1 of 19

RİJİD CİSİM DÜZLEMSEL KİNETİĞİ

​

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

1

23.08.2024

Kuvvet ve İvme

4.1.a

4.1

​

(F=ma, M=Iα)

2 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

2

14.12.2024

4.1.1 Rijid cisimlerin düzlemsel hareketinde dış yükler ve ivmeler arasındaki ilişkilerin çıkarılması:

Newton’un 2nci kanununa göre bir maddesel noktaya birden fazla kuvvet etki ettiği zaman, toplam bileşke kuvvet, kütle ve ivme arasındaki ilişkiyi haıtrlayalım:

 

 

 

 

 

Maddesel noktanın ivmesi bileşke kuvvet yönündedir.

(2.2.a)

 

 

 

 

Şimdi amacımız rijid bir cisim için kuvvet ve moment denklemini ivmeler cinsinden elde etmektir.

Rijid bir cismi birbirlerine yapışık dm kütleli, sonsuz tane maddesel noktanın birleşimi olarak düşünebiliriz. (Şekil 4.2.b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a)

Dış Yüklere maruz bir rijid cisim

Rijid cismi oluşturan diferensiyel parçacıklar

(b)

i parçacığına etki eden dış ve iç kuvvetler.

(c)

Şekil 4.2

 

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.1

3 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

3

14.12.2024

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bileşke iç kuvvet

bileşke kuvvet

i parçacığına etkiyen kuvvetler:

i parçacığının net ivmesi:

Newton’un 2nci kanuna göre:

 

 

i ve P noktaları aynı cismin noktalarıdır. Mutlak ivme denkleminden:

(3.5)

 

 

 

 

Etki tepki prensibine göre tüm iç kuvvetler birbirlerini dengeler ve dolayısıyla toplam iç kuvvet sıfırdır.

 

 

 

 

 

 

P yerine G ağırlık merkezi alınırsa:

 

 

(4.1)

 

Veya kısaca:

x

i

 

x

y

G

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

y

 

i

P

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Şekil 4.3

Şekil 4.5

Şekil 4.4.a

Şekil 4.4.b

 

 

 

 

4 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

4

14.12.2024

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

 

 

 

 

 

i parçacığına etki eden bileşke kuvvetin P noktasına göre momentini yazarsak:

İç kuvvetler birbirlerini dengelediklerinden P noktasına göre momentlerinin toplamı sıfır olur:

P noktasına göre toplam moment her bir i parçacığındaki toplam momentlerin toplamı olacağından :

 

 

 

 

4.2 denklemine göre P noktasına göre toplam moment sadece dış yüklerin momentlerinin toplamıdır.

 

 

(4.2)

..>>

4.2 denkleminin açık ifadesi:

 

x

dm

 

x

y

 

i

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.6

 

 

Şekil 4.4.a

5 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

5

14.12.2024

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

 

 

 

(4.3)

 

 

 

 

i parçacığı için :

 

 

 

 

 

 

 

 

Bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımı sıfırdır.

Düzlemsel harekette moment vektörü hareket düzlemine diktir.

 

(3.5)

Şimdi P noktasına göre toplam momenti ivmeler cinsinden ifade etmeye çalışacağız

 

dm

 

x

y

 

i

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.6

y

 

Şekil 4.4.a

6 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

6

14.12.2024

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

x

dm

 

x

y

 

i

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.6

(4.3)

(4.4)

P den geçen, düzleme dik eksene göre kütle atalet momentidir

x

dm

i

 

 

 

G

P

 

 

y

 

 

 

P yerine G noktasını kullanırsak eksen takım G ye yerleştirileceği için

 

Bu durumda 4.4 denklemi şu şekle gelecektir:

(4.5)

(IG : G ağırlık merkezinden geçen, düzleme dik eksene göre kütle atalet momentidir.)

 

4.3 denklemini tekrar yazalım:

 

 

 

 

 

4.4 ve 4.5 denklemleri dış kuvvetlerin bir noktaya göre momentlerinin ivmeler cinsinden ifadesini vermektedir. Şimdi bu denklemleri biraz daha irdeleyeceğiz ve kinetik moment kavramını anlayacağız..>

 

Şekil 4.7

7 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

7

14.12.2024

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Paralel Eksen Teoreminden :

4.1.2 Kinetik Moment Kavramı:

(I), (II) ve (III) denklemlerini 4.4 denkleminde yerine koyarsak:

3.5 denkleminden:

 

 

Eksen takımı P noktasında olmak üzere

 

 

(I)

(II)

(I)

(II)

 

(4.4)

(III)

(4.6)

 

 

 

 

 

x

y

P

G

 

 

 

 

Şekil 4.8.b

x

y

P

G

 

 

 

 

 

 

 

 

Şekil 4.8.a

 

(bknz statik ders notları –bölüm 8)

8 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

8

14.12.2024

4.1.2 D’alembert Prensibine Göre Kinetik Problemlerin Çözümü

Dış kuvvetler sistemi

 

Efektif kuvvetler sistemi

 

 

 

 

(4.1)

(4.7.a)

 

 

 

Hareket x-y düzlemindedir ve dönme ekseni hareket düzlemine dik olan z eksenidir. G: Cismin ağırlık merkezidir.

2

bağımsız Vektörel Denklem

 

(4.7.b)

(4.8)

(4.9)

(Pozitif yönler eşitliğin her iki tarafında da aynıdır.)

y

x

3

bağımsız Skaler Denklem

 

 

 

Şu ana kadar çıkarılan rijid cisme ait kinetik denklemlerin bir özeti ve uygulaması D’alembert Prensibidir. Bu prensibe göre bir t anında rijid cisme etki eden dış kuvvetler sistemi, efektif kuvvetler sistemine eşitlenir.

 

 

 

 

 

veya

 

 

 

veya

 

Şekil 4.9.b

 

G

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.5)

 

 

 

(4.10)

y

x

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.9.a

 

 

 

 

 

G

O

 

 

 

 

 

 

9 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

9

14.12.2024

4.1.3 Rijid Cisim Sistemleri

Dış Kuvvetler Sistemi

 

Efektif Kuvvetler Sistemi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Düzlemsel Harekette 3 Skaler Denklem yazılır:

 

 

 

: Birden fazla rijid cisimden oluşan sistemler için D’Alembert prensibi uygulanabilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G1

G2

Gn

d1

 

O

 

Şekildeki Döndürme yönlerine dikkat edilerek işaretleri yazılmıştır.

G1

G2

Gn

O

 

 

 

 

 

 

e2

e1

1-)

2-)

3-)

2 Vektörel Denklem

1-)

2-)

 

 

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.10.a

Şekil 4.10.b

* (Örnek 4.1.3 ve Soru 4.1.2 rijid sistemleri ile ilgilidir.)

10 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

10

14.12.2024

 

(m: cismin kütlesi)

y

x

 

G

 

Çubuk

G

 

Küre

 

 

G

Disk

 

G

 

z

Silindir

 

(4.11.a)

(4.11.b)

(4.11.c)

(4.11.d)

4.1.4 Kütle Atalet Momenti:

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.11.a

Şekil 4.11.b

Şekil 4.11.c

Şekil 4.11.d

11 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

11

23.08.2024

Örnek 4.1.1

 

G

.

1m

1.8m

51m

1m

 

 

y

x

 

A

B

 

 

Çözüm mantığı: Otomobil sabit ivme ile yavaşlayacaktır. Eğer ivmesini bulursak, sabit ivmeli doğrusal hareket için geçerli olan zamansız hız formülünden, alınan S yolunu bulabiliriz. S değeri 51 metreden küçük ise kaplumbağa ezilmeyecektir.

 

 

 

İlk hız:

 

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.4

(video 4.1.b – Örnek 4.1)

12 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

12

23.08.2024

Dış Kuvvetler Sistemi

Efektif Kuvvetler Sistemi

 

G

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+x

+x

 

 

 

bulunur.

 

 

Kaplumbağa ezilmez ☺

 

G

 

 

 

 

 

y yönünden hareket olmadığından:

Otomobil z ekseninde dönmediğinden:

 

 

 

 

 

 

(I)

(II)

(III)

(I), (II) ve (III) denklemlerinden:

 

Zamansız hız formülünden:

 

 

 

 

Pratik bir bilgi: İşlemlerde işaret hatası yapmamak için bilinmeyen değerlerin yönlerini doğru tahmin etsek bile yine de + yönde seçeriz ve çıkan sonucu, işaretiyle birlikte işlemlerde aynen kullanabiliriz.

m=1 ton=1000kg, W=mg=10000N

 

1m

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

1m

1.8m

Şekil 4.5.a

Şekil 4.5.b

13 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

13

23.08.2024

Örnek 4.1.2

P = 120N

0.4m

G

B

80N ağırlığında, 0.4m yarıçapındaki bir diski boşlukta tutan kişi, birden elini çekiyor ve tam o sırada diskin üzerine sarılmış ipe düşey yönde 120N luk bir P çekme kuvveti uygulanıyor. Buna göre bu anda,

a-) diskin açısal ivmesi ve

b-) ipin ivmesini hesaplayınız.

