Показникові нерівності

Нерівність називається показниковою, якщо їх змінні входять лише до показників степенів при сталих основах.

Розв'язування показникових нерівностей часто зводяться до розв'язування нерівностей а^х > а^b (а^x а^b) або a^х < а^b (a^х а^b).

​

Ці нерівності розв'язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) показникової функції.

Порівняйте числа x і y, якщо:

а = 1,5, а > 1, то x < y

а = 0,3, а < 1, то x < y

а = 8/3, а > 1, то x > y

а = 4/5, а < 1, то x > y

Розв'язування показникових нерівностей

Якщо а >1, тоді

Якщо 0<а <1, тоді

​

​

знак нерівності змінюється на протилежний

Розв’язати нерівність

​

​

Розв’язання:

Запишемо дану нерівність у вигляді 3^х < 3³. Оскільки 3 > 1, то функція у = 3^t є зростаючою.

Отже, при х < 3 виконується нерівність 3^х < 3³.

Відповідь: х < 3.

​

Розв’язати нерівність

​

​

Запишемо дану нерівність у вигляді

​

​

Оскільки — спадна функція, то х <4.

​

Відповідь: х <4.

2

x

-2

-1

x

x

t

t

-6

6

0

5. Графічний спосіб

Розв’язати нерівність 2^х < 3 – х

Побудуємо графіки функцій у = 2^х і у = 3 – х. Із рисунка видно, що 2^х ≤ 3 – х при х ≤ 1.

Отже, розв'язком нерівності 2^х < 3 – х є проміжок (- ; 1].

Відповідь: (- ; 1].

​