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PROBLEMAS MÉTRICOS

2ºBACHILLERATO

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1. Introducción.

2. Ángulo formado por dos rectas.

3. Ángulo formado por recta y plano.

4. Ángulo formado por dos planos.

5. Proyecciones ortogonales.

6. Distancia entre dos puntos.

7. Distancia entre punto y recta.

8. Distancia entre punto y plano.

9. Distancia entre planos paralelos y rectas paralelas

10. Distancia entre dos rectas que se cruzan

11. Haz de planos

12. Puntos simétricos

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ÁNGULO FORMADO POR 2 RECTAS

VIDEOTUTORIAL

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Calcular el ángulo formado por las rectas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 1

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ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

VIDEOTUTORIAL

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Calcular el ángulo formado por la recta

y el plano

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 2

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ÁNGULO FORMADO POR 2 PLANOS

VIDEOTUTORIAL

R.P. 33, 51, 52, 56, 60, 70, 78,79, 80

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Calcular el ángulo formado por los planos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 3

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ACTIVIDAD 4

VIDEOTUTORIAL

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Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-1,1,2) y es paralela a la recta r intersección de los planos:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VIDEOTUTORIAL

ACTIVIDAD 5

PROCEDIMIENTO 1

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La ecuación de la recta s será:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PROCEDIMIENTO 2

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Utilizamos la ecuación normal del plano 

 

 

 

 

 

 

Escribir la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a las rectas r: (x-1)/2 = (y-3)/3 = (z-1)/1 y s: x/0 = (y-1)/2 = z/-1.

 

 

 

ACTIVIDAD 6

VIDEOTUTORIAL

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Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la recta

 

r

 

 

 

Q

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 7

VIDEOTUTORIAL

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ACTIVIDAD 8

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Plano auxiliar perpendicular a r que pase por P

 

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA

PROYECCIONES ORTOGONALES

VIDEOTUTORIAL

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ACTIVIDAD 9

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PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO

VIDEOTUTORIAL

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DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS

R.P. 2

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a=3, a=1

ACTIVIDAD 10

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Calcula la distancia del punto P (3, 2, 3) al plano

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

VIDEOTUTORIAL

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DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

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Calcula la distancia entre el punto P (1, 1, 0) y la recta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

R.P. 12- 26, 48, 89

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Calcula la distancia entre la recta r y el punto P (0, 1, 0)

 

 

ACTIVIDAD 11

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DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS

R.P. 7- 11

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ACTIVIDAD 12

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DISTANCIA ENTRE PLANO Y RECTA PARALELAS

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ACTIVIDAD 13

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DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS PARALELAS

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Calcular la distancia entre la recta r y la recta s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Punto corte Q entre recta y plano:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 14

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Mediante un plano paralelo que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r.

DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS QUE SE CRUZAN

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Calcular la distancia entre r y s.

 

 

ACTIVIDAD 15

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MEDIANTE USO DE FÓRMULA DIRECTA

R.P. 3 - 6

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Calcular la distancia entre r y s.

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 16

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SECANTES

PARALELOS

r

r

 

 

 

HAZ DE PLANOS

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r

 

 

Sustituimos el punto por el que ha de pasar el haz de planos P(0,0,7)

 

 

 

ACTIVIDAD 17

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Por tanto el plano concreto que contiene a r y pasa por P es:

 

 

 

 

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Otra forma:

 

 

 

Pasemos la recta a forma paramétrica:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,-1,0) y se apoya en las rectas.

 

 

Plano que pasa por A y contiene a la recta r: (Haz de planos)

 

Sustituimos el punto por el que ha de pasar el haz de planos A(2,-1,0)

 

 

RECTA QUE SE APOYA EN 2 RECTAS Y PASA POR UN PUNTO

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Por tanto el plano concreto que contiene a r y pasa por A es:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Para obtener el segundo plano, necesitamos tener la recta s en forma implícita:

 

 

Plano que pasa por A y contiene a la recta s: (Haz de planos)

 

Sustituimos el punto por el que ha de pasar el haz de planos A(2,-1,0)

 

 

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Por tanto el plano concreto que contiene a s y pasa por A es:

 

 

 

La recta pedida será la intersección de estos dos planos:

 

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PUNTOS SIMÉTRICOS

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

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Hallar el punto simétrico del punto P(0,2,-1), respecto al punto Q(-1,0,2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 18

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PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UNA RECTA

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Hallar el punto simétrico de P(2,1,0) respecto de la recta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Punto de intersección Q

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 19

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PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UN PLANO

R.P. 30, 61, 62, 71, 86

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ACTIVIDAD 20

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  • Supongamos que la recta t es la solución, perpendicular a r y a s
  • Hacemos los puntos genéricos P y Q, pertenecientes a r y a s, en función de los parámetros

 

  • Calculamos el vector

 

  • Para que este vector sea el vector director de la recta t, ha de ser perpendicular a los vectores directores de r y s, por lo tanto el producto escalar con ellos será nulo, generando así dos ecuaciones con dos Incógnitas.
  • Con los puntos P y Q obtenidos generar la ecuación de la recta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PERPENDICULAR COMÚN A 2 RECTAS

R.P. 23- 90

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Dadas las rectas:

Se pide:

  1. Comprobar que r y s se cruzan.
  2. Determinar la ecuación de la perpendicular común.
  3. Calcular la distancia entre ambas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 21

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1. Hacemos los puntos genéricos P y Q, pertenecientes a r y a s, en función de los parámetros

 

b) Determinar la ecuación de la perpendicular común.

 

 

 

 

 

2. Calculamos el vector

 

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2. Para que este vector sea el vector director de la recta t, ha de ser perpendicular a los vectores directores de r y s, por lo tanto el producto escalar con ellos será nulo, generando así dos ecuaciones con dos incógnitas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3. Con los puntos P y Q obtenidos generar la ecuación de la recta

 

 

 

 

 

 

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c) Calcular la distancia entre ambas.

