2 of 27

Актуалізація опорних знань

Ви вже знаєте співвідношення між сторонами і кутами прямокутного

трикутника.

3 of 27

Актуалізація опорних знань

4 of 27

Теорема синусів

5 of 27

Наслідки з теореми синусів

Наслідок 1. У будь-якому Δ відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, опосаного навколо цього Δ.

Увага! а=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC

Наслідок 2. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти більшого кута лежить більша сторона.

Наслідок 3. (властивість бісектриси) Бісектриса кута Δ ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

KC – бісектриса, тоді

6 of 27

Приклад. У трикутнику ABC дано b = 9см, с = 11 см, ∠B = 50°. Знайти ∠ С, ∠ A.

Дано: ΔАВС ( див рис.), АС = 9 см, АВ = 11 см, ∠B = 50°.

Знайти: ∠ A, ∠ C.

Розв'язання

За теоремою синусів

Цьому значенню синуса відповідає два кути ≈69° і ≈111°.

Тоді ∠A = 180° - (∠C + ∠B), ∠A = 180°- (50° + 69°) = 61° або ∠A =180°-(50° + 111°)= 19°.

Відповідь. ≈69°, ≈61° або ≈111°, ≈19°.

Звідси

9 см

11 см

50°

Виконання вправ

7 of 27

63'. За даними на малюнку 19:

1) запишіть відношення заданої сторони до синуса протилежного кута;

2) знайдіть значення цього відношення.

64'. За даними на малюнку 20:

1) запишіть відношення кожної сторони трикутника до синуса протилежного кута;

2) знайдіть значення синусів цих кутів;

3) обчисліть кожне з відношень сторони трикутника до значення синуса протилежного кута і зробіть висновок.

65'. Яка зі сторін трикутника ABC (мал. 21) найбільша, а яка – найменша?

9 of 27

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Теорема косинусів

a²=b²+c²- 2bc cosα

b²=a²+c²- 2ac cosβ

c²=a²+b²- 2ab cosγ

11 of 27

Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів :

якщо в трикутнику ∠С – прямий, тоді cosC = 0

Із рівності с²= а² + b² - 2·a·b·cosC

Одержимо:

Іншими словами, це теорема Піфагора.

Хоча теорема косинусів є більш узагальненою ніж теорема Піфагора, вона не може використовуватись для її доведення, оскільки теорема Піфагора сама використовується для доведення теореми косинусів.

Чому теорему косинусів називають узагальненою теоремою Піфагора ?

c² = a² + b²

13 of 27

7 см

Теорема косинусів

Дано : ∆АВС

АВ=

ВС=7см

Знайти: АС

Задача №1

14 of 27

Теорема косинусів

∠ACB =

Дано : ∆АВС

АС=4см

ВС=3см

Знайти: АB

∠B CD

( суміжні )

Задача №2

15 of 27

15 см

13 см

Теорема косинусів

7 см

Дано : ∆АВС

АВ=13 cм

ВС=15см

АС=7см

Знайти:

∠С

Задача №3

16 of 27

8 см

x см

Теорема косинусів

7 см

Знайти: АB

Дано : ∆АВС

BС=8см

АC=7см

Задача №5

17 of 27

Теорема косинусів

7 см

Знайти: АB

Дано : ∆АВС

ВC-АB=3см

АC=7см

ВC=3+х

(3+х) см

Задача №6

18 of 27

7 см

Теорема косинусів

14 см

Знайти: АB

Дано : ∆АВС

СD=8см

АC=14см

8 см

10 см

АD=10см

DB=7см

Задача №7

19 of 27

Теорема косинусів

Задача №8

11 см

13см

Дано:АВСD - паралелограм

АВ = 11 см

АD = 13 см

АС = 18 см

Знайти: ВD

20 of 27

Теорема косинусів

Задача №9

Дано : ∆АВС

AM=10см

АC=

BM=MC

Знайти: AB

10 см

AB=BC

21 of 27

Маючи у трикутнику дві сторони та кут між ними (не прямий), третю сторону можна знайти за теоремою:

а) синусів;
б) Піфагора;
в) косинусів;
г) Фалеса;
д) тангенсів.