الإحصاء

1

تمرين1

2

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

على النقط الملخصة في الجدول التالي:

النقط (قيم الميزة)

عدد التلاميذ (الحصيص)

5

4

6

9

7

10

8

16

9

12

10

14

11

8

12

6

13

7

14

5

15

3

16

2

أو الحصيص المتراكم المرتبط بقيمة الميزة 10.

2- أحسب التردد المرتبط بقيمة الميزة 9.

3- أحسب التردد المتراكم المرتبط بقيمة الميزة 9.

حصل تلاميذ السنة الثالثة إعدادي عند أستاذ الرياضيات في الإمتحان الجهوي

1- أحسب عدد التلاميذ الذين حصلوا على نقطة أصغر من أو تساوي 10

3

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

على النقط الملخصة في الجدول التالي:

النقط (قيم الميزة)

عدد التلاميذ (الحصيص)

5

4

6

9

7

10

8

16

9

12

10

14

11

8

12

6

13

7

14

5

15

3

16

2

5- أحسب النسب المئوية لعدد التلاميذ الذين حصلوا على نقطة أقل من 10.

6- مثل هذه المتسلسلة الإحصائية بمخطط عمودي (بالقضبان).

حصل تلاميذ السنة الثالثة إعدادي عند أستاذ الرياضيات في الإمتحان الجهوي

4- أوجد النقطة المتوسطة أو المعدل الحسابي لهذه المتسلسلة الإحصائية.

4

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

للسنة الثالثة إعدادي ثانوي.

يمكن أن نتمم الجدول:

النقط (قيم الميزة)

عدد التلاميذ (الحصيص)

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

النسبة المئوية

5

4

6

9

7

10

8

16

9

12

10

14

11

8

12

6

13

7

14

5

15

3

16

2

4

13

23

39

51

65

73

79

86

91

94

96

1

الميزة المدرسة هي نقطة الإمتحان الجهوي في مادة الرياضيات

5

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

1- عدد التلاميذ اللذين حصلوا على نقطة أصغر من أو تساوي 10

الحصيص المتراكم المرتبط بقيمة الميزة هو مجموع حصيصها مع حصيصات قيم الميزة ما قبلها

هي الحصيص المتراكم المرتبط بقيمة الميزة 10 و هو العدد 65 (65 تلميذ).

6

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

2- التردد المرتبط بقيمة الميزة 9 هو العدد

0,125=

التردد المرتبط بقيمة الميزة هو خارج الحصيص المرتبط بها على الحصيص الإجمالي

7

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

= 0,53125

التردد المتراكم لقيمة الميزة هو مجموع ترددها مع ترددات قيم الميزة ما قبلها

ملاحظة: التردد أصغر من العدد 1

8

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

4- المعدل الحسابي للمتسلسلة الإحصائية أو النقطة المتوسطة هو العدد m

=

=

9,5625

المعدل الحسابي أو النقطة المتوسطة لمتسلسلة هو خارج مجموع جداءات قيم الميزة و الحصيصات المرتبطة بها على الحصيص الإجمالي.

9

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

5- النسبة المئوية لعدد التلاميذ الذين حصلوا على نقطة

51

96

x %

100

تعني

x = 53,125 %

منوال متسلسلة إحصائية هو قيمة الميزة التي لها أكبر حصيص

أقل من 10 عددهم 51.

10

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

المخطط بالقضبان:

11

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

المخطط بخط منكسر

تمرين2

12

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

الجدول التالي يعطينا توزيعا للأجور (Salaires) لعمال مؤسسة الإنتاج:

الأصناف حسب الأجر (S)

عدد العمال

1200 ≤ S < 1500

6

1500 ≤ S < 1800

15

1800 ≤ S < 2100

20

2100 ≤ S < 2400

24

2400 ≤ S < 2700

30

2700 ≤ S < 3000

12

3000 ≤ S < 3300

10

3300 ≤ S < 3600

3

1- أحسب مركز كل صنف من الأصناف.

المؤسسة (الحصيص الإجمالي).

أقل من 1800 درهم (الحصيص المتراكم

2- ما هو عدد العمال الذين يعملون في هذه

3- ما هو عدد العمال الذين يتقاضون أجرا

المرتبط بالصنف [1500,1800[ (

13

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

5- احسب الأجر المتوسط أو المعدل الحسابي للمتسلسلة، يعني الأجر

6- أوجد الصنف منوال.

7- أوجد النسبة المئوية لعدد العمال الذين ينتمون إلى الصنف [2100,2400[

4- أوجد التردد المرتبط بالصنف [1500 ; 1800[ كذلك التردد

المتراكم المرتبط بهذا الصنف.

المتوسط يعني معدل الأجور.

