I numeri relativi
I numeri interi con il segno: l’insieme Z
I numeri interi relativi
> I numeri interi con il segno: l’insieme Z
il valore dei numeri dipende dal segno che li precede
L’insieme Z dei numeri interi relativi comprende:
I numeri interi negativi
Lo zero
I numeri interi positivi
Z
zahl (numero)
I numeri relativi
Come rappresentare i numeri interi relativi
> I numeri interi con il segno: l’insieme Z
Il numero 0 non è né positivo né negativo
L’insieme N dei numeri naturali può essere considerato un sottoinsieme di Z.
I numeri relativi
Caratteristiche dei numeri interi relativi e loro confronto
Il valore assoluto
> Caratteristiche dei numeri interi relativi e loro confronto
Si chiama valore assoluto di un numero il numero dato considerato senza il suo segno.
Valore assoluto di +3 = 3
Valore assoluto di -4 = 4
I numeri relativi
Numeri uguali, concordi, discordi e opposti
> Caratteristiche dei numeri interi relativi e loro confronto
Due numeri interi relativi sono
Stesso segno
Segno diverso
concordi
discordi
opposti
uguali
Stesso valore assoluto
Stesso segno
Stesso valore assoluto
Segno diverso
I numeri relativi
L’addizione di numeri interi relativi
L’addizione di numeri relativi concordi
> L’addizione di numeri interi relativi
La somma di due numeri interi relativi concordi è il numero intero relativo che ha:
I numeri relativi
L’addizione di numeri relativi discordi
> L’addizione di numeri interi relativi
La somma di due numeri interi relativi discordi è il numero intero relativo che ha:
Scrittura semplificata
I numeri relativi
Le proprietà dell’addizione
Le proprietà dell’addizione
> Le proprietà dell’addizione
è un’operazione interna all’insieme Z
L’addizione
Ha l’elemento neutro: 0
I numeri relativi
Le proprietà dell’addizione
> Le proprietà dell’addizione
commutativa
L’addizione nell’insieme Z gode delle proprietà:
dissociativa
associativa
I numeri relativi
La sottrazione di numeri interi relativi
La sottrazione in Z
La differenza di due numeri interi relativi è il numero intero relativo che si ottiene addizionando al primo l’opposto del secondo.
> La sottrazione di numeri interi relativi
La sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z o, in altre parole, Z è chiuso rispetto alla sottrazione. In simboli:
Addizione algebrica
Scrittura
semplificata
I numeri relativi
La moltiplicazione di numeri interi relativi
La regola dei segni per la moltiplicazione
> La moltiplicazione di numeri interi relativi
Regola per determinare il segno del prodotto
per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti
Il prodotto di due numeri interi relativi è quel numero che ha:
segno + se i due numeri sono concordi
segno - se i due numeri sono discordi
I numeri relativi
Le proprietà della moltiplicazione
Le proprietà della moltiplicazione
> Le proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme Z o, in altre parole, Z è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In simboli:
commutativa
La moltiplicazione nell’insieme Z gode delle proprietà:
dissociativa
associativa
distributiva
rispetto all’addizione algebrica
I numeri relativi
Elemento neutro e elemento assorbente
> Le proprietà della moltiplicazione
Ha l’elemento neutro: 1
La moltiplicazione in Z
Ha l’elemento assorbente: 0
I numeri relativi
La divisione di numeri interi relativi
La regola dei segni per la divisione
> La divisione di numeri interi relativi
Regola per determinare il segno del quoziente
per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti
Il quoziente di due numeri interi relativi è quel numero che ha:
segno + se i due numeri sono concordi
segno - se i due numeri sono discordi
I numeri relativi
Le proprietà della divisione
> La divisione di numeri interi relativi
La divisione non è un’operazione interna all’insieme Z dei numeri relativi.
Per dividere una somma o una differenza per un numero intero relativo ≠ 0, possiamo dividere ciascun termine per il divisore e addizionare o sottrarre i quozienti ottenuti.
invariantiva
La divisione nell’insieme Z gode delle proprietà:
distributiva
a destra
I numeri relativi
La potenza e la radice quadrata
di un numero intero relativo
La potenza di un numero intero relativo
> La potenza e la radice quadrata di un numero intero relativo
La potenza di un numero intero positivo è sempre un numero positivo.