 

 

 

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SEPTIEMBRE 2019 OPCIÓN B

ACTIVIDAD 22

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SEPTIEMBRE 2018 OPCIÓN A

 

 

a) Compruebe que el punto P no está en la recta y que el punto Q si lo está.

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 23

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b) Determine el punto R de la recta r tal que el triángulo PQR sea un triángulo rectángulo en P (es decir, con ángulo recto en el vértice P).

 

 

 

Por ser un punto de la recta, cumplirá su ecuación.

Pasemos las ecuaciones a paramétricas para trabajar con punto genérico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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c) Calcule el área de dicho triángulo PQR

 

 

 

 

 

 

 

 

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PAU MURCIA SEPTIEMBRE 2012

Considere las rectas:

 

 

a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 24

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b) En el caso de que se cortan, calcular el punto de corte.

 

 

 

En forma paramétrica:

 

Como el punto de intersección tiene que pertenecer a las dos rectas, sustituimos el punto genérico de r en las ecuaciones de la recta s.

 

 

 

 

 

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MURCIA JUNIO 2011

Determine el plano que sea paralelo a

 

y contiene a la recta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 25

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MURCIA SEPTIEMBRE 2011

Determine un punto de la recta

 

que equidista del

 

Pasemos la recta a forma paramétrica para obtener el punto genérico.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 26

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MURCIA JUNIO 2010

 

 

 

 

Cualquier punto de la recta r será de la forma:

 

El punto más cercano de r será aquél que genere un vector con P que sea perpendicular a la recta y por tanto a su vector director.

 

 

 

 

 

El punto buscado será:

 

 

 

 

ACTIVIDAD 26

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b) Calcular la distancia del punto P a la recta.

 

 

 

 

 

 

 

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MURCIA SEPTIEMBRE 2010

 

1º calculemos la ecuación del plano formado por Q, R y S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 27

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El punto más cercano, corresponderá a la proyección ortogonal del punto P sobre el plano.

Calculemos una recta perpendicular al plano que pase por P

 

 

Cualquier punto de la recta r será de la forma:

 

 

 

 

 

 

El punto buscado será:

 

 

Distancia entre punto y plano es la misma que entre P y P’

 

 

 

 

 

 

 

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MURCIA JUNIO 2012

Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones:

 

 

a) Determina la ecuación de la recta perpendicular común a r y a s.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Calculamos el vector

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 28

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2. Para que este vector sea el vector director de la recta t, ha de ser perpendicular a los vectores directores de r y s, por lo tanto el producto escalar con ellos será nulo, generando así dos ecuaciones con dos Incógnitas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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3. Con los puntos P y Q obtenidos generar la ecuación de la recta

 

 

 

 

 

 

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b) Calcular la distancia entre ambas.

 

 

 

 

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Consideremos las rectas de ecuaciones:

 

 

a) Halla n para que r y s sean paralelas

Expresemos las ecuaciones en forma paramétrica.

 

 

 

 

Para que sean paralelas, sus vectores directores han de ser proporcionales

 

 

 

ACTIVIDAD 30

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b) Con el valor de n obtenido, determina la ecuación del plano que contiene ambas rectas.

 

 

Para calcular dicha ecuación necesitaré el vector director de las rectas un punto de una de ellas y otro vector director que obtendremos con un punto de cada recta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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a) Estudie la posición relativa del plano y la recta en función del parámetro a.

Tomemos el vector normal del plano y el vector director de la recta

 

 

Hagamos su producto escalar para calcular el valor del parámetro que haga que recta y plano sean paralelos o coincidentes.

 

 

 

 

Si a = -8, recta y plano serán paralelos o coincidentes. Comprobemos si el punto (-1,-1,5) de la recta pertenece al plano.

 

 

Como verifica la ecuación, la recta pertenece al plano.

JULIO 2023 CUESTIÓN 6

 

ACTIVIDAD 29

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b) Se sabe que cuando a = 1, la recta corta al plano. Para ese valor de a calcula el punto de corte de la recta y el plano.

 

 

Vamos a pasar la ecuación de la recta a forma paramétrica para trabajar con punto genérico:

 

El punto genérico de la recta será:

 

El punto de intersección será aquel que pertenezca a recta y plano. Sustituimos el punto genérico en el plano para obtener el valor de delta que haga cumplir esa condición.

 

 

 

Sustituimos este valor en el punto genérico, este será el punto de corte:

 

 

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c) Calcule el ángulo que forman.

El ángulo que forman recta y plano será el complementario del que forman el vector normal del plano y el vector director de la recta.

 

 

 

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JULIO 2023 CUESTIÓN 5

 

 

a) Calcule las coordenadas del punto C

Pasemos la recta a forma paramétrica

 

 

 

 

 

 

 

Calculemos la ecuación del plano que es perpendicular a la recta r y que pase por el punto A.

 

 

Lo hacemos pasar por el punto A

 

 

 

 

 

 

 

 

ACTIVIDAD 29

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El punto C buscado será la intersección de la recta y el plano

 

Ese punto genérico de la recta, tendrá que cumplir al ecuación del plano

 

 

 

 

b) Determine si el triángulo ABC tiene un ángulo recto en el vértice A.

SI esta condición se cumple, los vectores AB y AC serán perpendiculares y por tanto su producto escalar será nulo.

 

 

 

 

 

 

Por tanto el ángulo de A es recto

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c) Calcule el área del triángulo ABC

Puesto que sabemos que es un triángulo rectángulo en A podemos calcular el área de una forma sencilla, multiplicando la longitud de la base por la de la altura y dividiéndola por 2.