Mécanique du solide
Introduction au cours
Pr. Hamza KHATIB
Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers - Casablanca
Année universitaire : 2020/2021
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Hypothèses et objectifs de la mécanique du solide
La mécanique du point matériel réduit un corps en un point de masse (M) est qui se situe dans le centre de masse.
L’objectif de la mécanique du solide est de considérer le corps solide et sa répartition de sa masse dans l’espace, cette répartition aura des influences sur la cinétique et la dynamique du solide. Cette répartition nous permettra également de considérer chaque solide et sa liaison avec d’autres solides avoisinant afin d’analyser le transfert et les transformations des mouvements.
L’hypothèse majeur qui sera considérée est la non déformation du solide. Cela signifie que la distance entre chaque deux points appartenant à un même solide est invariante dans le temps.
Continuité du cours …..
Mécanique du point → Mécanique du solide → (RDM et MMC)
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Applications:
Analyse des systèmes de transformation de mouvement (cinématiques complexes).
Analyse des forces mutuelles entres les pièces dans un mécanisme.
Comprendre les effets de la répartition de masse (Meilleur conception de la répartition de masse)….
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Structure du cours de la mécanique du solide
Mécanique du solide
Chapitre 1 – Partie1
Formalisme et outils mathématiques
Pr. Hamza KHATIB
Ecole Nationale Supérieure des Arts et Métiers - Casablanca
Année universitaire : 2020/2021
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Plan :
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1- Description des espaces de travail
Chapitre 1- Formalisme et Outils mathématiques
Définition :
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Espace Affine
On considère (E) un K espace vectoriel, muni d'un opérateur interne (+) et d’un opérateur externe (.) avec le corps (K).
Tel que
1:
2 :
A partir de la définition, on peut montrer que :
Par définition du vecteur nul :
1 : Soit (C) et (D) deux points quelconques :
2 : Soit (A) et (B) deux points quelconques :
Un espace affine (P) est un ensemble associé à un espace vectoriel (E) par l'application (f) qui vérifie les conditions suivantes :
1- Description des espaces de travail
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1- Description des espaces de travail
On se limite par la suite à des espaces affines associés à des (IR) espaces vectoriels.
On dit que l'espace affine (P) est dirigé par l'espace vectoriel (E), on dit également que (E) dirige (P) (donne lieu à des directions dans l'espace affine).
Les éléments de l’espace affine seront nommés des points.
L’espace affine (P) sera utilisé pour modéliser (représenter, décrire) mathématiquement l’espace physique. Ainsi, un sous ensemble (p) de (P) représentera un solide par exemple dans cette espace. Chaque point (A) qui n’est pas dans (p) n’appartient pas au solide.
Remarques :
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1- Description des espaces de travail
REPERE DANS UN Espace Affine
En fixant un point (O) de (P), on associe à chaque point (A) de façon unique un seul vecteur de l'espace vectoriel par l’application d’association (f). Les composantes de ce vecteur sont appelées les coordonnées de (A). De même, en présence d’un repère, un vecteur ne sera associé qu'a un seul point par l’application (f). On déduit donc une fonction bijective (fO) entre (P) et (E).
=> Si (E) est de dimension 3, chaque élément (point) de l'espace affine sera identifié par un unique triplé de IR3. Ce triplé d'identification, ne dépond que des éléments de la base (B) et de l'origine (O).
Conséquences :
Montrer que si (E) est un espace vectoriel, alors il est un espace affine associé à lui-même par l’application suivante :
Considérant l'espace affine (P) associé à un espace vectoriel (E). Soit (B) une base de (E) et (O) un point de l'espace affine (P).
On définit un repère (R) sur l'espace affine (P) par l'ensemble (O, B) composé d'un point de l'espace affine et les vecteurs de la base (B) de l'espace vectoriel (E).
