SERIES�SERIES ESPECIALES
SERIES
SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES
Para determinar la suma n-ésima, determinemos un patrón en las sumas parciales
Estas son
Los denominadores son: 1,2,4,8,16
Estas son las potencias de 2, para n=1, vale 1 por lo que son de la forma
Los numeradores son: 1,3,7,15,31 , la relación entre el numerador y el denominador es que el numerador es casi el doble del denominador, falta un 1.
El numerador es
Por lo que
Las sumas parciales constituyen la Sucesión de Sumas Parciales
¿ Converge la sucesión de sumas parciales?
La sucesión converge a 2.
La suma infinita vale 2.
Finalmente notemos que la sucesión original converge a 0.
SERIES ESPECIALES
SERIE GEOMÉTRICA
Dada la serie
Donde a y r son constantes y a es diferente de cero.
¿Para qué valores de r la serie converge?
Las sumas parciales de la serie geométrica son
Como no se tienen los valores de a y r no podemos dar una expresión precisa para cada una de las sumas parciales
Para determinar la n-ésima suma parcial Sn usemos lo siguiente.
Multipliquemos Sn por r
Calculemos la diferencia
Así
Determinemos los valores de r para los cuales converge la sucesión de sumas parciales
Para calcular el valor del límite, necesitamos hallar
Este se puede determinar por el teorema 2 de sucesiones.
Dividimos la sucesión {a,0,a,0,…} en dos subsucesiones {a,a,a,a,…} y {0,0,0,0,…} la primera de ellas converge a a y la segunda converge a 0. Como converge a valores diferentes la sucesión diverge.
Si r = – 1 la serie diverge.
EJEMPLO 1.
DETERMINAR SI LA SERIE GEOMÉTRICA DADA CONVERGE O DIVERGE, SI CONVERGE CALCULA SU SUMA.
a)
La serie converge.
Calculando su suma
b) , esta serie no tiene la forma general de la serie geométrica, así usemos la leyes de los exponentes para llegar a la forma general.
La serie converge.
Calculando su suma
c) , esta serie no tiene la forma general de la serie geométrica, así usemos la leyes de los exponentes para llegar a la forma general.
La serie diverge.
d)
esta serie no tiene la forma general de la serie geométrica, modifiquémosla.
Ya tiene la forma general de la serie geométrica con
La serie converge.
Calculando su suma
EJEMPLO 2.
Escribir el número 2.3171717… como una razón de números enteros
Podemos descomponer el número como la suma de un número racional y una serie
La serie es
SERIE ARMÓNICA
SERIE TELESCÓPICA
ESTA SERIE NO TIENE UNA FORMA ESPECIFICA COMO SUCEDE CON LA SERIE GEOMÉTRICA O ARMÓNICA.
LA CARACTERÍSTICA DE LA SERIE TELESCÓPICA ES QUE SE PUEDE EXPRESAR COMO UNA DIFERENCIA DE FUNCIONES DE MANERA TAL QUE AL EXPRESARLA DE FORMA DESARROLLADA ES POSIBLE ELIMINAR LA MAYORÍA DE LOS SUMANDOS QUEDANDO EN GENERAL EL PRIMERO Y EL ÚLTIMO DE LOS TÉRMINOS, DÁNDONOS LA POSIBILIDAD DE TENER UNA EXPRESIÓN PARA LA SUMA ENÉSIMA DE LA SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES.
EJEMPLO 3.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE. SI CONVERGE CALCULA SU SUMA.
La serie es
La n-ésima suma parcial es
Es posible calcular todas las sumas parciales y determinar una expresión para el término general, pero en este caso nos interesa aplicar la serie telescópica.
Expresemos el término general de la serie como una diferencia,
, la forma del término general nos da a oportunidad de aplicar fracciones parciales.
¿CONVERGE LA SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES?
LA SUCESIÓN CONVERGE, ENTONCES LA SERIE CONVERGE Y SU SUMA ES 1. ESTO ES
CRITERIO DEL N-ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA
EJEMPLO 5.
APLICAR EL CRITERIO N-ÉSIMO DE LA DIVERGENCIA PARA DETERMINAR SI LAS SERIES DADAS DIVERGEN.
A)
Calculando el límite , el límite no existe y por el criterio del n-ésimo término de la divergencia, a serie diverge.
B)
Calculando el límite tiene la forma de cociente indeterminado, pero no es posible aplicar la Regla de L’Hospital ya que no hay una expresión para determinar la derivada del factorial.
Dividamos entre n! el numerador y el denominador
El límite es diferente de cero, por el criterio del n-ésimo término de la divergencia la serie diverge.
C)
Calculando el límite al evaluar no llegamos a un resultado, la regla de L’Hospital no se puede aplicar por no ser cociente indeterminado y tampoco se pueden aplicar los teoremas de sucesiones (ya que el límite del valor absoluto del término general no es cero).
Calculamos el límite para n par y n impar.
Como los límites son diferentes se aproxima a más de un valor y el límite no existe, por el criterio del n-ésimo término de la divergencia la serie diverge.
D)
Calculando el límite
como es 0, el criterio del n-ésimo término de la divergencia no determina convergencia o divergencia.
E)
Calculando el límite
como es 0, el criterio del n-ésimo término de la divergencia no determina convergencia o divergencia.
El criterio del n-ésimo término para la divergencia no determino si las series
y
divergen pero tampoco si convergen.
Sin embargo la primera de las series, es la Serie Armónica y se dijo que diverge y la segunda serie es telescópica y determinamos que converge.
PROPIEDADES DE LA SERIE
EJEMPLO 6.
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE.