Математические методы

решения инженерных задач

Татьяна Васильевна Ляшенко

профессор, доктор технических наук

Кафедра информационных технологий и прикладной математики

​

ММ РИЗ

http://frabul16.wix.com/dvoe/mathmethods

​

​

презентации лекций и методичка для РГР

Внизу страницы e-mail

frabul16@gmail.com

О литературе

Цель

​

​

уметь решать

сложные инженерные задачи с помощью компьютера

Инструмент

Типовые структуры алгоритмов

Типовые элементы программирования

Базовые программные средства

(электронные таблицы, среды программирования, …)

1-й курс

Методы

​

Численные методы, ЧМ:

суть, базовый набор

5-й курс → Решение инженерных ЗАДАЧ !

Литература

1. ВОЗНЕСЕНСКИЙ В.А., ЛЯШЕНКО Т.В., ОГАРКОВ Б.Л.

Численные методы решения строительно-технологических задач

на ЭВМ. − К.: Вища школа, 1989. − 328 с. (есть в библиотеке и репозитории ОГАСА)

См. на сайте http://frabul16.wixsite.com/dvoe/books

2. ТУРЧАК Л.И. Основы численных методов. − М.: Наука, 1987. − 318 с.

http://www.rk5.msk.ru/Knigi/ChMet/Turchak.pdf

Основная

Методическая

Дополнительная См. в МЕТОДИЧКЕ [3]

на http://frabul16.wixsite.com/dvoe/mathmethods

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению индивидуальных заданий

по дисциплине «Математические методы решения инженерных задач» / Ляшенко Т.В., Ковалева И.Л. – Одесса, 2019. – 26 с.

​

4. Математичні методи розв’язання інженерних задач.

Методичні вказівки до контрольних (самостійних) завдань для студентів усіх спеціальностей / Вітюк О.Н., Денисенко В.Ю. – Одеса, 2002. – 29 с.

Прямые ссылки:

​

на учебник https://drive.google.com/file/d/0BzKYSjvwhyieVmJoSERMaHZONTA/view

​

на методичку

https://drive.google.com/file/d/1kjkHCr8KbsYSI8WR1ZmeKBJELxB_hBQD/view

1. Назначение ЧМ, их сущность

и основные понятия

Предназначены для решения сложных инженерных задач, которые нельзя решить другими методами (аналитическими, «тыка»)

ЧМ − методы, основанные

на последовательных вычислениях,

на последовательном получении и использовании чисел

В сравнении с аналитическими

Теоретическая база

Математический анализ

Техническая база

АМ

ЧМ

Вычислительная математика

Можно «бумагу и карандаш»

Компьютеры

(с соответст. Software)

Имеют дело

с функциями

с ЧИСЛАМИ

Особенность A

Что за числа?

Осуществляется замена функции дискретным набором чисел − дискретизация задачи

a

b

В частности, используется «сеточное» представление функции – набор значений функции в равноотстоящих

(как правило) узлах «сетки»:

f(x) → {x_i, f(x_i)}, i = 0, 1, …, n

S

Квадратурные формулы

Такая замена «целого» «частью» − всей функции отдельными значениями (а также бесконечных процессов конечными, последовательностями отдельных значений) приводит к следующей особенности ЧМ →

В результате всегда приближенное решение

B

Обозначим:

X − точное (неизвестное) решение задачи

В частности: вектор (x₁, x₂, … x_k) – решение СЛАУ;

корень уравнения; функция – решение

дифференциального уравнения …

​

Всегда нужно оценивать, как далеко оценка результата от истины, поскольку всегда есть ошибка

Δ X − ошибка, погрешность приближенного решения

Она должна быть «разумной»

(строительство туалета и космического корабля)

Поэтому задается норматив точности − достаточно малое число ε

(максимальная допустимая ошибка)

– заданная точность

Δ X должна быть не больше ε, Δ X ≤ ε

Как этого добиваются?

Осуществляется пошаговый – итерационный процесс

Особенность C

Итерация − повторение

Обозначим s номер итерации (шага)

Схема процесса

​

X⁽⁰⁾

s [= 1]

X^(s), Δ X ^(s) ≤ ε ?

Задаваемое начальное приближение

Процесс последовательного

пошагового приближения

к решению задачи с заданной точностью

из некоторого начального приближения , основанный на результатах предшествующих шагов, называется итерационным

To be continued

В основе использования ЧМ – Математическая Модель (ММ)

физических, физико-химических,

конструкционных,

производственных объектов

(систем)

для чего нужна ММ и что это?