Un espace Euclidien (E) est un IR espace vectoriel de dimension (n finie) qui est muni en plus d'une application interne (+) et externe (.), d'une forme bilinéaire <.,.> de (ExE) dans IR. Cette application est dite produit scalaire, et elle doit vérifier les conditions suivantes:
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1- Description des espaces de travail
Bilinéaire : (linéaire par rapport aux deux termes)
Symétrie
Définit positive :
Conséquences : En introduisant la notion d'espace euclidien, on introduit la notion du produit scalaire, cette notion introduit le concept des distances et des angles dans un espace affine. Ainsi la distance entre deux points sera définie à l’aide du produit scalaire du vecteur associé à ces deux points avec lui-même, et l'angle entre deux vecteurs sera définit à l’aide d’un rapport de produits scalaires.
Un Espace Métrique est un espace affine associer à un espace vectoriel Euclidien.
Espace Euclidien
Espace Métrique
Si :
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1- Description des espaces de travail
Base orthonormée (B):
(B) est une base orthonormée si elle est orthogonale et si la norme des vecteurs de base vaut 1 :
Avec (δij) est le symbole de Kronecker :
δij =1 si i=j, δij =0 si i≠j
Base orthonormées directe (B):
C'est une base de l'espace vectoriel (E) qui est muni d'un opérateur interne (produit vectoriel) et dont les vecteurs de base respectent l’ordre des permutations suivantes.
Norme de vecteur :
Soit un vecteur de l'espace euclidien (E). On définit une norme associée au produit scalaire (<,>) définit sur (E) par une application de (E) dans IR définit par :
Base Orthogonale:
Soit une base de l'espace euclidien (E). La base (B) est dite orthogonale si ses vecteurs de base sont orthogonaux : avec i≠j
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2- Analyse vectorielle
Chapitre 1- Formalisme et Outils mathématiques
On considère dans la suite de ce chapitre l’espace affine (P) associé à l’espace vectoriel euclidien (E3 ) orthonormé directe à trois dimensions.
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Champ de vecteurs
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Champs de vecteurs particuliers
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Produit vectoriel dans IR3
Produit scalaire dans IR3
Commutatif :
Distributif :
Orthogonalité:
Anticommutatif :
Distributif :
Rappel - Opérateurs vectoriels
Propriétés :
Propriétés :
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Double produit vectoriel :
Remarques :
Propriétés Importantes
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Remarque :
Cas particuliers :
Division vectorielle
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Analysant si d’autres solutions sont possibles !!!
2- Analyse vectorielle dans IR3
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Solution générale :
Si on considère la solution générale et la solution particulière :
2- Analyse vectorielle dans IR3
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3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
Chapitre 1- Formalisme et outils mathématiques
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Signification: En fixant une droite, chaque deux points de cette droite présentent deux vecteurs du champ.
Les deux projections de ces deux vecteurs sur cette droite sont identiques.
Champ de vecteurs équiprojectif
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Remarque 2 :
Si un ensemble de points sont alignés sur une droite (D), chaque vecteur champ au niveau de chaque point à la même projection sur la droite (D).
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Définition
Une application (f) de l’espace vectoriel En dans En est antisymétrique si et seulement si:
Une application (g) de En dans En est symétrique si et seulement si:
Résultat : Si (f) est une application antisymétrique alors elle est linéaire
(f) Est antisymétrique ⇒ (f) est linéaire
Application antisymétrique
Attention : Une application linéaire n’est pas toujours antisymétrique
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Posant
On peut donc écrire
Rappel :
(f) Est linéaire sur En ⇔
Ainsi (f) est linéaire
Démonstration :
(.) est distributif
Cela n’implique pas que
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Une application antisymétrique (f) de (E3) Vers (E3) est donc linéaire, ainsi on peut lui associer une matrice (M). Cherchant les composantes de cette matrice.