 

Dış kuvvetler sistemi

 

Efektif kuvvetler sistemi

 

 

 

+y

 

 

 

 

 

 

P = 120N

G

B

W = 80N

0.4m

 

 

 

 

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

G

 

 

 

+x

Çözüm:

G’den geçen, düzleme dik eksene göre kütle atalet momentini hesaplayalım:

a-)

Şekil 4.6

Şekil 4.7.a

Şekil 4.7.b

(video 4.1.b – Örnek 4.2)

14 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

14

23.08.2024

b-)

0.4m

G

B

G ile B aynı cismin iki noktası olduğundan aralarında 3.5 denklemi uygulanabilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

İpin ivmesi B noktasının y yönündeki ivme bileşine eşit olur:

B, disk ile ipin ortak noktasıdır.

 

 

 

O halde B nin ivmesini vektörel olarak bulmalıyız.

Kinematik Analiz

 

 

+y yönünde olduğu için vektörel ifadesi:

 

 

(t=0 anı için)

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.8

15 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

15

23.08.2024

 

Soru 4.1.1 (*)

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Şekil 4.9

16 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

16

23.08.2024

Örnek 4.1.3

O merkezinden yataklanmış ve bu noktadan geçen dik eksen etrafında serbestçe dönebilen makara sistemine A ve B ağırlıkları asılmış ve sistem harekete terk edilmiştir. Buna göre herhangi bir t anında,

a-) makaraların açısal ivmesini,

b-) A ve B ağırlıklarının ötelenme ivmelerini,

c-) yataktan makaraya gelen reaksiyon kuvvetini,

d-) iplerdeki kuvvetleri hesaplayınız.

100 N

50 N

0.8m

0.4m

A

B

O

x

y

Makaraların toplam Ağırlığı Wo= 49N,

makaraların toplam atalet yarıçapı: k = 1m

Yerçekimi ivmesi : g=9.8m/s2 alınacaktır.

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

Çözüm..>>

Şekil 4.11

(video 4.1.b – Örnek 4.3)

17 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

17

23.08.2024

Tüm sistem için

3 bağımsız skaler denklem

 

Efektif Kuvvetler Sistemi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

(2)

(3)

(3)’den

(1)’den

 

 

 

(2)’den

 

 

 

 

 

Dış Kuvvetler Sistemi

(a ,b ve c şıklarında sorulanları bulmuş olduk)

Şimdi bu denklemleri açalım:

Dikkat: Tüm sistem için ip kuvvetleri iç kuvvettir ve dolayısıyla dış kuvvetler sisteminde gösterilmezler. O daki sabit mafsaldan sistemi ayırdığımız için Rx , Ry kuvvetleri gösterilir. Sistemden ayırdığımız herbir kısımda mutlaka bir dış kuvvet gösterilir. (Daha iyi anlamak için Statik’te anlatılan Serbest Cisim Diyagramları konusunu inceleyiniz.)

 

100 N

50 N

A

B

O

x

y

c

d

1

2

 

 

0,8m

0,4m

 

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

A

B

O

0,8m

0,4m

x

y

c

d

1

2

 

 

 

 

 

Şekil 4.13.a

Şekil 4.13.b

18 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

18

23.08.2024

d-) İplerdeki kuvvetleri bulmak için A ve B cisimlerini ayrı ayrı incelememiz gerekir.

Dış kuvvetler sist.

 

Efektif kuvvetler sist.

 

 

 

 

 

 

 

Sağlama

 

 

 

 

A

B

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

O

0,8m

0,4m

 

 

 

 

 

 

x

y

O

0,8m

0,4m

 

 

 

Dış kuvvetler sist.

 

Efektif kuvvetler sist.

Dış kuvvetler sist.

 

Efektif kuvvetler sist.

Makara sistemini ayrı incelersek

Daha önce bulduğumuz sonuçlarla aynı

 

 

 

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

+y

Şekil 4.14.a

Şekil 4.14.b

Şekil 4.15.a

Şekil 4.15.b

Şekil 4.16.a

Şekil 4.16.b

19 of 19

DİNAMİK DERS NOTLARI / Prof. Dr. Mehmet Zor

19

23.08.2024

 

Soru 4.1.2 (*)

4.1 Rijid Cisimlerin Düzlemsel Kinetiği / Kuvvet ve İvme

 

 

Cevap

Şekil 4.17