14

الأجر (S)

الأصناف

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

عدد العمال الحصيص

مركز الصنف

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

النسبة %

1200≤S<1500

1500≤S<1800

2100≤S<2400

2400≤S<2700

6

15

20

24

1350

1650

1950

2250

6

21

41

65

0,05

0,175

0,3416

0,5416

12,5%

16,66%

20%

15

الأجر (S)

الأصناف

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

عدد العمال الحصيص

مركز الصنف

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

النسبة %

2400≤S<2700

2700≤S<3000

3000≤S<3300

3300≤S<3600

30

12

10

3

2550

2850

3150

3450

95

107

117

120

0,7916

0,8916

0,9749

1

25%

10%

8.33%

2,5%

16

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

2- عدد العمال أو الحصيص الإجمالي هو N=120

1- أنظر الجدول.

3- عدد العمال الذين يتقاضون أجرا أقل من 1800 درهم أو الحصيص المتراكم

4- التردد المرتبط بالصنف [1500;1800[ هو:

التردد المتراكم المرتبط بهذا الصنف هو:

5- الأجر المتوسط أو المعدل الحسابي:

= 2311,66

المرتبط بالصنف [1500;1800[ هو: 21

17

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

6- الصنف منوال هو: [2400 ; 2700[

7- النسبة المئوية لعدد العمال الذين ينتمون إلى الصنف [2100 ; 2400[ هي:

24

120

x

100

= 20%

المعدل الحسابي أو القيمة المتوسطة لمتسلسلة إحصائية يساوي خارج مجموع جداءات مركز كل صنف في الحصيصات المترتبة به على الحصيص الإجمالي

الصنف منوال هو الصنف الذي يحتوي على أكبر حصيص

تمرين3

18

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

المخطط أسفله يمثل تصنيفا لتلاميذ مؤسسة تعليمية حسب المسافة التي يقطعونها

بين سكناهم و المؤسسة:

19

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

1- إعط جدولا يتضمن هذه التصنيفات و كذلك الحصيص المرتبط بكل صنف.

2- عين الحصيصات المتراكمة.

3- أرادت جمعية الآباء و الأمهات توفير التغذية للتلاميذ و إستثنئت أولاءك الذين

4- أوجد التردد المتراكم المرتبط بالصنف 5 ≤ d < 6.

5- أحسب المسافة المتوسطة التي يقطعها التلاميذ (المعدل الحسابي)

6- مثل هذه المتسلسلة بمخطط قطاعي.

من التغذية. ثم إعط نسبة مئوية للتلاميذ المستفيدين.

يبعدون عن المدرسة بمسافة أقل من 3km، فما هو عدد التلاميذ الذين لم يستفيدوا

20

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

1- إنطلاقا من المخطط بالأشرطة جانبه نحصل على الجدول التالي:

2- أنظر الجدول:

الأصناف

عدد التلاميذ الحصيص

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

مركز الصنف

0≤d<1

1≤d<2

2≤d<3

3≤d<4

4≤d<5

5≤d<6

6 ≤d<7

6

20

30

24

40

32

8

6

26

56

80

120

152

160

13,5°

45°

67,5°

54°

90°

72°

18°

21

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

3- عدد التلاميذ الذين يبعدون بمسافة أقل من 3km عن المؤسسة هو:

• النسبة المئوية للتلاميذ المستفيدين عددهم 160 – 56 = 104

160

104

100

x

تعني

x = 65%

4- التردد المتراكم المرتبط بالصنف 5 ≤ d < 6 هو:

30 + 20 + 6 = 56

و هو عدد الذين لم يستفيدوا من الإطعام.

22

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

5- حساب المسافة المتوسطة يعني المعدل الحسابي:

= 3,75

المسافة المتوسطة هي: 3,75 كلم.

23

التذكير ببعض التعاريف و القواعد

6- تمثيل المتسلسلة بمخطط قطاعي:

1 ≤ d < 2

0 ≤ d < 1

6 ≤ d < 7

5 ≤ d < 6

4 ≤ d < 5

3 ≤ d < 4

67,5°

45°

13,5°

18°

72°

90°

54°

2 ≤ d < 3

24

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

نعتبر الكشف التالي هو جرد لنقط تلاميذ قسم من الأقسام في مادة الرياضيات:

1- إعط جدولا تلخص فيه هذه المعطيات:

الحصيص: الحصيصات المرتبطة بقيم الميزة و كذلك الحصيص الإجمالي

التردد: التردد المتراكم.

نشاط تمهيدي1 :

والحصيص المتراكم.

3 - 3 - 4 - 4,5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 8

10 - 10 - 10,5 - 10,5 - 11 - 11 - 11 - 12 - 13 - 13,5

25

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

2- حدد منوال المتسلسلة الإحصائية.

3- أحسب النقطة المتوسطة لهذا القسم (المعدل الحسابي).

4- أوجد قيمة الميزة (النقطة) التي تقسم هذه المتسلسلة إلى جزأين

نعتبر الكشف التالي هو جرد لنقط تلاميذ قسم من الأقسام في مادة الرياضيات:

3 - 3 - 4 - 4,5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 8

10 - 10 - 10,5 - 10,5 - 11 - 11 - 11 - 12 - 13 - 13,5

لهما نفس الحصيص.

26

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

1- الجدول يلخص المعطيات:

قيم الميزة

الحصيص

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

3

4

4,5

5

6

7

8

10

10,5

11

12

13

13,5

2

1

1

2

2

1

1

2

2

3

1

1

1

2

3

4

6

8

9

10

12

14

17

18

19

20

الحصيص الإجمالي هو 20 (عدد التلاميذ في القسم 20).

27

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

2- منوال المتسلسلة هو 11 يعني القيمة التي لها أكبر حصيص.

3- النقطة المتوسطة أو المعدل الحسابي:

= 8,2

28

4- قيمة الميزة (يعني النقطة) التي تقسم هذه المتسلسلة إلى جزأين

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

10 قيم

10 قيم

M

كل عدد M محصور بين 8 و 10 يسمى قيمة وسطية للمتسلسلة الإحصائية.

M = (8 + 10) : 2 = 9

3 - 3 - 4 - 4,5 - 5 - 5 - 6 - 6 - 7 - 8

- 10 - 10 - 10,5 - 10,5 - 11 - 11 - 11 - 12 - 13 - 13,5

لهما نفس الحصيص:

29

نعتبر الكشف التالي هو جرد لنقط تلاميذ قسم من الأقسام في مادة الرياضيات:

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

5 - 5 - 5 - 6,5 - 7 - 9 - 10 - 10,5 - 10,5

11 - 11 - 12 - 12 - 13 - 13,5

1- إعط جدولا يلخص معطيات هذه المتسلسلة الإحصائية.

2- حدد النقطة المتوسطة (المعدل الحسابي).

3- منوال المتسلسلة الإحصائية.

4- أوجد النقطة التي تقسم هذه المتسلسلة الإحصائية إلى جزأين لهما نفس الحصيص.

نشاط تمهيدي2 :

30

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

1- لدينا الجدول التالي:

قيم الميزة

الحصيص

الحصيص المتراكم

التردد

التردد المتراكم

5

6,5

7

9

10

10,5

11

12

13

13,5

3

1

1

1

1

2

2

2

1

1

3

4

5

6

7

9

11

13

14

15

الحصيص الإجمالي هو: 15 (عدد تلاميذ القسم).

31

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

2- النقطة المتوسطة (المعدل الحسابي).

32

4- قيمة الميزة (النقطة) التي تقسم هذه المتسلسلة إلى جزأين

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

5 - 5 - 5 - 6,5 - 7 - 9 - 10 - 10,5 - 10,5 - 11 - 11 - 12 - 12 - 13 – 13,5

M = 10,5

7 قيم

7 قيم

نصف وحدات الساكنة هو:

عدد النقط التي هي أصغر من أو تساوي 10.5 هو 9.

و عدد النقط التي هي أكبر من أو تساوي M = 10,5 هو 8.

لهما نفس الحصيص:

33

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

تعريف

إذا كانت متسلسلة إحصائية قيم ميزتها مرتبة ترتيبا تزايديا أو تناقصيا

هذه المتسلسلة إلى جزأين لهما نفس الحصيص.

فإن القيمة الوسطية لهذه المتسلسلة هي قيمة الميزة التي تقسم

34

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

تمارين تطبيقية

35

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

تمرين تطبيقي1

الجدول التالي يعطينا ملخصا لنقط تلاميذ قسم في فرض لمادة الرياضيات:

1- أحيب النقطة المتوسطة لهذه المتسلسلة الإحصائية.

النقط قيم الميزة

الحصيص عدد التلاميذ

7

7

8

9

10

11

12

13

15

14

4

4

5

8

6

3

2

1

2- أحسب النقطة الوسطية.

3- أحسب النسبة المئوية لعدد التلاميذ الذين حصلوا على النقطة أصغر أو تساوي 10.

4- مثل هذه المتسلسلة الإحصائية بمخطط عمودي (بالقضبان).

5- حدد منوال هذه المتسلسلة.

36

القيمة الوسطية لمتسلسلة إحصائية

الجدول التالي يعطينا ملخصا لعدد الأخطاء التي حصل عليها كل تلميذ

1- أحسب متوسط هذه الأخطاء.

الأخطاء قيم الميزة

الحصيص عدد التلاميذ

0

1

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

3

2- أوجد وسط الأخطاء.

3- ما هو منوال هذه المتسلسلة الإحصائية.

في فرض من فروض الرياضيات.

37

التشتت

المبيانان التاليان يلخصان نقط المراقبة المستمرة خلال السنة الدراسية لتلميذتين

التلميذتان لهما نفس معدل المراقبة المستمرة و هو 11,5 تأكد من هذا.

نشاط تمهيدي3 :

نقط سناء

نقط هناء

هناء و سناء في مادة الرياضيات.

38

التشتت

نلاحظ أن نقط سناء أكبر طولا من أطوال قضبان مبيان هناء.

ملاحظة: نقط هناء قريبة إلى المعدل.

نقول نقط سناء أكثر تشتتا من نقط هناء.

و طول كل قضيب هو الفرق بين النقطة و المعدل.

أو نقط هناء أقل تشتتا حول المعدل من نقط سناء.

39

التشتت

تعريف

نعتبر متسلسلتين إحصائيتين S₁ و S₂ لهما نفس المعدل

نقول إن S₁ أقل تشتتا من S₂ إذا كانت قيم ميزة S₁ أقرب

الحسابي m.

إلى المعدل m من قيم ميزة .S₂

تمرين1

40

تمارين للدعم و الإدماج

الجدول التالي يعطي معلومات عن قامات عينة من الشبان يريدون الإنخراط في الجندية.

القامات x

عدد الشبان

160≤x<165

165≤x<170

170≤x<175

175≤x<180

180≤x<185

6

12

15

18

9

1- حدد الصنف الذي يحتوي على القامة الوسطية.

2- أوجد الصنف منوال لهذه المتسلسلة الإحصائية.

3- ما هو عدد الشبان الذين ليس لهم الحق ولوج الجندية إذا علمت أن القامة المطلوبة

4- أحسب القامة المتوسطة لهذه العينة من الشبان.

5- أحسب النسب المئوية لعدد الشبان الذين لم القامة المطلوبة.

أكبر من أو تساوي 170.

تمرين2

41

تمارين للدعم و الإدماج

نعتبر المعطيات التالية حول كمية الماء (بالمتر المكعب) التي استهلكت خلال الفترة الأخيرة

الكمية المستهلكة Q

عدد الساكنة

10≤Q<25

25≤Q<40

40≤Q<55

55≤Q<70

70≤Q<85

10

30

24

12

4

1- ما هي الكمية المتوسطة المستهلكة من الماء.

2- أوجد النسبة المئوية التي تستهلك أقل من 40 متر مكعب.

3- حدد الصنف الذي يحتوي عاى الكمية الوسطية المستهلكة.

4- حدد الصنف منوال.

5- مثل هذه المتسلسلة بمبيان بالأشرطة.

6- أحسب التردد المرتبط بالصنف [40;55[.

من هذه السنة من كرف ساكنة.

42

تمارين للدعم و الإدماج

الجدول التالي يعطي توزيعا للأطفال إلى أصناف تعبر عن أوزانهم و أعدادهم.

الأوزان P

عدد الأطفال

2,2≤P<2,6

2,6≤P<3

3≤P<3,4

3,4≤P<3,8

3,8≤P<4,2

4,2≤P<4,6

9

24

30

33

18

6

1- أوجد الصنف منوال.

2- أحسب الوزن المتوسط.

3- حدد الصنف الذي يحتوي على الوزن الوسطي.

4- أحسب التردد المرتبط بالصنف [3 ; 3,4[.

تمرين3

43

تمارين للدعم و الإدماج

الجدول التالي يعطي توزيعا للأطفال إلى أصناف تعبر عن أوزانهم و أعدادهم.

الأوزان P

عدد الأطفال

2,2≤P<2,6

2,6≤P<3

3≤P<3,4

3,4≤P<3,8

3,8≤P<4,2

4,2≤P<4,6

9

24

30

33

18

6

5- أحسب التردد المتراكم المرتبط بالصنف [3 ; 3,4[.

6- أوجد النسبة المئوية للحصيص المرتبط بالصنف [3 ; 3,4[.

7- مثل هذه المتسلسلة بمبيان بمخطط بالأشرطة.

44

تمارين للدعم و الإدماج

المخطط التالي يوضح توزيع المحصول هذه السنة بالنسبة لحقل من حقول فلاح.

حيث المحصول هو 80 طن.

تمرين4

1- ما هو قياس زاوية القطاع الدائري

2- محصول كل من العدس و الشعير

3- أوجد النسبة المئوية لكل نوع

الذي يمثل الحمص.

و القمح و الذرة بالطن

من المحصول.