Autor: Anibal Tavares de Azevedo

CÁLCULO I + PYTHON

​

SEMANA 05 - AULA 02

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6 Agosto 2008

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Observações sobre máximos e mínimos:

Nem todo ponto crítico c de uma função f é um ponto de máximo ou mínimo de f.

Exemplo 1: Para y = x³, pode-se obter o ponto

crítico c com y’ = 0:

​

Se y’ = 3x², então, y’ = 0 → 3x² = 0 → x = 0.

​

Mas, observe no gráfico, dado a seguir, que

x = 0 não é ponto de máximo nem de mínimo

de y, apesar de ser ponto crítico. Álias, esta

função não possui nem ponto de máximo nem

ponto de mínimo.

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-1

0

y=x³

1

y

x

Exemplo 1: Seja y = x³, seu gráfico é dado por:

A função f

não tem ponto

de máximo

nem de

mínimo.

Não tem mínimo global !

Não tem máximo global !

Ponto crítico !

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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Teste da derivada primeira:

Suponha que c seja um número crítico de uma função contínua f. Podem ocorrer 3 casos:

​

Caso 1: Se o sinal da derivada de f, ou seja f’, mudar de positivo para negativo em c, então, f tem um máximo local em c.

​

Caso 2: Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então, f tem um mínimo local em c.

​

Caso 3: Se f’ não mudar de sinal em c (isto é, em ambos os lados de c o sinal de f’ é positivo ou negativo), então, f não tem máximo ou mínimo locais em c.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y=1-x²

1

y

x

1

Exemplo 2: Caso 1 - Seja f(x) = 1-x², então:

f(0)=1 é

máximo, pois

f(0) ≥ f(x)

para

qualquer x.

Máximo Global em x = 0

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y’=-2x

1

y

x

2

Exemplo 2: Caso 1 – Seja f’ = -2x, seu gráfico é:

-2

Troca sinal !

+

-

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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0

y

x

Exemplo 2: Caso 1 – Seja f’ = -2x, seu gráfico é:

Observe que

o ponto onde

f’(x) troca de

sinal (de +

para -) é em

x=0. Assim,

este ponto é de

máximo

(Caso 1).

Troca sinal !

+

-

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y=x²

1

y

x

1

Exemplo 3: Caso 2- Seja f(x) = x², então:

f(0)=0 é

mínimo, pois

f(0) ≤ f(x)

para

qualquer x.

Mínimo Global em x = 0

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y’=2x

1

y

x

2

Exemplo 3: Caso 2 – Seja f’ = 2x, seu gráfico é:

-2

Troca sinal !

-

+

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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0

y

x

Exemplo 3: Caso 2 – Seja f’ = 2x, seu gráfico é:

Observe que

o ponto onde

f’(x) troca de

sinal (de -

para +) é em

x=0. Assim,

este ponto é de

mínimo

(Caso 2).

Troca sinal !

+

-

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y=x³

1

y

x

Exemplo 4: Caso 3 – Seja f(x) = x³, então:

A função f

não tem ponto

de máximo

nem de

mínimo.

Não tem mínimo global !

Não tem máximo global !

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y’=3x²

1

y

x

1

Exemplo 4: Caso 3 – Seja f’ = 3x², seu gráfico é:

Não Troca sinal !

+

+

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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0

y

x

Exemplo 4: Caso 3 – Seja f’ = 3x², seu gráfico é:

Troca sinal !

+

+

Observe que

em x = 0

f’(x) não troca

de sinal (de +

para +). Assim,

não é ponto de

máximo

nem mínimo

(Caso 3).

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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-1

0

y=-x³

1

y

x

Exemplo 5: Caso 3 – Seja f(x) = -x³, então:

A função f

não tem ponto

de máximo

nem de

mínimo.

Não tem

mínimo

global !

Não tem

máximo

global !

1

-1

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-1

0

y’=-3x²

1

y

x

1

Exemplo 5: Caso 3 – Seja f’ = -3x², seu gráfico é:

Não Troca sinal !

-

-

-1

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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0

y

x

Exemplo 5: Caso 3 – Seja f’ = 3x², seu gráfico é:

Observe que

em x = 0

f’(x) não troca

de sinal (de –

para -). Assim,

não é ponto de

máximo

nem mínimo

(Caso 3).

-

-

Não Troca sinal !

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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Teste da derivada segunda:

Suponha que f’’ seja contínua na proximidade de c podem ocorrer 3 casos:

​

Caso 1: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) < 0, então, f tem um máximo local em c.

​

Caso 2: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) > 0, então, f tem um mínimo local em c.

​

Caso 3: Se o f’(c) = 0 e f’’(c) = 0, então, f não tem nem máximo nem um mínimo local em c.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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Exemplo 6: Análise dos exemplos 3, 4 e 5:

Caso 1

Seja y = 1-x²:

​

y’ = -2x → y’ = 0

→ x = 0

​

y’’ = -2 < 0

​

Se y’’ em x=0 é

-2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico

e ponto de máximo.

Caso 2

Seja y = x²:

​

y’ = 2x → y’ = 0

→ x = 0

​

y’’ = 2 > 0

​

Se y’’ em x=0 é

2 < 0. Logo, x=0

é ponto crítico

e ponto de mínimo.

Caso 3

Seja y = x³:

​

y’ = 3x² → y’ = 0

→ x = 0

​

y’’ = 6x

​

Se y’’ em x=0 é

0. Logo, x=0

não é ponto de

máximo nem mínimo.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

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Definição:

Um ponto P na curva y = f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa no ponto P.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

-1

0

y=x³

1

y

x

Côncava para cima

Côncava para baixo

Ponto de inflexão

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Definição:

Um ponto P na curva y = f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa no ponto P.

MÁXIMOS E MÍNIMOS

-1

0

y=-x³

1

y

x

Côncava para cima

Côncava para baixo

Ponto de inflexão

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Exemplo 6: Seja f(x) = 3x⁴ – 12x², encontrar os

pontos críticos e determinar quais são os pontos de

máximo, mínimo e inflexão:

MÁXIMOS E MÍNIMOS

Para encontrar os pontos críticos usa-se f’ = 0:

f’(x) = 12x³ – 24x = 0 → 12x(x² – 2) = 0

​

Assim:

​

12x = 0 → x₁ = 0

​

x² – 2 = 0 → x = ±(2)^1/2 → x₂ = +(2)^1/2 e x₃ = -(2)^1/2

​

Para classificar os pontos usa-se f’’(x):

​

f’’(x) = (f’(x))’ = d(12x³ – 24x)/dx = 36x² - 24

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MÁXIMOS E MÍNIMOS

Aplicando os pontos x₁, x₂ e x₃ em f’’(x):

(i) x₁ = 0: f’’(x₁) = 36x²₁ – 24 = 0 - 24 < 0, logo x₁ é

ponto de máximo.

​

(ii) x₂ = +(2)^1/2 : f’’(x₂) = 36x²₂ – 24 = 36(2^1/2)² - 24 = 72 – 24 = 48 > 0, logo x₂ é ponto de mínimo.

​

(iii) x₃ = -(2)^1/2 : f’’(x₃) = 36x²₃ – 24 = 36(-2^1/2)² - 24 = 72 – 24 = 48 > 0, logo x₃ é ponto de mínimo.

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MÁXIMOS E MÍNIMOS

Gráfico de f(x) = 3x⁴ – 12x²:

0

y=3x⁴-12x²

y

x

-12

Máximo Local em x = 0

Mínimos Locais: ±(2)^1/2

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OBRIGADO !!!

FIM !!!

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