MATRIZ

Habilidade: Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na representação de tabelas e de transformações geométricas no plano;

Definição de matrizes

Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.

Representação de matrizes

Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:

• Colchetes: [ ]
• Parênteses: ( )
• Barras Simples: | |
• Barras Duplas: || ||

Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.

Exemplos:

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Elementos de uma matriz

Seja a matriz genérica A_mxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:

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Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por a_ij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.

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Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto que as colunas são numeradas da esquerda para a direita.

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Exemplos

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• a₁₁ representa o elemento da linha 1 e coluna 1.
• a₃₂ representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
• a₂₂ representa o elemento da linha 2 e coluna 2.
• a_mn representa o elemento da linha m e coluna n.

Seja a matriz:

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assim:

• a₁₁ representa o elemento 1.
• a₁₂ representa o elemento 4.
• a₁₃ representa o elemento 0.
• a₂₁ representa o elemento -2.
• a₂₂ representa o elemento 4.
• a₂₃ representa o elemento 3.

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• Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente.
• Exemplo:
• Considere a matriz M = [a_ij]_2×3, tal que a_ij = i + j. Escreva a matriz M.
• Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas.

• Escrevendo os elementos:
• a₁₁ = 1 + 1 = 2.
• a₁₂ = 1 + 2 = 3.
• a₁₃ = 1 + 3 = 4.
• a₂₁ = 2 + 1 = 3.
• a₂₂ = 2 + 2 = 4.
• a₂₃ = 2 + 3 = 5.
• Então a matriz M é:

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Matrizes Especiais

MATRIZ LINHA

É uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n)

Exemplo:

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MATRIZ COLUNA

É uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1)

Exemplo:

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Matrizes Especiais

MATRIZ NULA

É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.

Exemplo:

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MATRIZ QUADRADA

É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n

Exemplo:

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Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3.

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Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos a_ij com i = j formam a diagonal principal, enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:

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Observação:

Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la de matriz retangular.

Matrizes Especiais

MATRIZ DIAGONAL

É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos.

Exemplo:

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MATRIZ IDENTIDADE

É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por I_n, matriz quadrada de ordem n.

Exemplos:

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Matrizes Especiais

MATRIZ OPOSTA

É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.

Exemplo:

Considere a matriz A a seguir:

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Então a matriz oposta -A é:

Matrizes Especiais

MATRIZ TRANSPOSTA

Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação A^t.

Exemplo:

Seja a matriz A = [a_ij]_mxn, a matriz transposta de A é A^t = [a_ij]_nxm.

Operações entre Matrizes

Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir:

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ a_ij = b_ij.

Exemplo:

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Adição de Matrizes

Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.

Exemplo:

Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:

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Propriedades da adição de matrizes

Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

• Comutativa: A + B = B + A
• Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
• Elemento neutro: A + N = N + A = A
• Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
• (A + B)^t = A^t + B^t

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Subtração de Matrizes

Para fazer a subtração de duas matrizes, devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.

Exemplo:

Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A – B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja:

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Multiplicação de um número real por uma Matriz

Seja A_mxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz B_mxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.

Exemplo:

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Propriedades

Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:

• 1 . A = A
• (-1) x A = -A
• a . 0 = 0
• 0 . A_mxn = 0_mxn
• a . (b . A_mxn) = (a . b) . A_mxn
• a . (A + B) = a . A + a . B
• (a + b) . A = a . A + b . A

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Multiplicação entre Matrizes

Considerem as matrizes A_mxn e B_nxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em C_mxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da coluna j de B.

Exemplo:

Considerem as matrizes A e B, então A x B é:

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Observações importantes:

A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.

A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

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