ПЕРПЕНДИКУЛЯР �І ПОХИЛА

�

�

Актуалізація опорних знань

• Як називаються сторони прямокутного трикутника.
• Порівняйте катет і гіпотенузу прямокутного трикутника.
• Сформулюйте теорему Піфагора.
• Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?
• Яку пряму називають перпендикулярною до площини?
• Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини.

Вивчення нового матеріалу

Перпендикуляром, проведеним з даної точки до даної площини, називають відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендику­лярній до площини.

α

В

А

С

AB — відстань від точки A до площини α

Відстанню від точки до площини називають довжи­ну перпендикуляра, проведеного із цієї точки до цієї площини.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називають будь-який відрізок, який сполучає цю точку з точкою площини і не є перпендикуляром.

AС — похила

т. С — основа похилої

ВС — проекція похилої на площину

Властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій у просторі

1. Довжина перпендикуляра, проведеного з точки до площини, менша за довжину будь-якої похилої, прове­деної із цієї самої точки до цієї площини.

2. Якщо дві похилі, проведені з точки до площини, рівні, то рівні і їх проекції.

АК = АК₁

Δ AHК = Δ АНК (за катетом і гіпотенузою), тому НК = HK₁

Властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій у просторі

3. Якщо проекції двох похилих, проведених з точки до площини, рівні, то рівні і їх похилі.

Δ АНК = Δ АНК₁(за двома катетами), тому

АК = AK₁

4. Якщо з точки до площини проведено дві похилі, то більшою з них є та, що має більшу проекцію на цю площину.

Властивості перпендикуляра, похилих та їх проекцій у просторі

5. Якщо з точки до площини проведено дві похилі, то більша похила має більшу проекцію на цю площину.

Похилою до площини називають також і будь-яку пряму, яка перетинає площину і не є до неї перпендикуляр­ною. У такому разі проекцією похилої на площину є пряма.

Перпендикуляр і похила навколо нас

Відстань від точки до площини

Якщо точка не належить площині, то відстанню від точки до площини називають довжину перпендикуляра, опущеного з точки на площину. Якщо точка належить площині, то вважають, що відстань від точки до площини дорівнює нулю.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називають відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.

Відстанню між двома паралельними площинами називають відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.

Засвоєння нових знань

1

Скільки всього похилих можна провести з точки А площини α?

Безліч. На відміну від площини, де з даної точки до прямої можна провести тільки дві рівні похилі, у просторі з точки до площини можна провести нескінченну множину рівних похилих, основи яких утворюють коло.

2

На малюнку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть проєкцію відрізка C₁D на площину:

• ABC;
• BB₁C₁;
• AA₁B₁.

​

DC

CC₁

AB₁

3

На малюнку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть проекцію відрізка DB₁ на площину:

1) A₁B₁C₁;

2) CDD₁;

3) AA₁D₁.

В₁D₁

DC₁

A₁D

Засвоєння нових знань

4

Із точки до площини проведено перпендикуляр завдовжки 12 см і похилу завдовжки 13 см. Знайдіть проекцію цієї похилої на дану площину.

5

Із точки A проведено до площини a перпендикуляр AC та похилі AB і AD. Знайдіть проекцію похилої AD на площину α, якщо ∠BAC= = 45°, AB = 8 см, AD = 9 см.

6

Із точки A до площини α проведено похилі AB і AC завдовжки 25 см і 17 см відповідно. Знайдіть відстань від точки A до площини α, якщо проекції даних похилих на цю площину відносяться як 5 : 2.

25

17

5х

2х

7

Перпендикуляр і похила в архітектурі

У Мадриді розміщується цікавий архітектурний проєкт. Вежі «Ворота до Європи» мають форму призм. Хмарочоси висотою 114 м нахиляються одна до однієї під кутом 15°. Саме цій архітектурній особливості вони завдячують своєю назвою.

Американські інженери та архітектори Ф. Джонсон та Дж. Берджі зламали стереотипне уявлення про звичний вигляд висотних будівель, а вежі «Ворота до Європи» стали першими похилими залізобетонними гігантами у світі та однією з найпопулярніших пам'яток Мадрида.

Ворота до Європи

Центр розвитку лідерства (CCLD) було збудовано в Колорадо (США) архітекторами SOM. Стримана архітектура та сувора стилістика будівлі відповідає спрямованості – навчанню фахівців Академії військово-повітряних сил. Цікава особливість – це похила башта висотою 32 м, що вказує на полярну зірку. Скляні сегменти, що становлять конструкцію, покликані протидіяти сильному вітру.

Центр розвитку лідерства

Офтальмологічний центр Banca dell'Occhio

у Венеції-Местрі

Оранжерея Люсіль Холселл

у Ботанічному саду

Сан-Антоніо

Культурний та спортивний центр Mycal у Санді,

префектура Хіого, Японія

Підсумок уроку

• Опишіть, який відрізок називають:

1) перпендикуляром, опущеним із точки на площину;

2) похилою, проведеною з точки до площини.

2. Сформулюйте теорему про перпендикуляр і похилу, проведені до площини з однієї точки.

• Що називають:
• відстанню від точки до площини?
• відстанню від прямої до паралельної їй площини?
• відстанню між двома паралельними площинами?