Ainsi la matrice associée à l’application antisymétrique s’exprime par :
Remarque :
Inversement, on peut vérifier que pour toute matrice qui respecte la forme précédente, elle donne lieu à une application antisymétrique.(⇔)
Expression matricielle d’une application anti-symetrique
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Montrant que si (f) est antisymétrique sur E3, alors
L’unicité :
Or le seul vecteur colinéaire avec tout les vecteurs de la base est le vecteur nul
Expression vectorielle d’une application anti-symetrique
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Montrant que si :
Alors (f) est une application antisymétrique :
(f) Est donc antisymétrique
(f) est antisymétrique
Résultat
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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Equivalence entre champ équiprojectif et application antisymétrique
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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D’où
Soit (O) un point quelconque
Grace à l’équiprojectivité
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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(h) est antisymétrique
⇒
⇒
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
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(f) est antisymétrique
1
2
1
2
et
on peut conclure l’équivalence
De
3- Application antisymétrique et champ équiprojectif
Résumé :
(f) est antisymétrique
Mécanique du solide
Chapitre 1 – Partie 2
Formalisme et outils mathématiques
Pr. Hamza KHATIB
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Plan :
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1- Définition du Torseur
Chapitre 1- Formalisme et Outils mathématiques
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Un torseur est un outil mathématique très utilisé en mécanique des solides indéformables. Il nous permettra par la suite de décrire les champs de vitesse et les actions mécaniques qu’un solide va subir par un milieu externe.
Il sera utilisé tout au long de ce cours pour formuler le principe fondamental de la dynamique et pour exprimer les puissances des actions mécaniques extérieures à un solide.
1- Définition de Torseur
Introduction :
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Notez Bien que cette description se fait sans besoin de limiter le domaine physique où ce champ se présente.
Pour décrire ce type de champs de vecteurs, on utilise un objet mathématique nommé Torseur.
1- Définition de Torseur
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Définition du torseur
Expression du torseur :
1- Définition de Torseur
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1- Définition de Torseur
Champ équiprojectif
Torseur
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1- Définition de Torseur
Il est important de noter que si on change le point de calcul du moment, la résultante ne varie pas. Ainsi à un instant (t) fixe, les composantes de la résultante restent fixes. La résultante peut cependant évoluer dans le temps.
ll faut noter qu’un torseur est définit en 1 point (P). L’expression du moment du torseur dépond du point là où on exprime ce torseur. En changeant le point où le torseur est exprimé, l’expression du moment du torseur peut changer, mais cette expression représente toujours, le même champ équiprojectif.
Si deux torseurs n’ont pas la même expression sur le même point, les deux torseurs représentent deux champs différents.
Connaissant la résultante, on ne peut connaitre que la différence de moment en deux points. Dans ce cas, le champ est identifié à une valeur du moment près.
Deux torseurs qui n’on pas la même résultante représentent deux champs de vecteurs différents, vu que la différence du moment calculée par une résultante entre deux points est différente de la différence calculée par la deuxième résultante.
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Egalité de deux torseurs
Considérant deux torseurs {𝕴1} et {𝕴2}. On dit que les deux torseurs sont égaux s’il existe un seul point (P) sur lequel les éléments de réduction sont égaux.
Dans ce cas, les deux champs représentés par les deux torseurs sont identiques.
{𝕴1}={𝕴 2} ⇔
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Somme de deux torseurs
Attention : La somme des deux torseurs doit se faire au niveau du même point.
La somme de deux torseurs {𝕴1}p {𝕴 2}p est un torseur {𝕴}p dont les composantes sont calculées par l’expression suivante :
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Torseur nul
Le torseur nul que nous noterons {0} est l’élément neutre pour l’addition de deux torseurs. Ses éléments de réduction en tout point sont:
Ce torseur permet de décrire un champ équiprojectif nul.
∀ (P) appartenant à l’espace géométrique
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Multiplication par un scalaire
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Produit de deux torseurs (Comoment)
Considérant deux torseurs {𝕴 1} {𝕴 2} définis au même point (P).
Le produit de deux torseurs {𝕴 1} et {𝕴 2} est le nombre réel calculé par l’expression suivante :
On montre que le produit de deux torseurs est indépendant du point d’expression des deux torseurs.
Démonstration = ( 5min)
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2- Relations et opérations dans l’ensemble des torseurs
Démonstration
Montrant que le Comoment de deux torseurs est indépendant du point de calcul.
Considérant deux torseurs 1 et 2 et deux points (A) et (B)
Propriété du produit Mixte
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3- Propriétés des torseurs
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3- Propriétés des torseurs
Invariant scalaire d’un torseur
L’invariant scalaire d’un torseur est le produit scalaire des éléments de réduction en un point quelconque. On le note par I{𝕴}:
L’invariant scalaire est indépendant du point considéré, c’est une valeur qui caractérise le champ décrit par le torseur.
