วิชาคณิตศาสตร์ พื้นฐาน4 ค22102 ม.2
ในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสแสดงความสัมพันธ์ในเลขาคณิตแบบยุคลิดระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ
นิยาม�
⇨ ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านตรง ข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น…..
ประวัติของพีทาโกรัส
พีทาโกรัส (582 — 496 ปีก่อน ค.ศ.; กรีก: Πυθαγόρας) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปราชญ์ชาวกรีกโบราณ, เป็นที่รู้จักในนามเจ้าของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
พีทาโกรัสได้ชื่อว่าเป็น"บิดาแห่งตัวเลข" พีทาโกรัสไม่เพียงแต่มีความสำคัญต่อคณิตศาสตร์ เขายังได้สร้างสรรค์ความคิดหลายอย่างให้กับปรัชญาและศาสนา ในปลายศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล ถึงทุกวันนี้ เราไม่สามารถที่จะพูดถึงชีวประวัติของพีทาโกรัสได้ด้วยความแน่นอน เพราะตำนานและเรื่องเล่าต่างๆ นานาปิดบังข้อเท็จจริงของชีวิตพีทาโกรัสมากกว่าปราชญ์ใดๆ ในยุคก่อนโสกราตีส
��
บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส
ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยม ที่มีด้านยาว a,b และ c หน่วย และ c2=a2+b2
จะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก และมีด้านที่ยาว c เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
บทกลับของทฤษฎีพีทาโกรัส(ต่อ)
ตัวอย่างที่ 1 รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งที่มีด้านยาว 9 เซนติเมตร 12 เซนติเมตร และ 15 เซนติเมตร ตามลำดับ จงตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่
วิธีทำ การที่เราจะตรวจสอบว่ารูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่นั้นเราสามารถตรวจสอบได้โดยใช้บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือตรวจสอบว่า
c2=a2+b2 เป็นจริงหรือไม่
จากโจทย์ให้ c =15 เซนติเมตร ,b=12 เซนติเมตร และ a=9 เซนติเมตร (ควรกำหนดให้ค่า c เป็นจำนวนที่มีค่ามากที่สุด จะได้
c2=a2+b2
152=92+122
225=81+144
225=225 เป็นจริง
ตอบ ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบท
ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และ a,b,c เป็นความยาวของด้านแต่ละด้าน ดังรูป
ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ a2 + b2 = c2
สมบัติรูปสามเหลี่ยม
คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวของด้าน
1.รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมีมุมทุกมุมขนาดเท่ากัน นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
2.รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
3.รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย
รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
คุณสมบัติและการแบ่งประเภทของรูปสามเหลี่ยมตามมุมภายใน
1.รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a2 + b2 = c2
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
2.รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
2.1 รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
2.2. รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
สมบัติรูปสามเหลี่ยม(ต่อ)
ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับพื้นที่�
พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก และให้ความยาวด้านเป็น 3 , 4 และ 5 ดังรูป
ถ้าสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาโดยมีด้านเป็นความยาวของด้านรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทั้ง 3 ด้าน จะได้รูปดังนี้
ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับพื้นที่�(ต่อ)
จากรูปจะเห็นว่า
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส y รูปที่มีความยาวด้านเท่ากับ 5 พื้นที่เท่ากับ 5 x 5 = 5 2 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส z รูปที่มีความยาวด้านเท่ากับ 3 พื้นที่เท่ากับ 3 x 3 = 3 2 ตารางหน่วย
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส x รูปที่มีความยาวด้านเท่ากับ 4 พื้นที่เท่ากับ 4 x 4 = 4 2 ตารางหน่วย
เนื่องจาก ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากทฤษฎีบทปีทาโกรัส จะได้ว่า 32 + 42 = 52
นั้นก็คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ความยาวด้านเท่ากับ 5 มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับ 3 รวมกับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับ 4
สรุป
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก
ความสัมพันธ์คล้ายสามเหลี่ยมปาสคาล�
จำนวนที่อยู่ในกลุ่ม Shot Leg ทางด้านซ้ายมือ เป็นจำนวนคี่ที่เรียงกันจากบนลงล่าง จากน้อยไปหามาก สำหรับกลุ่ม ที่อยู่ทางด้านขวา Long Leg จำนวนถัดไปเท่ากับผลต่างของจำนวนที่อยู่ด้านหน้า (12-4 = 8 ,12-8 = 4 ,16-12 =4 , ...) นอกจากนั้นแล้ว มีลักษณะที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวเลขที่มีรูปแบบอื่นๆ เช่น ผลบวกทะแยงไปแถวอื่นๆ คุณสมบัติคล้ายสามเหลี่ยมปาสคาล (0+4, 4+16 = 20 , 20+40 = 60 , ... )
จำนวน 3 ที่สัมพันธ์กันที่สามารถนำไปใช้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก เช่น 3-4-5 , 2-12-13 , 7-24-25 , 9-40-41 , 11-60-61 เป็นต้น
ตัวอย่างโจทย์ปัญหา
ตัวอย่างโจทย์ปัญหา(ต่อ)
ตัวอย่างโจทย์ปัญหา(ต่อ)
การนำไปใช้
แผนผังสรุป
ขอบคุณค่ะ