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微分方程初步

李柏翰

國立師大附中/leepohan@gmail.com

July 13, 2021

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基礎知識

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BuzzNote ( https://tg.pe/buzzBuzzNote ( https://tg.pe/buzz ; 李柏翰老師自建網站)

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李柏翰老師 教學影片

  1. Ch1 微積分入門 (https://youtu.be/Z2MqFSzl8GQ)
  2. Ch2 向量，斜拋運動 (https://youtu.be/A1WHBb3e4PM)
  3. Ch5 圓周運動與簡諧運動 (https://youtu.be/rVqLp5ovMj0)
  4. Ch8 能量轉換 (https://youtu.be/9xYXY3BG-YM)
  5. Ch9 碰撞 ( https://youtu.be/1BFmF7ajhsk)
  6. Ch 10 PV=nRT (https://youtu.be/k7I5EgglbNc)
  7. 波動方程初步 ( https://youtu.be/e_i86p-OMd0)
  8. 干涉與繞射 (https://youtu.be/bKiztPwPYG4)
  9. 微分方程 (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4微分方程 (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4) (網站微分方程 (https://youtu.be/qJbA_sVJ2w4) (網站) (講義)

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Sec1: 微分方程初步

物理學與動力學?

🡺 連結常常是微分方程(Differential Equations)

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什麼是微分方程?

🡺一些變數微分後與若干變數或導數的函數組合，所形成的方程式，所有的變數與導數綁定在此方程式中，不再彼此獨立無關。

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(牛頓運動定律F = ma ，時間為變數，F = -k x )

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微分方程定義

微分方程

(1)常微分方程(ODE，Ordinary Differential Equations)，只含一個獨立變數以及它的常導數，則稱為常微分方程。

(2)偏微分方程(PDE，Partial Differential Equations)

含有兩個或兩個以上獨立變數以及它的偏導數，則可定義此為偏微分方程。

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Schrodinger equations 就是偏微分方程，變數 t，x

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(free-particle)

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微分方程 order & degree

微分方程

🡺階(order，微分次數)

🡺次(degree，微分項幾次方)

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ODE 與PDE 都有線性與非線性之分。

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二階一次

線性常微分方程

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(1)一階一次

線性常微分方程

(2)二階一次

線性常微分方程

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(3)一階一次

非線性常微分方程

(4)一階二次

非線性常微分方程

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(5)二階一次

線性偏微分方程

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幾階

幾次

線性?

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微分方程的解

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微分方程求解

  • 若求得解為函數y，而cy 仍是其解，c 是常數，可判斷為齊次微分方程(homogeneous DE)。

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  • n 階微分方程，可以得到n 個任意常數解的通解。

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  • 如果再加入邊界條件，或初始值的判斷，可以得到特解，如此特定的解不是通解，而是異解(singular solution)。

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微分方程 Q1

Answer:

  1. (分離變數)

如果ODE 能夠將變數分隔開來，用積分處理，問題求解將會是非常容易。比如說此題，等號分隔開變數與常數。

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Q1 :

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微分方程Q1求解

(2). 兩邊同時積分

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得到通解 c1，c2 為常數。

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微分方程求解

(3). 若有起始條件

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特解完成

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微分方程 Q2

Answer:

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Q2 :彈簧拉動物體運動，F = ma，若恢復力為彈簧彈力，

F = -kx， 如何列出ODE，k > 0?

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ODE完成

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微分方程 Q3

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Q3 :彈簧拉動物體運動，F = ma，若恢復力為彈簧彈力，

F = -kx， 受到阻力 f= -bv，如何解，k > 0?

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微分方程Q3求解

Answer:

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微分方程Q3求解

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Answer:

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

 

(Fig.2: 以r=2,w=1為例)

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

 

(Fig.3: 以r=2,w=2為例)

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

 

Fig.4(a):X-t，以r=1,w=2。

Fig.4(b): V-t 圖

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

Fig.5(b): V-t 圖

Fig.5(a): X-t，以r=0,w=2。

 

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

Fig.5(c): x-t，V-t，V-x 相圖

 

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微分方程Q3求解

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討論: r和w值對震盪圖形的關係

 

Fig.6: x-t，V-t，V-x 相圖

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微分方程Q3求解

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Fig.7: x-t 振盪相圖

 

 

(6)整理上述情況，(a) r>w，overdamping，(b) r =w critically damped，(c) r<w，underdamping。

x 是位移，v 是速度，b= 2r = 阻尼

w = 振盪頻率

改寫成兩條一階一次微分方程

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一階常微分方程

一階常微分方程在日常生活中有很多運用，常見的表示方式有:

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又或者是表示為:

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一階常微分方程

一階常微分方程如果可以寫成:

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兩邊同時積分，則可以得到:

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微分方程Q4求解

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Q4:

Answer:

  1. (分離變數)

目前變數x,y 可以分隔開來，如果能夠將變數分隔開來，用積分處理，問題求解將會是非常容易。

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微分方程Q4求解

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Answer:

(2) 利用連鎖律

兩邊同時積分

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微分方程Q4求解

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(3) 對照連鎖律

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微分方程Q4求解

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(4) 整體解

k 為常數，DE 詳解完成。

這便是用連鎖律將變數分隔處理，這個連鎖律的使用是

一階微分方程解常見的技巧。Sec1完!