Касательная к окружности, центральные и вписанные углы.
2
Необходимо знать.
O
Радиус, проведенный в точку
касания…
А
В
перпендикулярен касательной.
*
3
Необходимо знать.
O
O
Центральный угол:
Вписанный угол:
А
В
А
В
С
4
Необходимо знать.
Вписанные углы, опирающиеся
на одну хорду равны, если они
лежат по одну сторону хорды.
А
В
С
D
А
В
С
D
Вписанные углы, опирающиеся
на одну хорду в сумме
составляют 1800, если они
лежат по разные стороны
хорды.
5
№1. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна 1520. Ответ дайте в градусах.
C
А
В
D
О
?
Решение:
Так как угол АОD –
центральный и опирается
на дугу AD.
Так как смежные.
ОА – радиус,
проведенный
в точку касания.
Из треугольника АОС:
1520
6
№2. Угол ACO равен 280, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
C
А
В
D
О
280
Решение:
Так как угол АОВ –
центральный.
Так как ОА – радиус, проведенный в точку касания.
Из треугольника АОС:
?
7
№3. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно 1180 и 380. Ответ дайте в градусах.
B
A
D
E
C
O
1180
380
?
Решение:
Так как – вписанный и опирается на дугу DE.
Так как – вписанный и опирается на дугу BA.
Из треугольника АDС:
Так как смежные.
8
№4. Угол ACB равен 420. Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 1240. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
B
A
D
E
C
O
1240
420
Решение:
Так как – вписанный и опирается на дугу BA.
Из треугольника АDС:
Так как смежные.
?
9
№5. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
O
Решение:
?
A
B
C
Рассмотрим треугольник ОСВ.
ОС=ОВ так как радиусы одной окружности.
ВС=ОС=ОВ по условию.
=> Треугольник ОСВ – равносторонний.
=> Угол СОВ=600
=> Величина дуги ВС=600.
Так как – вписанный и опирается на дугу BС.
Так как угол СОВ – центральный и опирается на дугу BС.
*
10
№6. Найдите хорду, на которую опирается угол 300, вписанный в окружность радиуса 43.
O
Решение:
300
A
B
C
Рассмотрим треугольник ОСВ.
ОС=ОВ так как радиусы одной окружности.
Угол СОВ=600.
=> Треугольник ОСВ – равносторонний.
=> СВ=43
?
43
Так как угол СAВ – вписанный
и опирается на дугу BС.
Так как угол СОВ –
центральный
и опирается на дугу BС.
?
11
№7. Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 48√2 .
Ответ дайте в градусах.
O
Решение (9класс):
A
B
C
Рассмотрим треугольник ОСВ.
Воспользуемся теоремой
косинусов.
Найдем угол СОВ.
C
B
O
Так как – вписанный и опирается на дугу BA.
?
*
12
№7. Радиус окружности равен 48. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 48√2 .
Ответ дайте в градусах.
O
Решение (8 класс):
A
B
C
Рассмотрим треугольник ОСВ.
C
B
O
Так как – вписанный и опирается на дугу BA.
H
По теореме Пифагора из треугольника СОН:
прямоугольный
1200
13
№8. Найдите хорду, на которую опирается угол 1200, вписанный в окружность радиуса 48√3.
Решение:
A
B
C
Рассмотрим треугольник ОСВ.
C
B
O
Так как на дугу СВ
опирается вписанный
угол САВ.
H
Из треугольника СОН:
Д. п. – ОН – высота.
?
O
600
В решении использовано
свойство равнобедренного треугольника
14
№9. Центральный угол на 360 больше острого
вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
O
Решение:
A
B
C
15
№10. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет окружности. Ответ дайте в градусах.
O
Решение:
A
B
C
Так как – вписанный и опирается на дугу СВ.
Домашнее задание
*
16