ЧМ нужны числа. Числа можно взять из математического описания системы.

Для этого представим ее формально в виде схемы

Система

(Материал, борщ, конструкция, плотина, цех, город…)

Управляемые входы − факторы

Выходы, критерии качества, отклики

Неизвестную истинную связь выходов,

собственных параметров и входов системы

неявно выражает уравнение состояния

Принципиально неизвестно → Используются ММ

Математическая Модель –

формально-знаковое описание системы,

которое позволяет судить

о некоторых чертах ее поведения с помощью формальных процедур над этим описанием

см. про ММ Введение до середины стр. 18

ММ нужны для:

1) прогнозирования, x → y

2) проектирования, y(x) → θ

3) принятия решений, y_тр → x

Пример – простейшая модель:

​

R_б = θ₁R_ц(Ц/В – θ₂) (МПа)

​

Работать с моделями и увидеть, как ЧМ работают с ММ помогают (позволяют) графические отображения моделей: графики, плоские диаграммы, …

«Карты» с линиями равного уровня

(изогипсы, изобары, изотермы…)

y = f (x₁, x₂) = C = const →

линии равной прочности,

изолинии плотности, …

​

см. стр. 17, рис. В.4

NB!

Путь от модели к результату

0. Содержательная постановка задачи – цели и возможности

6. Анализ результатов

1. Математическая постановка задачи

2. Выбор метода (из меню)

3. Выбор (разработка) алгоритма

4. Выбор (разработка) программы (из меню)

5. Решение задачи

Группы задач и методов

Методы аппроксимации

Методы решения уравнений

Методы решения СЛАУ

​

Численное интегрирование и дифференцирование

​

Решение дифференциальных уравнений

​

Методы оптимизации

Общее

​

Общее для всех методов

Получение результата

в виде совокупности чисел

(или одного числа)

с помощью конечного числа

арифметических и логических операций над числами

The End

​

of #1

Нефертари

2. Погрешность.

Источники ошибок при

решении задач численными методами.

Ошибка инженерного решения

Оно содержит ошибку ΔX ,

которая тоже должна быть оценена

Для измерения ошибки нужно сравнить точное и приближенное решения

Поскольку точное неизвестно,

приходится сравнивать

2 приближенных решения − «соседних»

В любом случае

НО!

Решения − совокупности чисел

(только в частном случае одно число)

Cравнить можем 2 числа (например, оценки корней уравнения)

А как сравнить функции (при аппроксимации),

векторы (при решении СЛАУ),

наборы значений функций

при решении дифуравнений ?

Выразить решение

одним числом !

Для сравнения совокупностей чисел используется

их числовая мера − вещественное число,

называемое нормой

Разные нормы для разных задач

Примеры норм:

​

​

пусть X − вектор x = (x₁, x₂, …, x_i, …, x_k)

Например для векторов:

​

​

Ошибку инженерного решения составляют:

Откуда берутся ошибки?

1) ошибка эксперимента Δ_э

Возникает из-за ошибок в экспериментальных данных, по которым и оцениваются параметры моделей.

Точность этих исходных данных зависит от приборов и людей

Оценивается статистическими методами

«Неустранима» по отношению к ЧМ → уменьшать до работы с моделью

«бацилла»

2) ошибка аппроксимации Δ_а

из-за отсутствия

полного

соответствия

модели

истинному

уравнению состояния

Тоже «не устранима» по отношению к ЧМ

(работающим с моделью)

3) ошибка численного метода Δ_чм

Возникает при замене исходной задачи дискретной,

бесконечных процессов конечными

(ограниченное число итераций)

4) ошибки вычислений (округления) Δ_в

К ним приводит

конечная разрядность компьютера

и выполнение действий

с такими приближенными числами

Внимание!

Понятия абсолютной и относительной ошибки приближенного числа

и правила расчета ошибок при вычислениях

→ в Методичке

и на практических занятиях!

Это + ошибки функций (табл. 1.1) см. §1.1, стр. 24-29

В целом, ошибка инженерного решения

Δ_реш = Δ_э + Δ_a + Δ_чм+ Δ_в

Δ_э > Δ_a > Δ_чм > Δ_в

обычно

Нет смысла искать ошибку в 5-ом знаке после запятой, если «тетя Маша не досыпала ведро цемента»

The End

The End