La potenza di un numero intero negativo è un numero
I numeri relativi
La radice quadrata di un numero intero relativo
La radice quadrata di un numero intero positivo ha due valori: uno positivo e uno negativo.
Non ha significato estrarre la radice quadrata di un numero intero negativo.
> La potenza e la radice quadrata di un numero intero relativo
?
I numeri relativi
I numeri razionali relativi: l’insieme Q
L’insieme Q e la sua rappresentazione
> I numeri razionali relativi: l’insieme Q
L’insieme Q dei numeri razionali comprende:
i numeri razionali negativi
lo zero
i numeri razionali positivi
Valore assoluto
I numeri relativi
L’insieme Q e la sua rappresentazione
L’insieme Z dei numeri interi relativi è un sottoinsieme di Q.
> I numeri razionali relativi: l’insieme Q
I numeri relativi
Numeri razionali uguali, concordi, discordi e opposti
Due numeri razionali possono essere
Stesso segno
Segno diverso
concordi
discordi
opposti
uguali
Stesso valore assoluto
Stesso segno
Stesso valore assoluto
Segno diverso
> I numeri razionali relativi: l’insieme Q
I numeri relativi
Il confronto tra numeri razionali relativi
Ogni numero positivo è maggiore di ogni numero negativo
Lo 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo
Tra due numeri positivi è maggiore quello che ha valore assoluto maggiore
Tra due numeri negativi è maggiore quello che ha valore assoluto minore
> I numeri razionali relativi: l’insieme Q
I numeri relativi
L’addizione algebrica con i numeri razionali relativi
L’addizione in Q
> L’addizione algebrica con i numeri razionali relativi
Ha l’elemento neutro: 0
L’addizione in Q
Gode delle proprietà
È un’operazione interna
commutativa
associativa
dissociativa
I numeri relativi
L’addizione in Q
Somma di numeri razionali con lo stesso denominatore
Somma di numeri razionali con diverso denominatore
> L’addizione algebrica con i numeri razionali relativi
I numeri relativi
La sottrazione in Q
La sottrazione in Q
Gode della proprietà invariantiva
È un’operazione interna
Si esegue addizionando alla
prima frazione l’opposta della seconda
Anche in Z addizione e sottrazione costituiscono un’unica operazione, chiamata addizione algebrica.
> L’addizione algebrica con i numeri razionali relativi
I numeri relativi
La moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza di numeri razionali relativi
La moltiplicazione in Q
> La moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza di numeri razionali relativi
Ha l’elemento neutro: 1
La moltiplicazione in Q
Gode delle proprietà
È un’operazione interna
commutativa
associativa
dissociativa
Ha l’elemento assorbente: 0
distributiva rispetto all’addizione algebrica
Si può eseguire il raccoglimento a fattore comune
Inoltre…
I numeri relativi
La divisione in Q
La divisione in Q
Gode della proprietà invariantiva
È un’operazione interna in Q privato dello zero
Si esegue moltiplicando il primo numero per l’inverso del secondo
> La moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza di numeri razionali relativi
I numeri relativi
L’elevamento a potenza in Q
La potenza di un numero razionale positivo è sempre un numero positivo.
La potenza di un numero razionale negativo è
> La moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza di numeri razionali relativi
I numeri relativi
Le potenze con esponente negativo. La notazione scientifica
Le potenze con esponente negativo
> Le potenze con esponente negativo. La notazione scientifica
La potenza di un numero razionale relativo, diverso da 0, che ha per esponente un numero intero negativo, è uguale alla potenza che ha:
I numeri relativi
La notazione scientifica
Un numero è scritto in notazione scientifica se è espresso come prodotto di un numero maggiore o uguale di 1 e minore di 10 per una potenza di 10.
Fattore decimale
> Le potenze con esponente negativo. La notazione scientifica
I numeri relativi
I numeri reali relativi: l’insieme R
I numeri irrazionali relativi
> I numeri reali relativi: l’insieme R
Numeri irrazionali relativi
I numeri irrazionali relativi
possono essere rappresentati sulla retta orientata
Appartengono all’insieme I
I numeri relativi
L’insieme R dei numeri reali
L’unione tra l’insieme Q e l’insieme I costituisce l’insieme R dei numeri reali.
> I numeri reali relativi: l’insieme R
I numeri relativi