, tal que o
domínio de f é o intervalo fechado [0,7]. Se f varia
de 1 até 5, a imagem de f é: { y|1≤y≤5 } = [1,5].
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3
4
5
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FUNÇÃO
Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio
e a imagem de cada função.
(A) f(x) = 2x - 1
(B) g(x) = x2
0
1/2
-1
(A) f(x) = 2x – 1
0
1
(B) g(x) = x2
1
-1
(2,4)
x
y
y
x
f
g
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FUNÇÃO
Exemplo 2: Esboçe o gráfico e encontre o domínio
e a imagem de cada função.
(A) f(x) = 2x - 1
(B) g(x) = x2
todos os números reais tal que seu domínio é todo
o conjunto dos números reais, denotado por ℜ. O
gráfico mostra também que a imagem é ℜ.
(B)A expressão g(x) = x2 é o uma parábola e é tal
que seu domínio é ℜ. A imagem de g é {y|y≥0}=
[0,∞) como pode ser observado no gráfico.
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FUNÇÃO
Exemplo 3: Se f(x) = 2x2 – 5x + 1 e h ≠ 0, calcule
=2(a2+2ah+h2)-5(a+h)+1 =
(2) (f(a+h)-f(a))/h =
= (2a2+4ah+2h2-5a-5h+1-(2a2-5a+1))/h
= (2a2+4ah+2h2-5a-5h+1-2a2+5a-1)/h
=(4ah+2h2-5h)/h
= 4a+2h-5
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FUNÇÃO
Descrição de uma Função:
Uma função f pode ser representada de quatro formas:
(1) Verbalmente (através de palavras);
(2) Numericamente (tabela de valores);
(3) Visualmente (gráficos);
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FUNÇÃO
Exemplo 4: Encontre o domínio de cada equação:
(A)
(B)
um número negativo, então, o domínio de f são
todos os valores tais que x+2≥0. Isto é: x≥-2 e assim
o domínio é {x | x≥-2} ou [-2,+∞).
(B)Uma vez que a divisão por zero não é permitida
g(x) não está definida para x2+x = 0 → x(x+1) = 0
→x = 0 e (x+1) = 0 ⇒ x = -1. O domínio de g é:
{x | x ≠ 0 e x ≠ -1} ou (-∞,-1) U (-1,0) U (0,+∞).
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FUNÇÃO
Como determinar se uma curva é uma função:
Uma curva no plano XY é considerado o gráfico de uma função f se para todo x1 existe um único f(x1). Em termos gráficos isto significa que uma reta paralela ao eixo y só deve passar por um único ponto pertencente a função f:
0
x
y
(a,b)
b=f(a)
x=a
É função
0
x
y
(a,c)
x=a
Não é função
(a,b)
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Não é função !
FUNÇÃO
Exemplo 5: A equação a seguir é ou não função.
Justifique sua resposta.
0
x
y
(-2,0)
(a,c)
(a,b)
No gráfico ao lado existe um valor de x (x = a) tal que existem dois pontos valores possíveis da função (c e b).
Os valores de a, b e c podem ser encontrados da seguinte forma: O valor a está no eixo y e x = a = 0.
Aplicando x=0 na equação: y2 – 4 = 0 →
y2 = 4 → y = ± 2.
Logo para x = a, c=2 e b=-2 e para um x existe mais de um f(x).
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OBRIGADO !!!
FIM !!!
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