Ainsi, pour tout point (P) et (Q) appartenant à l’espace affine :
Démonstration (3min)
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3- Propriétés des torseurs
Démonstration
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3- Propriétés des torseurs
Invariant vectoriel d’un torseur
Démonstration
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3- Propriétés des torseurs
Relation entre l’invariant scalaire et vectoriel
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3- Propriétés des torseurs
Moment d’un torseur par rapport à un axe
Soit (B) un deuxième point de (Δ).
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3- Propriétés des torseurs
Point et axe central d’un torseur
Existence d’un point central :
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3- Propriétés des torseurs
Démonstration
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3- Propriétés des torseurs
Interprétation graphique
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3- Propriétés des torseurs
Propriétés : Le moment est constant sur l’axe central, et sa norme y est minimum.
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3- Propriétés des torseurs
Expression du moment au niveau de l’axe central
Invariant vectoriel d’un torseur :
Avec :
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4-Décomposition d’un torseur
3-Décomposition d’un torseur
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4-Décomposition d’un torseur
Glisseur
Un torseur est un glisseur s’il existe un point où le produit scalaire entre le moment et la résultante est nul.
Ainsi l’invariant scalaire est nul.
Par conséquence le moment central est nul.
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4-Décomposition d’un torseur
Axe d’un glisseur
Sur l’axe central du glisseur, la résultante est parallèle au moment. l’invariant scalaire est nul, alors le moment est nul sur l’axe central.
Soit P un point quelconque de l’espace géométrique.
avec A est le point où le moment du torseur est nul
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4-Décomposition d’un torseur
Axe d’un glisseur
On peut montrer que l’ensemble des points, où le moment est nul, sont colinéaires sur une droite parallèle à la résultante, cette droite est l’axe central du glisseur.
A est le point où le moment du torseur est nul :
Si sur un deuxième point (P), le moment est nul, alors :
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4-Décomposition d’un torseur
Torseur couple
Définition :
Propriété
Ainsi, le vecteur moment est indépendant des points de l’espace. Le vecteur moment d’un torseur couple est constant dans l’espace.
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4-Décomposition d’un torseur
Décomposition d’un torseur couple
Sous la forme suivante :
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4-Décomposition d’un torseur
Torseur quelconque
Un torseur est dit quelconque si et seulement si:
Ce torseur peut être décomposé en une somme d’un glisseur et d’un torseur couple.
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4-Décomposition d’un torseur
Conclusion
Soit un torseur d’éléments de réduction . La figure suivante résume les différents cas possibles.
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5- Torseur associé à un ensemble de points
5- Torseur associé à un ensemble de points discrets
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5- Torseur associé à un ensemble de points
Torseur associé à un ensemble de points discrets
Considérant (D) un domaine physique composé de "n" points matériels :
D={M1, M2,…, Mn}
Sur le domaine on définit un ensemble de glisseurs {𝕴i} définit par :
Chaque torseur "i" a un moment nul en un point (Mi)
Le torseur total résultant des torseurs i est définit par :
Exemple : Torseur statique, dans le cas ou un solide est soumis à un ensemble d’efforts sur plusieurs points. Le moment de chaque force au niveau du point d’application est nul.
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Ainsi, on peut calculer le moment du torseur résultant en tout point (P) par :
Le moment de chaque torseur "i" au point P s’exprime par :
5- Torseur associé à un ensemble de points
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Torseur associé à un ensemble de points continus
5- Torseur associé à un ensemble de points
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Considérant un domaine physique (D) continu dans l’espace affine.
On chaque point (M), on associe un torseur glisseur {d𝕴M} d’axe central passant par (M)
M
de
(D)
5- Torseur associé à un ensemble de points
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Par sommation continue, on peut calculer le torseur résultant des torseurs élémentaires au niveau de tous les points (Mi).
L’intégration se fait par déplacement du point (M) sur le domaine d’intégration (D).
Ce domaine peut être linéique, surfacique ou volumique.
5- Torseur associé à un ensemble de points